专题06 导数及其应用、基本不等式（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了导数与切线和函数最值的知识点，Ⅱ卷也考查到了切线，但是是体现在大题16题的第一问中，同时也考查到了恒成立问题。切线问题备考时注意含参数和公切线的问题即可，难度一般都是较易和适中。导数考查应关注：利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题。导数常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等，理解划归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及单调性问题。
试题精讲
一、填空题
1．（2024新高考Ⅰ卷·13）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
二、解答题
2．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
3．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
一、单选题
1．（2022新高考Ⅰ卷·7）设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
二、多选题
3．（2022新高考Ⅱ卷·12）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023新高考Ⅱ卷·11）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
三、填空题
5．（2022新高考Ⅰ卷·15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
6．（2022新高考Ⅱ卷·14）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
四、解答题
7．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
8．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
9．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
10．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）证明：当时，；
一、导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
4、切线问题
（1）在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
（2）过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
二、单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
三、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
四、极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【导数及其应用常用结论】
1、恒成立和有解问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
一、单选题
1．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
7．（2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（ ）
A．B．C．4D．5
8．（2024·天津和平·三模）已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．．C．D．
9．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A．B．2C．1D．
10．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
12．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同直线与相切D．函数有5个零点
13．（2024·重庆·三模）若函数既有极小值又有极大值，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·山西太原·三模）已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ）
A．的对称中心为B．
C．D．
15．（2024·河北·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称．B．的图象关于点对称．
C．D．
三、填空题
16．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 .
17．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
18．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 .
19．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 .
20．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ．
21．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
22．（2024·福建南平·二模）函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是 .
23．（2024·云南昆明·三模）过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对
24．（2024·河北沧州·三模）若不等式，对于恒成立，则的最大值为 .
25．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 .
命题解读
考向
考查统计
1.高考对导数的考查，重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）以及借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值。
2.高考对基本不等式的考查，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题。
导数与切线
2022·新高考Ⅰ卷，10
2022·新高考Ⅰ卷，15
2022·新高考Ⅱ卷，14
2024·新高考Ⅰ卷，13
2024·新高考Ⅱ卷，16（1）
导数与函数单调性、最值及恒成立问题
2022·新高考Ⅰ卷，22（1）
2023·新高考Ⅰ卷，19
2024·新高考Ⅰ卷，18（1）
2022·新高考Ⅱ卷，14
2022·新高考Ⅱ卷，22（1）
2023·新高考Ⅱ卷，22（1）
导数与函数极值、极值点
2023·新高考Ⅱ卷，11
2024·新高考Ⅱ卷，16（2）
导数与比较大小、基本不等式
2022·新高考Ⅰ卷，7
2022·新高考Ⅱ卷，12
基本初等函数
导函数
（为常数）