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山西省榆次第一中学校2024-2025学年高二上学期开学考试（暑假作业检查）数学试题（暑假作业检查+暑假作业检查）
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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1. 设，则
A. B. C. D.
2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则ΔABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ）
A. 24B. 12C. D.
5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A B.
C. D.
6. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是（ ）
A. 8B. 7C. 8.5D. 7.5
8. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ）
A. 关于直线对称B. 关于点对称
C. 周期为D. 在上是增函数
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．）
9. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，是的三等分点，则（ ）
A.
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若，则
D. 若
11. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（ ）
A. 平面
B. 四棱锥的外接球的表面积为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 点A到平面的距离为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）
12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________．
13. 过两点的直线l的倾斜角为，求的值为__________．
14. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15 利用空间向量知识完成本题．
（1）如图1，在长方体中．线段上是否存在点，使得平行于平面?
（2）如图2，在平行六面体中，求证直线垂直于平面．
（3）如图3，在棱长为1正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
(I)求点B到直线的距离；
(II)求直线到平面的距离．
16. 判断下列各对直线是否平行或垂直：
（1）经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线；
（2）经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线．
（3）试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线：
(I)平行；
(II)垂直．
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求值；
（2）若，求的最大值．
18. 甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1. 设，则
A. B. C. D.
2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则ΔABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ）
A. 24B. 12C. D.
5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A B.
C. D.
6. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是（ ）
A. 8B. 7C. 8.5D. 7.5
8. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ）
A. 关于直线对称B. 关于点对称
C. 周期为D. 在上是增函数
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．）
9. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，是的三等分点，则（ ）
A.
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若，则
D. 若
11. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（ ）
A. 平面
B. 四棱锥的外接球的表面积为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 点A到平面的距离为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）
12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________．
13. 过两点的直线l的倾斜角为，求的值为__________．
14. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15 利用空间向量知识完成本题．
（1）如图1，在长方体中．线段上是否存在点，使得平行于平面?
（2）如图2，在平行六面体中，求证直线垂直于平面．
（3）如图3，在棱长为1正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
(I)求点B到直线的距离；
(II)求直线到平面的距离．
16. 判断下列各对直线是否平行或垂直：
（1）经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线；
（2）经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线．
（3）试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线：
(I)平行；
(II)垂直．
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求值；
（2）若，求的最大值．
18. 甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
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