广东省茂名市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)

这是一份广东省茂名市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.且
2．若复数z满足，则( )
A.1B.C.3D.5
3．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4．已知函数，则的大致图象为( )
A.B.C.D.
5．已知，则的最小值为( )
A.6B.5C.4D.3
6．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则( )
A.B.
C.D.
7．若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在四棱中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则( )
A.1B.C.D.3
二、多项选择题
9．已知是边长为1的正三角形，M，N分别为，的中点，则( )
A.与不能构成一组基底B.
C.D.在上的投影向量为
10．某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是( )
A.诗经组中位数为3，众数为2
B.论语组平均数为3，方差为1
C.春秋组平均数为3，众数为2
D.礼记组中位数为2，极差为4
11．已知是定义域为R的偶函数，为奇函数，当时，，则( )
A.当时，B.当时，
C.在上单调递增D.
三、填空题
12．已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______.
13．若复数是关于x的方程的一个根，则______.
14．在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）.
四、解答题
15．已知的顶点，，.
（1）若单位向量与方向相同，求的坐标；
（2）求向量与的夹角.
16．已知函数.
（1）若，求与交点的横坐标；
（2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
17．如图1，菱形的边长为2，，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示.
（1）证明：；
（2）若四面体的体积为，求二面角的大小.
18．某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.
（1）求图中a，b的值；
（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；
（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为.
①；
②，
请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由.
19．如图所示，在中，，AD平分，且.
（1）若，求BC长度；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k为何值时，BC最短.
参考答案
1．答案：D
解析：由，可得，
，则，
故且.
故选：D.
2．答案：A
解析：解法一：由，得，
所以，
解法二：由，得，
所以.
故选：A
3．答案：B
解析：，则，而推不出，但，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．答案：C
解析：因为函数定义域为R，，
所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A，
当时，，所以排除D，
因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方，
所以排除B，
故选：C
5．答案：D
解析：由，则，故，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意可知将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，得，
再将的图象向右平移个单位，得的图象，则，
故选：B
7．答案：D
解析：由正弦定理可知，，则，
因为，则，
因为是锐角三角形，所以，
则，，
所以.
故选：D
8．答案：C
解析：由底面，平面，故，，
由底面为正方形，故，
又平面，，故平面，
又平面，则，
由，则，由E为线段的中点，则，
设，则，，
由，则，
则由余弦定理可得，
解得，故.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对A：由M，N分别为，的中点，则，即，
故与不能构成一组基底，故A正确；
对B：由题意可得，，
故，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：A.若该组选手的失分情况如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,满足中位数为3，众数为2，
但有选手失分超过6分，故A错误；
B.该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，，，，，，，
则方差，
即，若，，
所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确；
C.若该组选手的失分情况如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,这组数据满足平均数为3，众数为2，
但有选手失分超过6分，故C错误；
D.因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4，
所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对A：由为偶函数，则，
当时，，则，
即当时，，故A正确；
对B：由为奇函数，则有，
即，即，
故当时，，则，
即，故B错误；
对C：由，，
则，，
即，故为周期为4的周期函数，
由当时，，可得在上单调递增，
故上单调递增，故C正确；
对D：，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：棱长为正方体的所有顶点都在同一个球面上，
则正方体的体对角线即为球的直径，
所以球的直径为，，
则该球的表面积为.
故答案为：.
13．答案：2
解析：因复数是关于x的方程的一个根，则其另外一根为，
故，，得，，
故，
故答案为：2
14．答案：
解析：如图，A、B分别为乙船与甲船所处位置，则km，，
设点D为两船相遇位置，相遇时间在小时后，
则，
即，
则当，即时，有，
即甲船航行速度的最小值为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1），则，即；
（2）由题意可得，，，
则，
故，
因为，所以.
16．答案：（1）或；
（2）
解析：（1）若，则，解得，
所以，
由解得，或，
所以与交点的横坐标为或；
（2）若，则在区间上没零点，不符合题意，
所以，所以的图象为抛物线，
对称轴为，
所以要使在区间上恰有一个零点，只须，
即，解得.
a的取值范围.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）或
解析：（1）取中点F，连接、，
由四边形为菱形，则，
故，，又，平面，
故平面，又平面，故；
（2）由，，平面平面，
故为二面角的平面角，
又菱形的边长为2，，
则，，
又
，
故，即或，
即二面角的大小为或.
18．答案：（1）；；
（2）平均数78.8；上四分位数87；
（3）相等，理由见解析
解析：（1）由低于80分的人数为108，得，
所以.
（2）平均数，
显然上四分位数即分位数应该在之间，设上四分位数为x，则，
所以平均数为78.8，上四分位数为87.
（3）设，，显然，，
①-②得：.
所以①和②相等.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为AD平分，所以，
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，得，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以；
（3）由余弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
令，则，
所以（其中），
所以当时，y取得最小值4，
即当时，y取得最小值4，此时，
所以，
因为，
所以，所以，
由（2）知，
所以，
即当时，最短.