《高考数学二轮复习培优》第29 数列的通项公式与前n项和
展开第二十九讲 数列的通项公式与前n项和
A组
一、选择题
1．已知是等差数列，公差不为零，前项和是.若，，成等比数列，则
A.， B.，
C.， D.，
解：由于是等差数列，故，由于，，成等比数列，则.
故，化简可得:.因此有:,.
2．设，则( )
A．4 B． 5 C． 6 D． 10
解：若则
，
∴ .故选A
3．设等差数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
解：设公差为，则
所以，所以
所以选C
4．已知数列满足，且，则数列的前6项和（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
解：因为，所以，两边同时除以得，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
从而，，故选B
二、填空题
5．（2017年全国2卷理）等差数列的前项和为，，，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 .
6．数列满足，则________.
解：由已知得，，从而，，，，，从而，所以
7．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______.
解：当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
三、解答题
8．在数列中，，（）.
（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（Ⅰ），
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以， 所以.
（Ⅱ）因为，所以
9．设是数列的前项和.已知，.
(I)求数列的通项公式；
(II)设，求数列的前项和.
解：(I)由，可知.
可得
即
由于，可得.
又，解得（舍去）.
所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为.
(II)由可知：
设数列的前项和为，则
.
10．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，， ， ．
(I)求数列，的通项公式；
(II)当时，记，求数列的前项和．
解：(I)由题意有，
即解得 或
故或其中.
(II)由，知，，故，于是
， ①
. ②
①-②可得
，
故.
11．已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
解：（I）由得。
又，所以是首项为，公比为3的等比数列。
，因此的通项公式为.
（Ⅱ）由（I）知
因为当时，，所以。
于是.
所以
B组
一、选择题
1．等差数列的前项和为，已知，,则（ ）
（A）38 （B）20 （C）10 （D）9
解：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。
2．已知等差数列的首项，公差，为数列的前项和.若向量，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：由，，且, 得, 即,又,所以,从而, ,
则,
当且仅当,即时,上式等号成立,
所以的最小值为,故选A.
3．已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于 ( )
A. B. C. D.
解：，
由已知可得；；；……，可归纳出.故选D.
4．已知数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，
∴， ∴. 故选D.
二、填空题
5．设是数列的前项和，且，，则______.
解：由已知得，等式两端同时除以得，，即是以为首项，为公差的等差数列，则，.
6．（2016年浙江理）设数列的前项和为.若， ，，则 ， .
解：由，得；由，故解得.
再由，得，从而，即，又，所以，从而
所以填： ，
三、解答题
7．（16年全国II理）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1 000项和．
【解析】⑴设 的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵ 记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
8．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的通项公式．
解析：（1）当时，，
所以
，即.
（2）当时，因为，
所以，所以
所以，
即，
所以
当时，，所以
，满足式
所以
所以，所以
是以，公比为的等比数列.
（3）由（2）得，两边同乘以，可得，
所以是以，公差为4的等差数列.
所以，
所以.
9．设数列的前项和为．已知．
(I)求的通项公式；
(II)若数列满足，求的前项和．
解：(I)由知，当时，，所以，即；又当时，，所以有．
(II)由知，当，；当，，由得
①
②
①－②得：
，
所以有，经检验时也符合，
故对，均有．
10． 已知是数列的前项和，且
（1）求证：数列为等比数列
（2）设，求数列的前项和
解：（1） ①
②
①②可得：
即
为的等比数列
（2）由（1）可得：
令代入
方法一：直接求和
设
方法二：分组求和
当为偶数时
当为奇数时
方法三：分奇数项偶数项分别求和
当为偶数时：
同理：当为奇数时
C组
一、选择题
1.在数列中，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，故，由累加法得：当时，
，当时符合，故选A.
另法：用排除法，通过求得，，代入选项排除，得到A选项.
2.在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（ ）
5 4 3 2
解：由题设得，∴可化为，
令，
则，
∴，
∴当时，取得最大值，
由解得，∴正整数的最小值为5。
3. 数列{}满足，则{}的前60项和为（ ）
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
解法1：由题设知
=1，① =3 ② =5 ③ =7，=9，
=11，=13，=15，=17，=19，，
……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{}的前60项和为=1830.
解法2：可证明：
4．数列满足, 则的整数部分是( )
A. B. C. D.
解: ,
所以
由,得,
所以, 所以,
所以, 所以的整数部分为.
二、填空题
5．（16年上海理）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和.若对任意，，则的最大值为________.
【答案】4
解：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成.
6．数列满足，且(N*)，则数列的前10项和为 .
解析：由题，，，，…，(N*)，由累加法，求得(N*)，经检验时也满足该通项，即(N*)；因此，
，.
三、解答题
7．（16年四川理）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前项和， ，其中， .
（1）若 成等差数列，求的通项公式；
(2) 设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.
解析：（1）由已知， 两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列，可得，即，则，
由已知,，故 .
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以双曲线的离心率 .
由解得.
因为，所以.
于是，
故.
8．(16年江苏理)记.对数列和的子集，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 对任意正整数，若，求证：；
(3) 设,求证：.
解：（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
9数列满足 .
(1)求的值；
(2)求数列前项和；]
(3)令，，证明：数列的前项和，满足.
解：(1)依题意，，
.
(2)依题意，当时，
(3)依题意有
知，，
记，则
在上是增函数，又，即.
又且时，
所以
即
即有
所以
即
10．已知数列满足且N*)．
(I)证明：；
(II)设数列的前项和为，证明：.
解析：(I)由题意知,即, 故．由得,从而可得：.因此，即结论成立.
(II)由题意得，所以.
因为，所以.
，从而有
化简可得：，因此，
.
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