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2023-2024学年安徽省安庆市桐城市七年级（下）期末数学试卷 含详解
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这是一份2023-2024学年安徽省安庆市桐城市七年级（下）期末数学试卷 含详解，共13页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣8的立方根是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣4D．
2．在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣4mB．7.8×10﹣7m
C．7.8×10﹣8mD．78×10﹣8m
3．如图，这是关于x的不等式﹣x+a＞﹣2的解集，则a的值是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
4．如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中∠1的度数为（ ）
A．40°B．80°C．140°D．160°
5．解方程，两边同乘（x﹣1）后得到的式子为（ ）
A．2﹣3＝﹣xB．2﹣3（x﹣1）＝﹣x
C．2﹣3（x﹣1）＝xD．2+3（x﹣1）＝﹣x
6．某校举行防溺水知识竞赛，共有20道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于90分，则至少应该答对几道题？设答对x道题，则可列不等式（ ）
A．5x﹣3（20﹣x）＞90B．5x﹣3（20﹣x）≤90
C．5x﹣3x≥90D．5x﹣3（20﹣x）≥90
7．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底的C处，射线BD是光线AB的延长线．若∠1＝70°，∠DBC＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．28°C．32°D．38°
8．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为（2a+3b），长为（3a+2b）的大长方形，则他准备的C类卡片（ ）
A．够用，剩余0张B．够用，剩余2张
C．不够用，还缺1张D．不够用，还缺2张
9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为24＝72﹣52，所以称24为“完美数”．下面4个数中为“完美数”的是（ ）
A．200B．202C．210D．230
10．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′．若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的度数不可能为（ ）
A．20°B．40°C．100°D．120°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）比较大小： ．
12．（5分）因式分解：3a2﹣12＝ ．
13．（5分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
14．（5分）把一块含60°角的直角三角尺EFG（其中∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）按如图所示的方式摆放在两条平行线AB，CD之间．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G落在CD上，且∠1＝2∠2，则∠1的度数为 ．
（2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在AB上，60°角的顶点G落在CD上，则∠AFG与∠EGD的数量关系为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式组，并列出该不等式组的所有的正整数解．
16．（8分）先化简，再求值，其中a＝3．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知实数a，b，c，d，e，若a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的算术平方根为3，求的平方根．
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB，OE平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数．
（2）若∠AOC：∠COF＝2：1，求∠DOE的度数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察以下等式．
第1个等式：1×2×3×4+1＝（12+3×1+1）2．
第2个等式：2×3×4×5+1＝（22+3×2+1）2．
第3个等式：3×4×5×6+1＝（32+3×3+1）2．
第4个等式：4×5×6×7+1＝（42+3×4+1）2．
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示）
20．（10分）常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解、如：x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
（1）分解因式：16x2﹣8x+2y﹣y2．
（2）已知a，b，c满足a2﹣2ac+c2＝ab﹣bc，且a≠c，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
六、（本题满分12分）
21．（12分）怀远的石榴，砀山的梨，因品质优良，而享誉全国．某水果店老板用3600元购进石榴、1200元购进砀山梨，购进石榴的数量是购进砀山梨的数量的1.5倍，已知每斤砀山梨的进价比每斤石榴的进价便宜2元．
（1）求石榴、砀山梨每斤的进价．
（2）若石榴每斤的售价为7元，砀山梨每斤的售价为4元，水果店老板在售出200斤石榴和200斤梨后，为减少库存压力，打算将剩余的梨打折销售，石榴保持原价销售，两种水果全部售出后，要使总获利不低于3500元，则剩下的梨最低可以打几折？
七、（本题满分12分）
22．（12分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
理解应用：
（1）观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
拓展升华：
（2）①已知a2+b2＝15，a+b＝5，求ab的值．
②已知（2026﹣c）（c﹣2024）＝﹣1，求（2026﹣c）2+（c﹣2024）2的值．
八、（本题14分）
23．（14分）如图，AB∥CD，点E，G分别在直线AB，CD上，F是平面内任意一点，连接EF，FG．
＜
（1）探究：如图1，当点F在直线EG的左侧时，试说明：∠EFG＝∠AEF+∠FGC．
（2）问题迁移：如图2，当点F在AB的上方时，∠EFG，∠AEF，∠CGF之间有何数量关系？请说明理由．
（3）联想拓展：如图3，若∠EFG＝β，∠FEB的平分线和∠FGD的平分线交于点P，用含β的式子表示∠EPG的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：B．
2．解：0.000 000 78＝7.8×10﹣7m．故选B．
3．解：解不等式得，x＜2+a，
由数轴可得，x＜﹣1，
∴2+a＝﹣1，
解得a＝﹣3，
故选：D．
4．解：∵∠1的对顶角为40°，
∴∠1＝40°．
故选：A．
5．解：，
两边同乘（x﹣1）后得：2﹣3（x﹣1）＝﹣x，
故选：B．
6．解：设答对x道题，根据题意可得：5x﹣3（20﹣x）≥90，
故选：D．
7．解：∵MN∥EF，
∴∠MBC＝∠1＝70°，
∴∠MBD＝∠MBC﹣∠DBC＝70°﹣28°＝42°，
∴∠2＝∠MBD＝42°．
故选：A．
8．解：大长方形的面积为（2a+3b）（3a+2b）＝6a2+13ab+6b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要C类卡片的张数是13，
∴够用，剩余2张，
故选：B．
9．解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，
∴可设这两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为正整数），
∴这个“完美数”为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
∴这个“完美数”为8的倍数．
观察各选项可知只有200是8的倍数，
∴这4个数中200是“完美数”．
故选：A．
10．解：如图1，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB．
因为三角形A′B′C′由三角形ABC平移得到，
所以AB∥A′B′．
因为CG∥AB，AB∥A′B′，
所以CG∥A′B′．
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x．
因为CG∥AB，CG∥A′B′，
所以∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x．
因为∠ACG＝∠ACA′+∠A′CG，
所以2x+x＝60°，
解得x＝20°，
所以∠ACA′＝2x＝40°；
图1
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，设∠CA′B′＝x，则．
因为CG∥AB，CG∥A′B′，
所以∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x．
因为∠ACG＝∠ACA′+∠A′CG，
所以，
解得x＝40°，
所以．
如图2，过点C作CG∥AB．
因为三角形A′B′C′由三角形ABC平移得到，
所以AB∥A′B′．
因为CG∥AB，AB∥A′B′，
所以CG∥A′B′．
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x．
因为CG∥AB，CG∥A′B′，
所以∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x．
因为∠ACA′＝∠ACG+∠A′CG，
所以2x＝x+60°，
解得x＝60°，所以∠ACA′＝2x＝120°；
图2
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在这种情况．
综上所述，∠ACA′的度数为20°或40°或120°，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．解：∵＜2，
∴﹣1＜1，
∴＜．
故答案为：＜．
12．解：3a2﹣12
＝3（a2﹣4）
＝3（a+2）（a﹣2），
故答案为：3（a+2）（a﹣2）．
13．解：去分母得x﹣m＝1﹣x，
解得：，
∵方程的解为正数，
∴且，
解得：m＞﹣1且m≠1．
14．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠1＝2∠2，
∴∠2+60°+2∠2＝180°，
解得∠2＝40°，
∴∠1＝2∠2＝80°，
故答案为：80°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AFG＝∠FGD，
即∠AFG＝60°+∠EGD，
整理得∠AFG﹣∠EGD＝60°，
故答案为：∠AFG﹣∠EGD＝60°．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：解不等式2x≥x+1，得x≥1；
解不等式3x+1＜x+9，得x＜4，
所以不等式组的解集是1≤x＜4，
所以该不等式组的所有正整数解是1，2，3．
16．解：．
当a＝3时，原式＝．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1．
∵c，d互为相反数，
∴c+d＝0．
∵e的算术平方根为3，
∴e＝9，
∴，
∴4的平方根为±2．
18．解：（1）∵OE平分∠AOD，∠BOD＝60°，
∴∠AOE＝∠DOE＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
∴∠COA＝60°，
∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝60°+60°＝120°．
（2）∵∠AOC：∠COF＝2：1，
设∠COF＝x，则∠AOC＝2x．
∵∠AOC+∠COF+∠FOB＝180°，
∴x+2x+90°＝180°，
解得x＝30°，
∴∠AOC＝60°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠DOE．
∵∠AOE+∠EOD+∠AOC＝180°，
∴2∠DOE+60°＝180°，
∴∠DOE＝60°．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）通过观察前面式子可得：
第5个等式：5×6×7×8+1＝（52+3×5+1）2，
故答案为：5×6×7×8+1＝（52+3×5+1）2；
（2）通过观察前面式子可得：
第n个等式：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2．
20．解：（1）16x2﹣8x+2y﹣y2＝（16x2﹣y2）﹣（8x﹣2y）
＝（4x+y）（4x﹣y）﹣2（4x﹣y）
＝（4x﹣y）（4x+y﹣2）；
（2）a＝b+c．
理由：因为a2﹣2ac+c2＝ab﹣bc，
所以a2﹣2ac+c2﹣ab+bc＝0，
所以（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0，
所以（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0，
所以a﹣c＝0或a﹣c﹣b＝0．
因为a≠c，所以a＝b+c．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）设石榴每斤的进价为x元，则砀山梨每斤的进价为（x﹣2）元，
由题意，得，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意，
所以x﹣2＝2，
答：石榴每斤进价为4元，砀山梨每斤进价为2元；
（2）设剩下的梨打m折出售，
石榴的数量为（斤），梨的数量为（斤），
由题意，得，
解得m≥7.5，
答：最低可以打7.5折．
七、（本题满分12分）
22．解：（1）用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形，则阴影面积为（x+y）2﹣2xy，
阴影部分为两个正方形，面积表示为x2+y2，
∴（x+y）2﹣2xy＝x2+y2．
（2）①由（1），可得（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
当a2+b2＝15，a+b＝5时，25﹣2ab＝15，解得ab＝5．
②（2026﹣c）（c﹣2024）＝﹣1．
由（1），可得[（2026﹣c）+（c﹣2024）]2﹣2（2026﹣c）（c﹣2024）＝（2026﹣c）2+（c﹣2024）2，
所以（2026﹣c）2+（c﹣2024）2＝22﹣2×（﹣1）＝6．
八、（本题14分）
23．解：（1）如图1，过点F作FH∥AB，
∴∠AEF＝∠EFH．
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠CGF＝∠HFG．
∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，
∴∠EFG＝∠AEF+∠FGC．
（2）∠EFG＝∠AEF﹣∠CGF．
理由：如图2，过点F作FM∥AB，
∴∠AEF＝∠MFE．
∵AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠CGF＝∠MFG．
∵∠EFG＝∠EFM﹣∠GFM，
∴∠EFG＝∠AEF﹣∠CGF．
（3）如图3，过点F作FN∥AB，过点P作PQ∥AB，
则∠NFE＝∠FEB，∠QPE＝∠PEB．
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，PQ∥CD，
∴∠NFG＝∠FGD，∠QPG＝∠PGD．
∵∠EFG＝∠NFG﹣∠NFE，∠EPG＝∠QPG﹣∠QPE，
∴∠EFG＝∠FGD﹣∠FEB，∠EPG＝∠PGD﹣∠PEB．
∵∠FEB的平分线和∠FGD的平分线交于点P，
∴，，
∴，
∴．
x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式
＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
1．﹣8的立方根是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣4D．
2．在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.00000078m，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣4mB．7.8×10﹣7m
C．7.8×10﹣8mD．78×10﹣8m
3．如图，这是关于x的不等式﹣x+a＞﹣2的解集，则a的值是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
4．如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中∠1的度数为（ ）
A．40°B．80°C．140°D．160°
5．解方程，两边同乘（x﹣1）后得到的式子为（ ）
A．2﹣3＝﹣xB．2﹣3（x﹣1）＝﹣x
C．2﹣3（x﹣1）＝xD．2+3（x﹣1）＝﹣x
6．某校举行防溺水知识竞赛，共有20道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于90分，则至少应该答对几道题？设答对x道题，则可列不等式（ ）
A．5x﹣3（20﹣x）＞90B．5x﹣3（20﹣x）≤90
C．5x﹣3x≥90D．5x﹣3（20﹣x）≥90
7．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底的C处，射线BD是光线AB的延长线．若∠1＝70°，∠DBC＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．28°C．32°D．38°
8．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为（2a+3b），长为（3a+2b）的大长方形，则他准备的C类卡片（ ）
A．够用，剩余0张B．够用，剩余2张
C．不够用，还缺1张D．不够用，还缺2张
9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为24＝72﹣52，所以称24为“完美数”．下面4个数中为“完美数”的是（ ）
A．200B．202C．210D．230
10．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′．若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的度数不可能为（ ）
A．20°B．40°C．100°D．120°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）比较大小： ．
12．（5分）因式分解：3a2﹣12＝ ．
13．（5分）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
14．（5分）把一块含60°角的直角三角尺EFG（其中∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）按如图所示的方式摆放在两条平行线AB，CD之间．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G落在CD上，且∠1＝2∠2，则∠1的度数为 ．
（2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在AB上，60°角的顶点G落在CD上，则∠AFG与∠EGD的数量关系为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式组，并列出该不等式组的所有的正整数解．
16．（8分）先化简，再求值，其中a＝3．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知实数a，b，c，d，e，若a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的算术平方根为3，求的平方根．
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB，OE平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数．
（2）若∠AOC：∠COF＝2：1，求∠DOE的度数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）观察以下等式．
第1个等式：1×2×3×4+1＝（12+3×1+1）2．
第2个等式：2×3×4×5+1＝（22+3×2+1）2．
第3个等式：3×4×5×6+1＝（32+3×3+1）2．
第4个等式：4×5×6×7+1＝（42+3×4+1）2．
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示）
20．（10分）常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解、如：x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
（1）分解因式：16x2﹣8x+2y﹣y2．
（2）已知a，b，c满足a2﹣2ac+c2＝ab﹣bc，且a≠c，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．
六、（本题满分12分）
21．（12分）怀远的石榴，砀山的梨，因品质优良，而享誉全国．某水果店老板用3600元购进石榴、1200元购进砀山梨，购进石榴的数量是购进砀山梨的数量的1.5倍，已知每斤砀山梨的进价比每斤石榴的进价便宜2元．
（1）求石榴、砀山梨每斤的进价．
（2）若石榴每斤的售价为7元，砀山梨每斤的售价为4元，水果店老板在售出200斤石榴和200斤梨后，为减少库存压力，打算将剩余的梨打折销售，石榴保持原价销售，两种水果全部售出后，要使总获利不低于3500元，则剩下的梨最低可以打几折？
七、（本题满分12分）
22．（12分）在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
理解应用：
（1）观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
拓展升华：
（2）①已知a2+b2＝15，a+b＝5，求ab的值．
②已知（2026﹣c）（c﹣2024）＝﹣1，求（2026﹣c）2+（c﹣2024）2的值．
八、（本题14分）
23．（14分）如图，AB∥CD，点E，G分别在直线AB，CD上，F是平面内任意一点，连接EF，FG．
＜
（1）探究：如图1，当点F在直线EG的左侧时，试说明：∠EFG＝∠AEF+∠FGC．
（2）问题迁移：如图2，当点F在AB的上方时，∠EFG，∠AEF，∠CGF之间有何数量关系？请说明理由．
（3）联想拓展：如图3，若∠EFG＝β，∠FEB的平分线和∠FGD的平分线交于点P，用含β的式子表示∠EPG的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：B．
2．解：0.000 000 78＝7.8×10﹣7m．故选B．
3．解：解不等式得，x＜2+a，
由数轴可得，x＜﹣1，
∴2+a＝﹣1，
解得a＝﹣3，
故选：D．
4．解：∵∠1的对顶角为40°，
∴∠1＝40°．
故选：A．
5．解：，
两边同乘（x﹣1）后得：2﹣3（x﹣1）＝﹣x，
故选：B．
6．解：设答对x道题，根据题意可得：5x﹣3（20﹣x）≥90，
故选：D．
7．解：∵MN∥EF，
∴∠MBC＝∠1＝70°，
∴∠MBD＝∠MBC﹣∠DBC＝70°﹣28°＝42°，
∴∠2＝∠MBD＝42°．
故选：A．
8．解：大长方形的面积为（2a+3b）（3a+2b）＝6a2+13ab+6b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要C类卡片的张数是13，
∴够用，剩余2张，
故选：B．
9．解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，
∴可设这两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为正整数），
∴这个“完美数”为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
∴这个“完美数”为8的倍数．
观察各选项可知只有200是8的倍数，
∴这4个数中200是“完美数”．
故选：A．
10．解：如图1，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB．
因为三角形A′B′C′由三角形ABC平移得到，
所以AB∥A′B′．
因为CG∥AB，AB∥A′B′，
所以CG∥A′B′．
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x．
因为CG∥AB，CG∥A′B′，
所以∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x．
因为∠ACG＝∠ACA′+∠A′CG，
所以2x+x＝60°，
解得x＝20°，
所以∠ACA′＝2x＝40°；
图1
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，设∠CA′B′＝x，则．
因为CG∥AB，CG∥A′B′，
所以∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x．
因为∠ACG＝∠ACA′+∠A′CG，
所以，
解得x＝40°，
所以．
如图2，过点C作CG∥AB．
因为三角形A′B′C′由三角形ABC平移得到，
所以AB∥A′B′．
因为CG∥AB，AB∥A′B′，
所以CG∥A′B′．
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x．
因为CG∥AB，CG∥A′B′，
所以∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x．
因为∠ACA′＝∠ACG+∠A′CG，
所以2x＝x+60°，
解得x＝60°，所以∠ACA′＝2x＝120°；
图2
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在这种情况．
综上所述，∠ACA′的度数为20°或40°或120°，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．解：∵＜2，
∴﹣1＜1，
∴＜．
故答案为：＜．
12．解：3a2﹣12
＝3（a2﹣4）
＝3（a+2）（a﹣2），
故答案为：3（a+2）（a﹣2）．
13．解：去分母得x﹣m＝1﹣x，
解得：，
∵方程的解为正数，
∴且，
解得：m＞﹣1且m≠1．
14．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠1＝2∠2，
∴∠2+60°+2∠2＝180°，
解得∠2＝40°，
∴∠1＝2∠2＝80°，
故答案为：80°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AFG＝∠FGD，
即∠AFG＝60°+∠EGD，
整理得∠AFG﹣∠EGD＝60°，
故答案为：∠AFG﹣∠EGD＝60°．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：解不等式2x≥x+1，得x≥1；
解不等式3x+1＜x+9，得x＜4，
所以不等式组的解集是1≤x＜4，
所以该不等式组的所有正整数解是1，2，3．
16．解：．
当a＝3时，原式＝．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1．
∵c，d互为相反数，
∴c+d＝0．
∵e的算术平方根为3，
∴e＝9，
∴，
∴4的平方根为±2．
18．解：（1）∵OE平分∠AOD，∠BOD＝60°，
∴∠AOE＝∠DOE＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
∴∠COA＝60°，
∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝60°+60°＝120°．
（2）∵∠AOC：∠COF＝2：1，
设∠COF＝x，则∠AOC＝2x．
∵∠AOC+∠COF+∠FOB＝180°，
∴x+2x+90°＝180°，
解得x＝30°，
∴∠AOC＝60°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠DOE．
∵∠AOE+∠EOD+∠AOC＝180°，
∴2∠DOE+60°＝180°，
∴∠DOE＝60°．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）通过观察前面式子可得：
第5个等式：5×6×7×8+1＝（52+3×5+1）2，
故答案为：5×6×7×8+1＝（52+3×5+1）2；
（2）通过观察前面式子可得：
第n个等式：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2．
20．解：（1）16x2﹣8x+2y﹣y2＝（16x2﹣y2）﹣（8x﹣2y）
＝（4x+y）（4x﹣y）﹣2（4x﹣y）
＝（4x﹣y）（4x+y﹣2）；
（2）a＝b+c．
理由：因为a2﹣2ac+c2＝ab﹣bc，
所以a2﹣2ac+c2﹣ab+bc＝0，
所以（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0，
所以（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0，
所以a﹣c＝0或a﹣c﹣b＝0．
因为a≠c，所以a＝b+c．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）设石榴每斤的进价为x元，则砀山梨每斤的进价为（x﹣2）元，
由题意，得，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根，且符合题意，
所以x﹣2＝2，
答：石榴每斤进价为4元，砀山梨每斤进价为2元；
（2）设剩下的梨打m折出售，
石榴的数量为（斤），梨的数量为（斤），
由题意，得，
解得m≥7.5，
答：最低可以打7.5折．
七、（本题满分12分）
22．解：（1）用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形，则阴影面积为（x+y）2﹣2xy，
阴影部分为两个正方形，面积表示为x2+y2，
∴（x+y）2﹣2xy＝x2+y2．
（2）①由（1），可得（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
当a2+b2＝15，a+b＝5时，25﹣2ab＝15，解得ab＝5．
②（2026﹣c）（c﹣2024）＝﹣1．
由（1），可得[（2026﹣c）+（c﹣2024）]2﹣2（2026﹣c）（c﹣2024）＝（2026﹣c）2+（c﹣2024）2，
所以（2026﹣c）2+（c﹣2024）2＝22﹣2×（﹣1）＝6．
八、（本题14分）
23．解：（1）如图1，过点F作FH∥AB，
∴∠AEF＝∠EFH．
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠CGF＝∠HFG．
∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，
∴∠EFG＝∠AEF+∠FGC．
（2）∠EFG＝∠AEF﹣∠CGF．
理由：如图2，过点F作FM∥AB，
∴∠AEF＝∠MFE．
∵AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠CGF＝∠MFG．
∵∠EFG＝∠EFM﹣∠GFM，
∴∠EFG＝∠AEF﹣∠CGF．
（3）如图3，过点F作FN∥AB，过点P作PQ∥AB，
则∠NFE＝∠FEB，∠QPE＝∠PEB．
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，PQ∥CD，
∴∠NFG＝∠FGD，∠QPG＝∠PGD．
∵∠EFG＝∠NFG﹣∠NFE，∠EPG＝∠QPG﹣∠QPE，
∴∠EFG＝∠FGD﹣∠FEB，∠EPG＝∠PGD﹣∠PEB．
∵∠FEB的平分线和∠FGD的平分线交于点P，
∴，，
∴，
∴．
x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式
＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
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