广东省茂名市2021-2022学年高二下学期期末教学质量监测 数学

2021—2022学年度茂名市普通高中

高二年级教学质量监测

数学试卷

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数z的共轭复数满足，则（）

A. 5 B. 3 C.  D.

【答案】D

2. 设集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

3. 储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m和3m，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存300的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（）

A. 6 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】C

4. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

5. 若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图像，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

6. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）

A. 480种 B. 336种 C. 144种 D. 96种

【答案】B

7. 若直线将圆C：的面积分为，则m的值为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

8. 已知点F为抛物线的焦点，A为抛物线的准线与y轴的交点，点B为抛物线上一动点，当取得最大值时，点B恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会.自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则（）

A. 甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数

B. 甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差

C. 甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数

D. 甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差

【答案】ABD

10. 在三角形中，若，，边上的高为h，满足条件的三角形的个数为n，则（）

A. 当时， B. 当时，

C. 当时， D. 当时，

【答案】ABD

11. 若等差数列的前n项之和为，公差为d，等比数列的前n项之和为，公比为q（），若，则下列各选项正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

12. 已知点P为正方体内及表面一点，若，则（）

A. 若平面时，则点P位于正方体的表面

B. 若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变

C. 存在点P，使得平面

D. ，的夹角

【答案】AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，当时，__________.

【答案】##

14. 已知，且，则的最小值为_________.

【答案】8

15. 记（k，b为实常数），若，，则__________.

【答案】-3或3

16. 已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是__________.

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知正项等比数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求的前n项和.

【答案】（1），

（2），

18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

（1）求C；

（2）若，，在角C的平分线上取点D，且，则点D是否在线段上？请说明理由.

【答案】（1）；

（2）不在，理由见解析.

【小问2详解】

在中，由（1）知，，因，，由余弦定理得：

，

，，

令角C的平分线交AB于E，则，

在中，，

由正弦定理得：，显然，

所以点D不在线段上.

19. 刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A，B，C三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A，B，C三类题出现“优秀”的概率依次分别为，，.

（1）记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X，求X的分布列与数学期望；

（2）小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率.

【答案】（1）分布列见解析，；

（2）.

【小问1详解】

依题意，X的所有可能值为0，1，2，3，

，

，

所以X的分布列为：

数学期望为.

【小问2详解】

由（1）知，小张每次获得200分的概率为，设小张获得200分的次数为Y，

于是得，

所以4次中至少有2次获得200分的概率为.

20. 在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；

（2）

【小问1详解】

在四棱锥中，底面为矩形，有，因平面平面，

平面平面，平面，则平面，又平面，

所以平面平面.

【小问2详解】

在平面内过V作于，而平面平面，平面平面，

则平面，在平面内过O作，有两两垂直，

以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，又，设，于是有，，

因此有，，，而，直线的方向向量，

设平面的法向量为，则，令，得，

显然，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，

则有，由于，，，

则，当且仅当，即时取“=”，，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围是.

21. 已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆E右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.

【答案】（1）；

（2）24，或.

22. 已知函数.

（1）求的图象在处的切线方程；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）

（2）