2022-2023学年山东省德州市德城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省德州市德城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列事件为必然事件的是(    )

A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放新闻联播
C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和为

4.  已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知点、、依次在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区名九年级男生，他们的身高统计如下：

根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是(    )

A.  B.
C.  D. 与，的取值有关

8.  如表列出的是二次函数的自变量与函数的对应值，下列各选项中正确的是(    )

A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与轴无交点
C. 这个函数的最小值小于
D. 当时，的值随值的增大而增大

9.  如图，将绕边的中点顺时针旋转嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉洪的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是(    )

A. 嘉淇推理严谨，不必补充 B. 应补充：且
C. 应补充：且 D. 应补充：且

10.  为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图所示，对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  如图，已知的直径为，弦，动点、在上，弦，若点、分别是弦、的中点，则线段的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组，，的值后得到如图所示的函数图象与轴无交点，根据你学习函数的经验，这组，，的值应满足(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  用公式法解方程，其中        ．

14.  某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表：

则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是______精确到．

15.  已知：点，，都在反比例函数图象上，比较、、的大小，并用“”连接        ．

16.  如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每相邻两个刻度间的弧长均相等，连接圆心与点和点的位置，则钟面中阴影部分的面积为        ．

17.  如图是足球守门员在处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它的轨迹是抛物线，点是球落地时的第一点那么足球第一次落地点距守门员的水平距离为        米

18.  如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰三角形，，边在轴上，且将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且，再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且依此规律，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：
；
．

20.  本小题分
某校计划举办“喜迎二十大”演讲比赛，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题．
若小颖随机选择其中一个主题，求她选中的主题是“时代”的概率是______；
若小颖和小亮每人随机选择其中一个主题，用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个主题的概率．

21.  本小题分
如图，平行于轴的直尺一部分与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度，注：平面直角坐标系内一个单位长度为
求点的坐标及双曲线的函数关系式；
求点的坐标．

22.  本小题分
如图，某校要在校门口建一个体温超标临时隔离区，隔离区为长方形，面积为平方米，隔离区的一面利用学校边墙墙长米，其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇米宽的进出口不需材料，已知共用防疫隔离材料米，求这个隔离区的长是多少米？

23.  本小题分
如图，是的外接圆，，延长到，连接，使交于．
求证：与相切；
若，求的半径．

24.  本小题分
如图，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线与轴的另一交点为．

请直接写出该抛物线的函数解析式；
点是第二象限抛物线上一点，设点横坐标为．
如图，连接，，，求面积的最大值；
如图，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作轴交直线于求线段的最大值及此时点的坐标．

25.  本小题分
如图，在正方形中，，分别是，上的点，且，则，与三条线段之间的数量关系为        ．

如图，若把问中的条件变为“在四边形中，，，，分别是边，上的点，且”，中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
如图，在中，若将绕点逆时针旋转，当点，分别运动到，延长线上时，其它条件不变，中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，其中二次项系数为，常数项为．
故选：．
方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】 

【解析】解：、购买两张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
D、三角形三个内角和为，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上，
四个选项中只有选项符合．
故选：．
只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
 

5.【答案】 

【解析】解：和都对，
．
故选：．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：设该队共平场，则该队胜了场，
根据题意得：，
故选：．
设该队共平场，则该队胜了场，由题意：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，得分，列出一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：样本中身高不低于的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是．
故选：．
先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
 

8.【答案】 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.函数图象开口向上，故A选项错误；
B.与轴的交点为和，故B选项错误；
C.当时，函数有最小值为，故C选项正确；
D.函数对称轴为直线，根据图象可知当时，的值随值的增大而增大，故D选项错误．
故选：．
设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
故选B．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
利用、关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．
本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式．
【解答】
解：高，，且、关于轴对称，
点坐标为，
轴，，最低点在轴上，
关于直线对称，
左边抛物线的顶点的坐标为，
右边抛物线的顶点的坐标为，
设右边抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
右边抛物线的解析式为，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：连接、、、，如图所示：

的直径为，
，
点、分别是弦、的中点，，，
，，，，
，，
当时，、、三点共线，
当、位于的同侧时，线段的长度最短，
当、位于的两侧时，线段的长度最长，
线段的长度的取值范围是，
故选：．
连接、、、，由垂径定理得，，，，由勾股定理得，，当时，、、三点共线，当、位于的同侧时，线段的长度最短，当、位于的两侧时，线段的长度最长，便可得出结论．
本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，必有且，
设虚线为显然，，易知两条
由图中可知，当时，，，所以，
当时，，，所以，可得在的左右两侧时，符号是不同的，即；
当时，，而，所以，显然另外一条分割线为，
故选：．
从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．
本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故答案为：．
将，，的值代入中即可求出结论．
本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，牢记根的判别式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：观察表格发现随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在附近，
故投中的概率估计值为；
故答案为：．
大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点位于第四象限，
；
，
、在第一象限，
，
，
．
故答案为：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：
故钟面中阴影部分的面积为 ．
故答案为：．
根据扇形面积公式计算即可求解．
本题考查有关扇形面积的计算，熟练应用面积公式是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
当时，舍去，；
故答案为：．
抛物线的解析式为，当时，求得舍去，即可求解．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是能熟练掌握解二次函数并能利用二次函数解决实际问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．
在等腰三角形中，，
，．
在中，，
，
，
，
，
，

．
，
点所在位置与所在位置相同，即在轴正半轴上，
点的坐标为
故答案为：
先根据等腰三角形的性质求出，再依次求出，，，从而得出，再根据旋转角为得出点所在的位置是以每次为一个周期依次循环，由，可知点与所在位置相同，即在轴正半轴上，进而得出结论．
此题考查了坐标与图形变化旋转，等腰三角形的性质，解直角三角形，点的坐标变化规律，得出长度及点位置变化规律是解题关键．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
，． 

【解析】把方程左边进行因式分解得到，再解两个一元一次方程即可；
首先把二次项系数化为，然后进行配方，再开方求出方程的解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

20.【答案】 

【解析】解：若小颖随机选择其中一个主题，则她选中的主题是“时代”的概率是，
故答案为：；
把“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度“三个主题分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，
小颖和小亮恰好选择同一个主题的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小颖和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：点和的刻度分别为和，
点坐标为；
将点坐标代入得，，
双曲线的函数关系式为；
直尺的宽度为，，
，
点的横坐标为，
当时，，
点的坐标为 

【解析】先求出点坐标，再代入反比例函数入，求出的值即可；
根据直尺的宽度为，得出，故可得出点的横坐标为，把代入中反比例函数的解析式即可得出点纵坐标．
本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意求出点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：设这个隔离区的长是米，则另一边的长为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
墙长米，
．
答：这个隔离区的长是米． 

【解析】设这个隔离区的长是米，则另一边的长为米，根据隔离区的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长米，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

，
，
；
又，
，
是半径，
是的切线；
解：设的半径为，
则，，，
在中，，
，
解得，
的半径为． 

【解析】连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明；
设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出．
本题考查了切线的判定定理．圆周角定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握切线的判定．
 

24.【答案】解：由题意可得，
当时，，
当时，，解得，
，，
代入得，；
解：连接，，
令，则，
解得，，
在第二象限，
，



，
当时，的面积最大，为，
过作轴于，交轴于，

在和中，

≌，
，
，
令，则，
当时最大为，点的坐标． 

【解析】根据题意用一次函数解析式求出与轴轴交点坐标，代入即可得到答案；
连接，利用对角线将四边形分成不同的两个三角形，利用底边在轴线上的三角形面积和差即可得到所求三角形面积表达式，配方成顶点式即可得到最值；
过作轴于，交轴于，易证≌，从而可以根据线段关系得到、点坐标，得到的表达式再根据二次函数最值即可求解．
本题考查了一次函数与二次函数共存问题及二次函数实际应用题，通过数形结合最终将最值问题转换成二次函数最值问题是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
．
故答案为：；

结论仍然成立．
理由如下：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则≌，
，，，，
又，
，
，
又，
，
、、三点共线，
在与中，
，
≌，
，
又，
；

发生变化．、、之间的关系是．
理由如下：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到，
≌，
，，，
又，且，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
又，
，
即．
将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，再根据证明，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，利用旋转变换构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．