山东省德州市平原县2023届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

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2022-2023学年第一学期九年级期末测试

数学试题

第Ⅰ卷（选择题  共计48分）

一、选择题：（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选均计零分．）

1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ）

A．2023 B．2024 C．2025 D．2026

3．已知函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（ ）．

A．1 B．-1 C．1或-1 D．任意实数

4．如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有，，三个接触点，则该球的半径是 ．

A．10 B．18 C．20 D．22

5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B． 

C． D．

6．如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，则（    ）

A．3 B． C． D．

7．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ）

A．1 B． C．2 D．

9．新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（    ）

A． B． C． D．

10．在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（     ）

A． B． C． D．

11．如图，是半圆O的直径，四边形和都是正方形，其中点 在上，点在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形的面积与正方形的面积之和是（    ）

A．50 B．75 C．100 D．125

12．如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，，点从点运动到点时，随变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是(   )

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共102分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分，只要求填写最后结果）

13．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 _____．

14．白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场．

15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．

16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为______cm2．

17．如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．

18．已知抛物线（是常数），其图像经过点，坐标原点为．

若，则抛物线必经过原点；

若，则抛物线与轴一定有两个不同的公共点；

若抛物线与轴交于点（不与重合），交轴于点且，则；

点，在抛物线上，若当时，总有，则．

其中正确的结论是______（填写序号）．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19．解方程

(1)

(2)

20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．

(1)求、的值；

(2)求的面积．

21．某中学九年级（1）班为了了解全班学生的兴趣爱好情况，采取全面调查的方法，从舞蹈、书法、唱歌、绘画等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择其中一种自己喜欢的兴趣项目），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)九年级（1）班的学生人数为　　，并将图①中条形统计图补充完整　　；

(2)图②中表示“绘画”的扇形的圆心角是　　度；

(3)“舞蹈”兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的舞蹈队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．

22．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：

（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．

（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．

（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？

23．如图， 在中， ， 点是边上一点， 以为直径的 经过点， 点是直径上一点 (不与重合)， 延长交圆于点， 连接．

(1)求证： ；

(2)若， 求的长．

24．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（−3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）当时，请直接写出x的范围；

（3）点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD=90°时，求点D的横坐标．

25．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．

(1)问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．

(2)拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

(3)在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．

答案

1．B

解析：解：A选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；

B选项中的图形是中心对称图形，故符合题意；

C选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；

D选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意，

故选：B．

2．D

解析：解：由题意可得：

，

∴，

∴

=2×2+2022=2026，

故选D ．

3．A

解析：试题分析：反比例函数的解析式为y=k（k为常数，且k≠0），根据题意可得：－2=－1且m+1≠0，解得：m=1.

4．A

解析：

解：连接AB，OA，OE，则AB=16cm，OE⊥AB于点F，

∵OE⊥AB，

∴AF=AB=8cm，

设圆的半径为r（cm），则EF=r﹣4（cm），

∵AF2=AE2+EF2，

∴r2=82+(r﹣4)2，

解得：r=10cm.

故选A.

5．D

解析：试题分析：根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数和反比例函数图象与系数的关系作出判断：

∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0.

∵抛物线的对称轴为直线x=，∴b＞0.

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.

∵c＜0，，∴一次函数的图象过第一、二、四象限.

∵ab＞0，∴反比例函数分布在第一、三象限．

∴一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是选项D.

故选D．

6．D

解析：解：，

，

，

，

又，

，

，

等边中，，设，

，

，

，

；

故选：D．

7．B

【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，逐项分

解析：解：①同一平面内，不共线三点确定一个圆，故①错误，

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②正确，符合题意；

③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；

④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故④正确，符合题意，

故选：B．

8．B

解析：∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是

∴,

∴是等腰直角三角形

∴

故选项是B．

9．B

解析：解： 与是“同族二次方程”，

，

∴，

，

∴

，

最小值为，

最小值为，

即最小值为．

故选B．

10．C

解析：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．

∵BD⊥AC，

∴∠ADB =∠BDC=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，

∴∠A=∠CBD，

∴△BAD∽△CBD．

根据作图痕迹可知，

A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；

B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；

C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；

D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；

故选：C．

11．C

解析：解：连接，设正方形的边长为a，正方形边长为b，，则，

∵四边形和都是正方形，

∴，

∵半圆O的半径为10，

∴，

由勾股定理得：

①②，得：

∴

∴

∴

∴

∵，

∴， 即，

把代入①，得，

即正方形的面积与正方形的面积之和是100，

故选：C．

12．B

解析：解：由函数图象可知：当F与B重合时，，即，

∵，

∴，，，

当F与D重合时，，

连接AC交BD于点O，连接FA，

∵ABCD是菱形，

∴AC和BD互相垂直平分，

∴，

∴，

当A，E，F三点共线时，y取最小值为AE，

作交于点P，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，，，

∴．

故选：B

13．

解析：解：由题意得：

∵有6种等可能的情况，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的有2种，

∴两次都摸出白球的概率是．

故答案为：．

14．5

解析：设共有x个飞机场．

，

解得 ， （不合题意，舍去），

故答案为：5．

15．

解析：解：正方形ABCD的面积为4，

，

，

，

，

所求周长；

故答案为：．

16．2

解析：∵等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm

∴

∴阴影部分面积.

17．##

解析：解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴OE=AE=BE，

设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），

∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴，

解得：(舍去) ，

∴点B（2，0），

同理∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BF=CF，

设BF=n，则点C（2+n，n）．

∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴，

解得：(舍去)，

∴．

故答案为：．

18．①②④

解析：解：，

对称轴为直线，

抛物线是常数的图象经过点，

抛物线是常数的图象经过原点，

故符合题意；

抛物线过点，

，即，

，

，

，

，

，

抛物线与轴一定有两个不同的公共点，

故符合题意；

当时，，

，

，

，

或，

令，则，

当时，，

；

当时，，

；

综上所述：的值为或，

故不符合题意；

，

，

当时，总有，

在时，随值的增大而增大，

，且，

，此时，

；

故符合题意；

故答案为：．

19．(1)

(2)

解析：（1），

∴

∴；

（2）原方程可化为：  ，

∵，

∴

∴

20．(1)4；6

(2)6

解析：（1）解：∵一次函数的图象轴交于点，

∴，OB=4，

∴一次函数解析式为，

设点C（m，n），

∵的面积是2．

∴，解得：m=1，

∵点C在一次函数图象上，

∴，

∴点C（1，6），

把点C（1，6）代入得：k=6；

（2）当y=0时，，解得：x=-2，

∴点A（-2，0），

∴OA=2，

∴．

21．(1)40，图见解析

(2)72

(3)

解析：（1）解：12÷30%＝40；40－4－12－16＝8；

补全统计图如图所示；

（2）解：；

（3）解：根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，

∴P（恰好是1男1女）= ．

22．（1）普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）10元；（3）3000元．

解析：解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．

（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，

依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，

整理，得：m2+2m﹣8＝0，

解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），

∴12﹣m＝10．

答：此时普通口罩每包的售价为10元．

（3）由题意得，这批3000包的N95口罩所获利润为2500×28×0.9﹣3000×20＝3000（元）．

答：这批3000包的N95口罩所获利润为3000元

23．(1)见解析

(2)

解析：（1）∵，    

∴，

∵，      

∴，      

∴；

（2）连，过F作于G，

则

∵    

∴    

∴

∵        

∴，

∴ ，

∴，    

∴，

∵ ，   

∴ ，   

∵，

∴ ，   

，    

∴，

∴，

24．（1）；（2）或；（3）．

最后根据相似三角形对应边成比例性质及解一元二次方程解题．

解析：解：（1）把A（−3，0）、B（−1，0）代入，得

，

解得

所以二次函数的解析式为；

（2）当时，即抛物线与轴的交点

当时，

即

结合图象可得，

当时，或；

（3）∵A（−3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4，

如图，过点D作DE⊥y轴于点E，

设，

∵点D在第三象限，

∴x<0，

∴

∵∠ACD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

∵∠CDE+∠DCE=90°，

∴∠ACO=∠CDE，

又∵∠AOC=∠DEC=90°，

∴△AOC∽△CED，

∴，

即，

 解得

，

即点D的横坐标是．

25．(1)，45；

(2)和β的大小无变化；

(3)△BCE的面积为 或．

解析：（1）解：如图1中，

∵∠B＝90°，BA＝BC，

∴∠A＝45°，AC＝ =AB，

∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴BD＝AB，EC＝AC，

∴＝，β＝45°；

故答案为，45．

（2）解：结论：和β的大小无变化．理由如下：

如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．

由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC，

∴＝，∠DAB＝∠EAC，

∴，

∴△DAB∽△EAC，

∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，

∵∠BOK＝∠COA，

∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°，

∴和β的大小无变化．

（3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，

∴，

∵点E分别是边AC的中点，

∴，

当点E在线段AB上时，，

∴S△BCE＝ =，

当点E在线段BA的延长线上时，，

∴S△BCE＝ =．

综上所述，△BCE的面积为 或．