2022-2023学年山东省德州市平原县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省德州市平原县九年级（上）期末数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m+2022的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
3．（4分）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．任意实数
4．（4分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（ ）cm．
A．10B．18C．20D．22
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（ ）
A．3B．C．D．
7．（4分）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（4分）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）
A．1B．C．2D．2
9．（4分）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取得的最小值是（ ）
A．2015B．2017C．2022D．2027
10．（4分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（4分）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（ ）
A．50B．75C．100D．125
12．（4分）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分，只要求填写最后结果）
13．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 ．
14．（3分）白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 个飞机场．
15．（3分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
16．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为 cm2．
17．（3分）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为 ．
18．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象经过点A（2，0），坐标原点为O．
①若b＝﹣2a，则抛物线必经过原点；
②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB＝OC，则；
④点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞﹣1时，总有y1＞y2，则8a+c≤0．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．
21．某中学九年级（1）班为了了解全班学生的兴趣爱好情况，采取全面调查的方法，从舞蹈、书法、唱歌、绘画等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择其中一种自己喜欢的兴趣项目），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九年级（1）班的学生人数为 ，并将图①中条形统计图补充完整；
（2）图②中表示“绘画”的扇形的圆心角是 度；
（3）“舞蹈”兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的舞蹈队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
22．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？
23．如图，在△ACD中，DA＝DC，点B是AC边上一点，以AB为直径的⊙O经过点D，点F是直径AB上一点（不与A、B重合），延长DF交圆于点E，连接EB．
（1）求证：∠C＝∠E；
（2）若，求AD的长．
24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当0≤y≤4时，请直接写出x的取值范围；
（3）点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD＝90°时，求点D的横坐标．
25．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
（1）问题发现
当α＝0°时，＝ ；β＝ °．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
2022-2023学年山东省德州市平原县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选均计零分．）
1．（4分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（4分）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m+2022的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝2，再把2m2﹣2m+2022变形为2（m2﹣m）+2022，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴2m2﹣2m+2022＝2（m2﹣m）+2022＝2×2+2022＝2026．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（4分）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．任意实数
【分析】根据反比例函数的定义解答．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）是反比例函数，
∴m2﹣2＝﹣1且m+1≠0，
解得m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟悉y＝kx﹣1（k≠0）的形式的反比例函数是解题的关键．
4．（4分）如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（ ）cm．
A．10B．18C．20D．22
【分析】设圆心为O点，连OE，交AB于C，则OE⊥AB，AC＝BC＝8，在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC＝R﹣4，利用勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图，
AB＝16，CE＝4，
则OE⊥AB，
∴AC＝BC＝8，
在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC＝R﹣4，
∴OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝82+（R﹣4）2，
解得，R＝10，
即该球的半径是10cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴一次函数y＝cx+的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝分布在第一、三象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x＝﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
6．（4分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（ ）
A．3B．C．D．
【分析】方法一：根据等边三角形性质先计算BD＝3，再由两角相等证明△ABD∽△DCE，所以＝，即解出CE＝，进而求解即可；
方法二：过点A作AF⊥BC于点F，先根据三线合一和CD＝1，计算DF，再根据勾股定理计算AD的长，根据两角相等证明△ADE∽△ACD，所以＝，进而求解即可．
【解答】方法一：∵AB＝4＝BC，CD＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝；
故选：D；
方法二：过点A作AF⊥BC于点F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF＝CF＝BC＝2，AF＝AB＝2，
∵CD＝1，
∴DF＝1，
∴AD＝＝，
∵∠ADE＝∠ACD＝60°，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、三线合一，解题关键是证明三角形相似．
7．（4分）下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据垂径定理即可判断．③根据圆周角定理即可判断．④根据三角形外心的性质即可判断．
【解答】解：①三点确定一个圆，错误，应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确．
③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，正确，
∴正确的有②④，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的外心，垂径定理，圆周角定理，确定圆的条件等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．（4分）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】由旋转的性质可得∠BCD＝∠PCE90°，PC＝CE＝1，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，
∴∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝1，
∴PE＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．（4分）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取得的最小值是（ ）
A．2015B．2017C．2022D．2027
【分析】根据题意，求出a，b的值，再用配方法求出ax2+bx+2022的最小值即可．
【解答】解：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
设a1（x﹣1）2+1＝（a+2）x2+（b﹣4）x+8，则
a1（x2﹣2x+1）+1＝（a+2）x2+（b﹣4）x+8，
a1x2﹣2a1x+a1+1＝＝（a+2）x2+（b﹣4）x+8，
∴a1＝a+2，﹣2a1＝b﹣4，a1+1＝8，
∴a＝5，b＝﹣10，
∴ax2+bx+2022＝5x2﹣10x+2022，
5x2﹣10x+2022
＝5（x2﹣2x）+2022
＝5（x﹣1）2﹣5+2022
＝5（x﹣1）2+2017≥2017，
∴ax2+bx+2022≥2017，
，∴2017是能取得的最小值．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的理解能力以及配方法的应用，综合性较强，难度适中，学生重在理解题意，根据题意找出正确的答案．
10．（4分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．
11．（4分）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（ ）
A．50B．75C．100D．125
【分析】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，根据正方形的性质CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，根据勾股定理得出a2+（a+c）2＝102①，b2+（b﹣c）2＝102②，得出a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，把等式的左边分解因式后得出2（a+b）（a﹣b+c）＝0，求出b＝a+c，再代入①，即可求出答案．
【解答】解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，
则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，
∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，
∴∠NCD＝90°＝∠FED，
∵半圆O的半径为10，
∴ON＝OF＝10，
由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，
∴a2+（a+c）2＝102①，
b2+（b﹣c）2＝102②，
①﹣②，得：a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，
∴（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，
∴（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，
∴2（a+b）（a﹣b+c）＝0，
∵a+b≠0，
∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，
把b＝a+c代入①，得a2+b2＝102＝100，
即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出b＝a+c是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
12．（4分）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图1，连接AF，由对称的性质可得AF＝CF，所以y＝EF+CF＝EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，根据图2可计算BC＝5，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算AE的长可解答．
【解答】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴y＝EF+CF＝EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
如图2，当x＝0时，y＝6，
设BE＝a，则CE＝4a，
∴y＝a+5a＝6，
∴a＝1，
∴BC＝5，
由图2知：BD＝6，
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG＝BD＝3，
由勾股定理得：CG＝4，
∴△ECG的面积＝S△BCG＝•CG•EH，
∴××3×4＝×4×EH，
∴EH＝，
∴CH＝＝＝，
∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，
∴AE＝＝＝，
即图象最低点的纵坐标是．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分，只要求填写最后结果）
13．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两个球都是白球的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有2种，
∴两个球都是白球的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（3分）白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 5 个飞机场．
【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：飞机场数×（飞机场数﹣1）＝10×2，把相关数值代入求正数解即可．
【解答】解：设共有x个飞机场．
x（x﹣1）＝10×2，
解得x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去），
故答案为：5．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到飞行总航线与飞机场数的等量关系是解决本题的关键．
15．（3分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 4π ．
【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．
【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．
∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，
又∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形A′B′C′D′的面积为16，
∴A′B′＝A′D′＝4，
∵∠B′A′D′＝90°，
∴B′D′＝A′B′＝4，
∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，
故答案为：4π．
【点评】本题考查位似变换，相似多边形的性质，圆的周长等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为 2 cm2．
【分析】分别求出扇形BAC，△ABC的面积，继而可得出弓形的面积，求出半圆的面积后，利用作差法即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：S扇形BAC＝＝πcm2；S△ABC＝AB×BC＝2cm2；
则S弓形＝S扇形BAC﹣S△ABC＝（π﹣2）cm2，
S半圆＝π（）2＝π，
故可得S阴影＝S半圆﹣S弓形＝2cm2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是仔细观察图形，利用差值法求不规则图形的面积．
17．（3分）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为 ．
【分析】△OAB是等腰直角三角形，点A在反比例函数y＝图象上，可以求出点A的坐标，△BCD是等腰直角三角形，点C都在反比例函数y＝图象上，可以表示点C的坐标，求出待定的常数，进而确定点C的横坐标的值．
【解答】解：过点A、C分别作AE⊥x轴，CF⊥x轴，垂足为E、F，
∵，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，
∴OE＝AE＝EB，CF＝BF＝FD，
∵点A在y＝的图象上，
∴A（1，1）
设BF＝a则C（2+a，a）代入y＝得：a（2+a）＝1，
解得：a＝﹣1，
又∵a＞0，
∴a＝，
∴OF＝2+＝，即点 C的横坐标为：．
故答案为：+1
【点评】考查等腰三角形、直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，设未知数，表示出点的坐标，代入求出未知数的值，进而确定点的坐标是常用的方法．
18．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象经过点A（2，0），坐标原点为O．
①若b＝﹣2a，则抛物线必经过原点；
②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB＝OC，则；
④点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞﹣1时，总有y1＞y2，则8a+c≤0．
其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）．
【分析】①根据函数图象的对称性能够判断出函数经过原点；②利用判别式判断函数与x轴的交点情况；③确定B点坐标后，可知函数与x轴的两个交点，再利用一元二次方程根与系数的关系进行判断即可；④利用函数的增减性确定a＞0，再由对称轴与﹣1的关系建立不等关系，结合点A进一步求解即可．
【解答】解：①∵b＝﹣2a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过点A（2，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过原点，
故①符合题意；
②∵抛物线过点A（2，0），
∴4a+2b+c＝0，即c＝﹣（4a+2b），
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a[﹣（4a+2b）]＝b2+16a2+8ab＝（b+4a）2，
∵c≠4a，
∴4a≠﹣4a﹣2b，
∴b+4a≠0，
∴Δ＝（b+4a）2＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点，
故②符合题意；
③当x＝0时，y＝c，
∴C（0，c），
∴OC＝|c|，
∵OB＝OC，
∴B（c，0）或（﹣c，0），
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
当B（c，0）时，2c＝，
∴a＝；
当B（﹣c，0）时，﹣2c＝，
∴a＝﹣；
当c＝0时，B、C、O三点重合，此时OB＝OC，
∴a≠0
综上所述：a的值为或﹣或a≠0；
故③不符合题意；
④∵4a+2b+c＝0，
∴2b＝﹣c﹣4a，
∵当x1＞x2＞﹣1时，总有y1＞y2，
∴在x＞﹣1时，y随x值的增大而增大，
∴﹣≤﹣1，且a＞0，
∴b≥2a，此时﹣c﹣4a≥4a，
∴8a+c≤0；
故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，判别式与函数图象与x轴交点的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，
（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，
∴3x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．
【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y＝2x+b的图象上，代入求得b＝4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象过点B（0，4），
∴b＝4，
∴一次函数为y＝2x+4，
∵OB＝4，△BOC的面积是2．
∴OB•xC＝2，即＝2，
∴xC＝1，
把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，
∴C（1，6），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×6＝6；
（2）把y＝0代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴S△AOC＝＝6．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
21．某中学九年级（1）班为了了解全班学生的兴趣爱好情况，采取全面调查的方法，从舞蹈、书法、唱歌、绘画等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择其中一种自己喜欢的兴趣项目），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九年级（1）班的学生人数为 40人 ，并将图①中条形统计图补充完整；
（2）图②中表示“绘画”的扇形的圆心角是 72 度；
（3）“舞蹈”兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的舞蹈队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
【分析】（1）用爱好书法的人数除以它所占的百分比可得到全班人数，再计算出爱好绘画的人数，然后补全条形统计图；
（2）用爱好绘画的人数所占的百分比乘以360°可得到扇形统计图中“绘画”的扇形的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选出的2名学生恰好是1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
所以九年级（1）班的学生人数为为40人；
爱好“绘画”的人数为40﹣4﹣12﹣16＝8（人），
条形统计图补充为：
（2）绘画”的扇形的圆心角的度数为×360°＝72°；
故答案为40，72；
（3）画树状图如下：
共12种等可能的结果数，其中选出的2名学生恰好是1男1女的结果数为6，
所以选出的2名学生恰好是1男1女的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
22．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，根据每天的利润＝每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出答案．
【解答】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理，得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
（3）由题意得，这批3000包的N95口罩所获利润为2500×28×0.9﹣3000×20＝3000（元）．
答：这批3000包的N95口罩所获利润为3000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系列式计算．
23．如图，在△ACD中，DA＝DC，点B是AC边上一点，以AB为直径的⊙O经过点D，点F是直径AB上一点（不与A、B重合），延长DF交圆于点E，连接EB．
（1）求证：∠C＝∠E；
（2）若，求AD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠C，根据圆周角定理得出∠A＝∠E，据此即可得解；
（2）作FH⊥AD于H，连接OE．只要证明△DFH是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DA＝DC，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠E，
∴∠C＝∠E．
（2）解：作FH⊥AD于H，连接OE，
∵＝，
∴OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ADF＝∠AOE＝45°，
∵FH⊥AD，
∴∠FHD＝90°，
∵DF＝3，
∴HF＝HD＝3，
∵∠A＝∠C＝30°，FH＝3，∠AHF＝90°，
∴AH＝FH＝3，
∴AD＝AH+DH＝3+3．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当0≤y≤4时，请直接写出x的取值范围；
（3）点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD＝90°时，求点D的横坐标．
【分析】（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+4，用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）在y＝﹣x2﹣x+4中，令y＝4得x＝0或x＝﹣2；而A（﹣3，0）、B（1，0），由图可知当0≤y≤4时，x的取值范围是﹣3≤x≤﹣2或0≤x≤1；
（3）求出C（0，4），设D（m，﹣m2﹣m+4），可得AC2＝25，CD2＝m2+（﹣m2﹣m）2，AD2＝（m+3）2+（﹣m2﹣m+4）2，根据∠ACD＝90°，知AC2+CD2＝AD2，即25+m2+（﹣m2﹣m）2＝（m+3）2+（﹣m2﹣m+4）2，即可解得点D的横坐标为﹣．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图：
在y＝﹣x2﹣x+4中，令y＝4得：4＝﹣x2﹣x+4，
解得x＝0或x＝﹣2；
∵A（﹣3，0）、B（1，0），
∴当0≤y≤4时，x的取值范围是﹣3≤x≤﹣2或0≤x≤1；
（3）在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
设D（m，﹣m2﹣m+4），
又A（﹣3，0），
∴AC2＝25，CD2＝m2+（﹣m2﹣m）2，AD2＝（m+3）2+（﹣m2﹣m+4）2，
∵∠ACD＝90°，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴25+m2+（﹣m2﹣m）2＝（m+3）2+（﹣m2﹣m+4）2，
∴25+m2+（﹣m2﹣m）2＝m2+6m+9+（﹣m2﹣m）2+8（﹣m2﹣m）+16，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
∴点D的横坐标为﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
（1）问题发现
当α＝0°时，＝ ；β＝ 45 °．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．
（2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠B＝90°，BA＝BC，
∴∠A＝45°，AC＝AB，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴BD＝AB，EC＝AC，
∴＝，β＝45°，
故答案为，45°．
（2）结论：和β的大小无变化．
理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，
∵∠BOK＝∠COA，
∠BKO＝∠CAO＝45°，
∴和β的大小无变化．
（3）当点E在线段AB上时，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，
当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．
综上所述，△BCE的面积为8﹣4或8+4．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
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进价（元/包）
8
20