2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（含详解）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（含详解），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
A. y=−0.1xB. y=3x+1C. y=2x2D. y2=4x
2.在△ABC中，AB：AC：BC=3：4：5，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
3.下列函数中，y随x的增大而减小的是( )
A. y=x−1B. y=−x+1C. y=2x+1D. y=3x+1
4.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，则剪口与折痕形成的锐角的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
5.如图所示，数轴上点A表示的数为( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
6.学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，下列算式正确的是( )
A. x(x+1)=15B. x(x−1)=15C. 12x(x+1)=15D. 12x(x−1)=15
7.如图，在四边形ABCD中，已知AD/​/BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AD=BCB. AB//DC
C. AB=DCD. ∠A=∠C
8.下列命题的逆命题成立的是( )
A. 如果两个角是直角，那么它们相等B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C. 全等三角形的对应角相等D. 同旁内角互补，两直线平行
9.对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如：3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3)⊗x=k−1的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
10.对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的以下4个结论：①k>0；②kb<0；③k−b>0；④b=1−2k.其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是______．
12.已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则m= ______．
13.如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为______cm．
14.直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是______．
15.如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠DAB=60°，BE⊥AB交AC于点E，DF⊥CD交AC于点F，若AB=6cm，则EF= ______cm．
16.漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对函数思想的创造性应用.研究中发现水位ℎ(cm)是时间t(min)的一次函数，如表是小睿同学记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度ℎ为______cm．
17.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.44%，则平均每次降息的百分率为______%.
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD= ______．
19.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数y=kx+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若△AOB的面积为9，则k的值为______．
20.如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB=4，BC=8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.下列结论：①CQ=CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN= 20；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5.其中正确的______.(把正确结论的序号都填上)．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
解方程：2x2−x+2=3x+1．
22.(本小题8分)
如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
(1)在图1中画出以AB为边且周长为无理数的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上(画出一个即可)；
(2)在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF．
23.(本小题8分)
如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点．
(1)四边形ABCD的面积为______，
四边形ABCD的周长为______；
(2)∠BCD是直角吗？说明理由．
24.(本小题8分)
经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种铜的胸径为0.28m时，树高为22m．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
25.(本小题10分)
第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中.某商场经销一种成本为每套40元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于50元.据市场分析，若按每套50元销售，一个月能售出500套；销售单价每涨1元，月销售量就减少10套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题：
(1)当销售单价定为55元时，该商品的月销售量为______套，月销售利润为______元；
(2)若该商场想在月销售成本不超过10000元的情况下，使每月销售利润达到8000元，则该商品的销售单价应定为每套多少元？
26.(本小题10分)
【问题探究】
(1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.在线段AO上任取一点E(端点除外)，连接DE．

①点F在线段BA的延长线上，连接EF，且EF=DE.当点E在线段AO上的位置发生变化时，∠DEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②探究AF与OE的数量关系，并说明理由．
【迁移探究】
(2)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变.试探究AF与CE的数量关系，并说明理由．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、点C，直线AC交x轴的正半轴于点A，且OA=3OB．
(1)求直线AC的解析式；
(2)点D是线段AC上一个动点(点D不与点A，C重合)，连接BD，设点D的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，过点A作AE/​/BD，交直线BC于点E，交y轴于点F，以AE为底边作等腰△AEG，其中点G在第四象限内，且S△AEG=4532S.点H是x轴上的一点，连接BF，EH，GH.当BF/​/AC时，求|GH−EH|的最大值，并求出此时点H的坐标．
答案解析
1.A
【详解】解：y=−0.1x符合正比例函数的定义，则A符合题意；
y=3x+1，y=2x2，y2=4x均不符合正比例函数的定义，则B，C，D不符合题意；
故选：A．
2.B
【详解】解：∵AB：AC：BC=3：4：5，
∴设AB=3x，则AC=4x，BC=5x，
∵(3x)2+(4x)2=(5x)2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
3.B
【详解】解：因为当k>0时，
一次函数y=kx+b中y随x的增大而增大，
当k<0时，
一次函数y=kx+b中y随x的增大而减小，
且四个选项中只有B选项中的k=−1<0，
满足y随x的增大而减小．
故选：B．
4.B
【详解】解：根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，可以说一定是个菱形，
菱形里只要有一个角是90°就是正方形．
展开四边形后的角为：2α=90°，即α=45°．
故选：B．
5.C
【详解】解：根据题意可知： 22+12= 5，
∴数轴上点A表示的数为 5，
故选：C．
6.D
【详解】解：由题意得，
12x(x−1)=15，
故选：D．
7.C
【详解】解：A、因为AD//BC，AD=BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、因为AD//BC，AB//DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、AB=DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D、因为AD//BC得到∠ADB=∠CBD，又∠A=∠C，BD=DB，因此△ABD≌△CDB(AAS)，得到AD=CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
8.D
【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立，不符合题意；
B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；
故选：D．
9.A
【详解】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x−k+1=0，
∴Δ=[−(k−3)]2−4×1×(−k+1)=(k−1)2+4>0，
∴关于x的方程(k−3)⊗x=k−1有两个不相等的实数根．
故选：A．
10.C
【详解】解：因为函数图象不经过第二象限，且经过点(2,1)，
则函数的大致图象如图所示，
所以k>0，
故①正确．
当函数图象经过第一、三象限时，
b=0，
此时kb=0．
故②错误．
因为k>0，b≤0，
所以k−b>0．
故③正确．
将点(2,1)坐标代入函数解析式得，
2k+b=1，
即b=1−2k．
故④正确．
故选：C．
11.x≠2
【详解】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
12.−1
【详解】解：把x=−4代入关于x的方程x2+mx−20=0得：
(−4)2−4m−20=0，
16−4m−20=0，
−4m−4=0，
4m=−4，
m=−1，
故答案为：−1．
13.8
【详解】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB=2CD，
∵CD=4cm，
∴AB=2CD=8(cm)，
故答案为：8．
14.x≥2
【详解】解：由图象可得，
当x≥2时，y=kx+b对应的函数值不大于0，
∴不等式kx+b≤0的解集是x≥2，
故答案是：x≥2．
15.2 3
【详解】解：如图所示：连接DB，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=6cm，DC/​/AB，
∵∠DAB=60°，∠DCF=∠BAE，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6cm，
∵BE⊥AB，DF⊥CD，
∴∠FDC=∠EBA=90°，
在△DFC和△BEA中，
∠FDC=∠EBADC=BA∠DCF=∠BAE，
∴△DFC≌△BEA(SAS)，
∴FC=AE，即FC−EF=AE−EF，
∴AF=CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=3cm，OA=OC，AC⊥BD，∠DAO=∠BAO=12∠DAB=30°，
∴OA−AF=OC−CE，即OE=OF=12EF，
在Rt△AOD中，AD=6cm，∠DAO=30°，
∴OD=12AD=3cm，
在Rt△ADO中，
根据勾股定理得：AO= AD2−OD2= 62−32=3 3cm，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∵∠BAO=30°，
∴AE=2BE，
根据勾股定理得：AE2−BE2=AB2，即(2BE)2−BE2=62，
整理得：3BE2=36，即BE2=12，
开方得：BE=2 3或BE=−2 3(不合题意舍去)，
∴AE=4 3cm，
∴OE=AE−OA=4 3−3 3= 3cm，
∴EF=2OE=2 3cm．
故答案为：2 3．
16.5.8
【详解】解：ℎ=2.2+(t−1)×[(2.6−2.2)÷(2−1)]
=1.8+0.4t，
当t=10时，ℎ=1.8+0.4×10=5.8．
故答案为：5.8．
17.20
【详解】解：设平均每次降息的百分率为x，
根据题意得：2.25%(1−x)2=1.44%，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意，舍去)，
∴平均每次降息的百分率为20%．
故答案为：20．
18.5
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
CD=DEBD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE=6，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∴AE=AB−BE=10−6=4，
设CD=DE=x，则AD=AC−CD=8−x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，
∴42+x2=(8−x)2，
解得：x=3，
∴AD=8−x=5．
故答案为：5．
19.=±12
【详解】解：(1)∵直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A(−3k,0)，B(0,3)，
∴OA=|−3k|，OB=3，
∴S△ABO=⋅OA⋅OB=12×|−3k|×3=92|1k|，
∵S△ABO=9，
∴92|1k|=9，
解得：k=±12，
检验：当k=±12时原方程成立，
∴k=±12，
故答案为：±12．
20.②③
【详解】解：如图1，
∵PM/​/CN，
∴∠PMN=∠MNC，
∵∠MNC=∠PNM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∵NC=NP，
∴PM=CN，
∵MP//CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN=NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP=∠MCP，
∴∠MQC=∠D=90°，
∵CM=CM，
若CQ=CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD(HL)，
∴∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°，这个不一定成立，故①错误；
点P与点A重合时，如图2所示：
设BN=x，则AN=NC=8−x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2，
即42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
∴CN=8−3=5，AC= AB2+BC2= 42+82=4 5，
∴CQ=12AC=2 5，
∴QN= CN2−CQ2= 52−(2 5)2= 5，
∴MN=2QN=2 5.故③正确；
当MN过点D时，如图3所示：
此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=14S菱形CMPN=14×4×4=4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=14×5×4=5，
∴4≤S≤5，故④错误．
故答案为：②③．
21.解：2x2−x+2=3x+1，
2x2−4x+1=0，
a=2，b=−4，c=1，
Δ=(−4)2−4×2×1=8>0，
∴x=4± 84=2± 22，
∴x1=2+ 22，x2=2− 22．
22.解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)；

(2)如图2中，正方形AEBF即为所求．
23.17.5 5 2+3 5+5
【详解】解：(1)如图：
四边形ABCD的面积为=S矩形AEFG−S△AEB−S△BFC−S△ADK−S梯形CDKG
=7×5−12×7×1−12×4×2−12×3×4−12×(3+5)×1
=35−3.5−4−6−4
=17.5，
∴四边形ABCD的面积为17.5，
由题意得：
AB=1 12+72=5 2，BC= 42+22=2 5，CD= 12+22= 5，AD= 32+42=5，
∴AB+BC+CD+AD=5 2+2 5+ 5+5
=5 2+3 5+5，
∴四边形ABCD的周长为5 2+3 5+5，
故答案为：17.5，5 2+3 5+5；
(2)∠BCD是直角，
理由：连接BD，
由(1)得：
BC2=(2 5)2=20，CD2=( 5)2=5，
∵BD2=32+42=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD是直角．
24.解：(1)设y=kx+b(k≠0)，
根据题意，得0.2k+b=200.28k+b=22，
解之，得k=25b=15，
∴y=25x+15；
(2)当x=0.3m时，y=25×0.3+15=22.5(m)．
∴当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m．
25.
【详解】解：(1)根据题意得：500−10×(55−50)
=500−10×5
=500−50
=450(套)，
(55−40)×450
=15×450
=6750(元)，
∴当销售单价定为55元时，该商品的月销售量为450套，月销售利润为6750元．
故答案为：450，6750；
(2)设该商品的销售单价应定为每套x元，则每套的销售利润为(x−40)元，月销售量为500−10(x−50)=(1000−10x)套，
根据题意得：(x−40)(1000−10x)=8000，
整理得：x2−140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当x=60时，40(1000−10x)=40×(1000−10×60)=16000>10000，不符合题意，舍去；
当x=80时，40(1000−10x)=40×(1000−10×80)=8000<10000，符合题意．
答：该商品的销售单价应定为每套80元．
26.解：(1)①∠DEF的大小不发生变化，∠DEF=90°；理由如下：
如图1，作EG⊥AB，EH⊥AD，垂足分别为点G、H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，∠BAC=∠DAC=12∠DAB=45°，AC⊥BD，
∴EG=EH，
又∵EF=DE，
∴Rt△EFG≌Rt△EDH(HL)，
∴AG=AH，∠FEG=∠DEH，
在四边形AGEH中，∠GEH=360°−90°−90°−90°=90°，
∴∠DEF=∠DEH+∠FEH=∠FEG+∠FEH=∠GEH=90°，
∴∠DEF的大小不发生变化，∠DEF=90°；
②AF= 2OE；理由如下：
如图1，令AG=m，OE= 2n，则AH=m，
在Rt△AEH中，∠AEH=90°−∠EAH=90°−45°=45°=∠EAH，
∴EH=AH=m，
∴AE= AH2+EH2= m2+m2= 2m，
∴OA=AE+OE= 2m+ 2n= 2(m+n)，
同理：在Rt△OAD中，AD= 2× 2(m+n)=2(m+n)，
∴DH=AD−AH=2(m+n)−m=m+2n=FG，
∴AF=FG−AG=m+2n−m=2n，
∴AF= 2OE；
(2)AF=CE；理由如下：
如图2，作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为点M、N．

令AM=a，OE=b．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，AC=2OA，
∴EM=EN，
又∵EF=DE，
∴Rt△EFM≌Rt△EDN(HL)，
∴FM=DN，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠DAC=∠BAC=60°，AC=AB，
∵∠EAM=∠EAN，∠EMA=∠ENA=90°，AE=AE，
∴△AEM≌Rt△AEN(AAS)，
∴AN=AM=a，
在Rt△AEN中，∠AEN=90°−∠EAN=90°−60°=30°，
∴AE=2AN=2a，
∴OA=AE+OE=2a+b，
∴AC=2OA=4a+2b=AD，
∴CE=AC−AE=4a+2b−2a=2a+2b，
∵FM=DN=AD−AN=4a+2b−a=3a+2b，
∴AF=FM−AM=3a+2b−a=2a+2b=CE．
27.解：(1)直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、点C，则点B、C的坐标分别为：(−1,0)、(0,3)，
则OA=3OB=3，则点A(3,0)，
设直线AC的表达式为：y=kx+3，
将点A的坐标代入上式得：0=3k+3，则k=−1，
则直线AC的表达式为：y=−x+3；
(2)设点D(t,−t+3)，
由点A、B的坐标得，AB=3−(−1)=4，
则S=S△ABC−S△ADB=12×AB×CO−12AB×yD=12×4×3−12×4×(−t+3)=2t；
(3)过点D作DR⊥x轴于点R，过点G作GP⊥AE于点P，过点G作直线l//x轴交y轴于点T，过点A作AN⊥l于点N，过点E作EM⊥l于点M，交x轴于点L，

∵AE/​/BD，BF/​/AC，
则四边形ADBF为平行四边形，∠DAR=∠FBO，则AD=BF，
∵∠ARD=∠BOF=90°，
则△ADR≌△BFO(AAS)，则AR=OB=1，DF=DR，
则t=OR=OA−AR=3−1=2，
则OF=DR=−t+3=1，S=2t=4，
则点F(0,−1)，
由点A、F的坐标得，直线AF的表达式为：y=13x−1，
∵MN//AL，
∴∠ALE+∠M=180°，则∠ALE=180°−90°=90°=∠M=∠N，
则四边形ALMN为矩形，
则AN=ML，MN=AL=3+32=92，
则Rt△AEL中，AE= EL2+AL2=3 102，
∵S△AEG=4532S=4532×4=458=12×3 102×GP，
则GP=3 104，
∵AN=ML，
则GP⊥AE，则AP=EP=12AE=3 104=GP，
∴∠PEG=∠PGE，∠PAG=∠PGA，EG= EP2+GP2=3 52，
∵∠PEG+∠PGE=90°，∠PAG+∠PGA=90°，
∴∠PEG=∠PGA=45°，则∠EGA=90°．
∴∠AGN+∠EGM=90°，
∵∠GEM+∠GME=90°，
∴∠AGN=∠EGM，
∵∠N=∠M=90°，AG=EG，
∴△AGN≌△GEM(AAS)，
∴GN=EM，AN=MG，令EM=c，则GN=c，MG=AN=ML=c+32，
∵MG+GN=MN，
∴c+32+c=92，
∴c=32，
∴GM=AN=ML=c+32，
∵∠OLM=∠M=∠LOT=90°，
∴四边形OLMT为矩形，
∴OT=ML=3，
∴G(32,−3)，
当点E、G、H共线时，|GH−EH|=EG最大，最大值为：3 52，
由点E、G的坐标得，直线EG的表达式为：y=−12x−94，
则点H(−92,0)． t(min)
…
1
2
3
…
ℎ(cm)
…
2.2
2.6
3.0
…