专题04 三角函数（2大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。
试题精讲
一、单选题
1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024新高考Ⅰ卷·7）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
二、多选题
3．（2024新高考Ⅱ卷·9）对于函数和，下列说法正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图像有相同的对称轴
三、填空题
4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
一、单选题
1．（2022新高考Ⅰ卷·6）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

一、三角函数基本概念
1、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
2、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET ：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
三、三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
四、两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
五、二倍角公式
①；
②；
③；
六、降次（幂）公式
知识点四：半角公式
七、辅助角公式
（其中）．
八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
九、与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设．
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
【三角函数常用结论】
1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
3、两角和与差正切公式变形
；
．
4、降幂公式与升幂公式
；
．
5、其他常用变式
．
6、拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
7、关于三角函数对称的几个重要结论
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
一、单选题
1．（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东济南·三模）若，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度D．向左平行移动 个单位长度
8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数的图象关于点中心对称
（2）函数的图象关于直线对称
（3）函数在区间内有4个零点
（4）函数在区间上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．2
10．（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·江西九江·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个单调增区间
B．是的一个对称中心
C．在上值域为
D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为
14．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2024·山东威海·二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减
B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称
C．在上有两个零点
D．
17．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．是函数的一个极值点D．在单调递增
18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数在上单调递增
D．方程的解为，
20．（2024·河南·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象可由的图象平移得到
B．在上单调递增
C．图象的一个对称中心为
D．图象的一条对称轴为直线
21．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．若，则
D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象
22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（ ）
A．是偶函数；B．是周期为的周期函数；
C．在上单调递增；D．的最小值为.
23．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（ ）
A．时，在上单调递增
B．若，且的最小值为，则
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
三、填空题
24．（2024·全国·二模）已知，则 .
25．（2024·安徽合肥·三模）已知，则 .
26．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ．
27．（2024·黑龙江·三模）已知，则 .
28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，则 ．
29．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则 ；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是 .
30．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ．
31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ．
32．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是 .
33．（2024·湖北荆州·三模）设，，，若满足条件的与存在且唯一，则 ， .
命题解读
考向
考查统计
高考对三角函数的考查，基础方面是掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式。重点是三角恒等变换和三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用。这需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。
三角函数的图像与性质
2022·新高考Ⅰ卷，6
2023·新高考Ⅰ卷，15
2024·新高考Ⅰ卷，7
2022·新高考Ⅱ卷，9
2023·新高考Ⅱ卷，16
2024·新高考Ⅱ卷，9
三角恒等变换
2023·新高考Ⅰ卷，8
2024·新高考Ⅰ卷，4
2022·新高考Ⅱ卷，6
2023·新高考Ⅱ卷，7
2024·新高考Ⅱ卷，13
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无