2022-2023学年广西南宁市横县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年广西南宁市横县八年级上学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图所示的图案是我国几家银行标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点P（1，﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）
3．△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
4．已知三角形的三边长分别是5，3，x，则x的值可以为（ ）
A．8B．4C．2D．1
5．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的高B．三角形的中线
C．三角形的角平分线D．以上答案均不正确
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
C．三角形的外角和为180°
D．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
7．把12cm长的铁丝截成三段，围成不等边三角形，且使三边长均为整数，截法有（ ）
A．一种B．两种C．三种D．四种
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE＝1，BD＝5，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）
A．ASAB．AASC．SSSD．HL
10．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）
A．120°B．115°C．110°D．105°
11．如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角∠ACE的平分线CD相交于点D，若∠D＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．30°C．50°D．75°
12．M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得|PM﹣PN|的值最大，则这点P（ ）
A．与M重合B．在M的左边
C．在M的右边D．是直线l上任一点
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分。
13．等边三角形有 条对称轴．
14．五边形的内角和等于 度．
15．已知等腰三角形的一个角为70°，则这个三角形的底角为 ．
16．小军做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，则DH是EF的 线．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，AD＝4，BD⊥CD，∠ABC＝∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ．
18．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是 ．
三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
20．如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠B＝60°，DE∥BC．求∠EDC度数．
21．如图△ABC．
（1）尺规作图BC边上的中线AD；
（2）如果AB＝5，AC＝8，求△ACD与△ABD的周长之差；
（3）直接写出△ABC与△ACD的面积之间的大小关系．
22．如图，上午8时，一艘船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
23．【阅读与思考】
【任务】
（1）补全笔记中的证明过程；
（2）某木材零件如图2所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你判断该零件样品是否符合规格，并说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果BC＝8cm，求△APQ的周长．
25．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形．
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
26．
【问题情境】
将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
【探究展示】
小宇同学展示出如下正确的解法
解：OM＝ON，
证明如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线
∵CA＝CB，
∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM＝ON（依据2）
【反思交流】
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指
依据1：
依据2：
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
【拓展延伸】
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM，ON，试判断线段OM，ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
答案与解析
1．如图所示的图案是我国几家银行标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知点P（1，﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）
【分析】根据在平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，
∴点P关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．
故选：A．
【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，正确记忆点关于关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数的变化规律是解题关键．
3．△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】直接根据三角形的内角和公式计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，
根据三角形内角和公式得，∠A+∠B+∠C＝180°．
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（50°+70°）＝60°，
故选：C．
【点评】此提是三角形内角和定理，主要考查三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键．
4．已知三角形的三边长分别是5，3，x，则x的值可以为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求出x的取值范围，进而选择正确答案．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，3，x，
∴5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
∴x的值可以为4．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出x的取值范围是解题的关键．
5．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的高B．三角形的中线
C．三角形的角平分线D．以上答案均不正确
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】解：A、三角形的高不一定在三角形内部，本选项符合题意；
B、三角形的中线一定在三角形内部，本选项不符合题意；
C、三角形的角平分线一定在三角形内部，本选项不符合题意；
D、本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键．
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
C．三角形的外角和为180°
D．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
【分析】根据三角形的外角性质，外角和定理对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、三角形的外角大于与它不相邻的内角，故本选项错误；
B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；
C、三角形的外角和为360°，故本选项错误；
D、三角形的一个内角小于和它不相邻的外角，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记性质的外涵与内延是解题的关键．
7．把12cm长的铁丝截成三段，围成不等边三角形，且使三边长均为整数，截法有（ ）
A．一种B．两种C．三种D．四种
【分析】根据题目要求，根据构成三角形的条件，周长为12，可逐步分析，将每个符合题意的三角形写出即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是1时，不成立；
当最短的边是2时，三边长是：2，5，5不符合题意；
当最短的边是3时，只有三边长是：3，4，5符合题意；
最短的边一定不能大于3．
综上，只有3，4，5共1种截法．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE＝1，BD＝5，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先证明△ABD≌△CAE，再结合三角形全等性质，可得DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE，进而可求出DE的长．
【解答】解：∵BD⊥AE于D，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD，
∠CAE+∠DAB＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
又∵∠ADB＝∠CEA，AB＝CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE＝5﹣1＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；根据三角形全等，将DE转化为BD和CE的差来解答，利用等角的余角相等是证明全等的关键．
9．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）
A．ASAB．AASC．SSSD．HL
【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM．
【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE，
在△ADM和△AEM中，
．
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
10．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）
A．120°B．115°C．110°D．105°
【分析】根据∠A＝30°的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，求出∠PBA＝∠PCB，于是可求出∠1+∠ABP＝∠PCB+∠2，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数．
【解答】解：∵∠A＝30°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣30°＝150°，
又∵∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，
∴∠PBA＝∠PCB，
∴∠1+∠ABP＝∠PCB+∠2＝150°×＝75°，
∴∠BPC＝180°﹣75°＝105°．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，关键是根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数．
11．如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角∠ACE的平分线CD相交于点D，若∠D＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．30°C．50°D．75°
【分析】根据角平分线的性质，根据三角形的外角和定理求值即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACE＝2∠2，
∵∠A+∠ABC＝∠ACE，
∴2∠1+∠A＝2∠2，
∵∠1+∠D＝∠2，
∴2∠1+∠A＝2（∠1+∠D），
∴∠A＝2∠D，
∵∠D＝25°，
∴∠A＝2∠D＝2×25°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形角平分线的性质以及三角形外角和定理的应用，根据外角和定理求出∠A＝2∠D是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
12．M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得|PM﹣PN|的值最大，则这点P（ ）
A．与M重合B．在M的左边
C．在M的右边D．是直线l上任一点
【分析】点P、点M、点N，可构成△PMN，根据三角形三边关系分析即可．
【解答】解：点P、点M、点N可构成△PMN，根据三角形三边关系可得，
|PM﹣PN|＜MN，要使得|PM﹣PN|的值最大，则点P、点M、点N共线时，出现最大值，
此时点P与点M重合．
故选：A．
【点评】本题考查了最短路线问题，利用三角形三边关系分析问题是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
13．等边三角形有 3 条对称轴．
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：等边三角形有3条对称轴．
故答案为：3．
【点评】正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题．
14．五边形的内角和等于 540 度．
【分析】直接根据n边形的内角和＝（n﹣2）•180°进行计算即可．
【解答】解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n﹣2）•180°．
15．已知等腰三角形的一个角为70°，则这个三角形的底角为 70°或55° ．
【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，等腰三角形的一个角等于70°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°；
②当这个角70°是顶角时，
设等腰三角形的底角是x，
则2x+70°＝180°，
解得：x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°．
故答案为：70°或55°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
16．小军做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，则DH是EF的 垂直平分 线．
【分析】由线段的垂直平分线的判定定理可得．
【解答】解：∵EH＝FH，
∴点H在EF的垂直平分线上；
∵ED＝FD，
点D在EF的垂直平分线上，
∴DH垂直平分EF．
故答案为：垂直平分．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握线段垂直平分线的判定定理．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，AD＝4，BD⊥CD，∠ABC＝∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 4 ．
【分析】根据垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，然后根据已知条件得三角形全等，从而得出PD的长度．
【解答】解：由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
∵BD⊥CD，∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴DP＝AD＝4（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和垂线段最短这一性质，解题的关键是掌握垂线段最短这一性质，作出图形正确解题．
18．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是 12° ．
【分析】设∠A＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，
∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，
∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，
∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，
…，
∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，
∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°，
即x+7x+7x＝180°，
解得x＝12°，
即∠A＝12°．
故答案为：12°．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．
19．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．
【分析】（1）求出AC＝DF，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质推出∠BCA＝∠EFD，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
∴AC＝DF，
∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行．
20．如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠B＝60°，DE∥BC．求∠EDC度数．
【分析】CD是∠ACB的平分线，可得∠DCB＝∠ACB，DE∥BC，可得∠EDC＝∠DCB，根据三角形的内角和定理，求出∠ACB的值，进而可得∠EDC的值．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ACB，
∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（70°+60°）＝50°，
∴∠EDC＝∠ACB＝×50°＝25°．
∴∠EDC度数为25°．
【点评】本题考查了平行线、角平分线的性质，解本题的关键是掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，综合性较强，难度不大．
21．如图△ABC．
（1）尺规作图BC边上的中线AD；
（2）如果AB＝5，AC＝8，求△ACD与△ABD的周长之差；
（3）直接写出△ABC与△ACD的面积之间的大小关系．
【分析】（1）作平行四边形ABEC，连接AE交BC于D，于是得到结论；
（2）根据三角形周长公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，以C为圆心，AB为半径画弧，以B为圆心，AC为半径画弧，两弧交于一点E，连接AE交BC于D，则AD即为所求；
（2）∵AD是BC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ACD与△ABD的周长之差＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC+AD+CD﹣AB﹣AD﹣BD＝AC﹣AB＝3；
（3）如图，过A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝BC•AH，S△ACD＝CD•AH，
∵BC＝2CD，
∴S△ABC＝2S△ACD．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形的周长的计算，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．
22．如图，上午8时，一艘船从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）如果船到达海岛B后，不停留，继续沿正北方向航行，请问船什么时候距离灯塔C最近？
【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB＝60°﹣30°＝30°，根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到论．
【解答】解：（1）∵∠NBC＝60，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB＝BC，
∵AB＝30×2＝60海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为60海里；
（2）过C作CP⊥AB于P，
则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，
∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣60°＝30°，
∴PB＝BC＝30海里，
∴30÷30＝1小时，
∴这条船继续向正北航行，在上午的11时小船与灯塔C的距离最短．
【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练正确直角三角形的性质是解题的关键．
23．【阅读与思考】
【任务】
（1）补全笔记中的证明过程；
（2）某木材零件如图2所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你判断该零件样品是否符合规格，并说明理由．
【分析】（1）延长BO交AC于点M，根据三角形外角的性质得出∠BMC＝∠A+∠B，∠BOC＝∠C+∠CMO，则可得出结论；
（2）延长AE交CC于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AEB，然后即可判断．
【解答】（1）证明：延长BO交AC于点M，
∵∠BMC是△ABM的外角，
∴∠BMC＝∠A+∠B，
∵∠BOC是△OMC的外角，
∴∠BOC＝∠C+∠CMO，
∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）解：这个零件不合格．
理由：如图，延长AE交BC于F，
∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠BFA＝∠C+∠A＝90°+15°＝105°，
∵∠B＝15°，
∴∠AEB＝∠B+∠AFB＝15°+105°＝120°．
又∵∠AEB＝125°，
∴这个零件不合格．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果BC＝8cm，求△APQ的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA＝PB，再根据等边对等角的性质可得∠PAB＝∠B，同理求出∠QAC＝∠C，然后根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C＝70°，然后进行计算即可得解；
（2）PB＝PA，CQ＝AQ．△APQ的周长＝PA+PQ+AQ＝PB+PQ+CQ＝BC，即可求出△APQ的周长．
【解答】解：（1）∵PM垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠B，
同理，QA＝QC，
∴∠QAC＝∠C，
∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°；
（2）△APQ的周长＝PA+PQ+AQ，
由（1）可知：PA＝PB，QA＝QC，
∴PA+PQ+AQ＝PB+PQ+CQ＝BC，
∵BC＝8cm，
∴△APQ的周长为8cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质熟记解题的关键．
25．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形．
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【分析】（1）AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，可得∠OEB＝∠ODC＝90°；∠BOE＝∠COD，根据内角和定理，可得∠OBE＝∠OCD，∠OBC＝∠OCB，进而可证△OBC是等腰三角形；
（2）欲证明O在∠BAC的平分线上，只需推知OE＝OD即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，
∵∠BOE＝∠COD，∠OBE＝180°﹣（∠OEB+∠BOE），∠OCD＝180°﹣（∠ODC+∠COD），
∴∠OBE＝∠OCD，
∵∠OBC＝∠ABC﹣∠OBE，∠OCB＝∠ACB﹣∠OCD，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形；
（2）解：在△BEO与△CDO中，
，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE＝OD，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴O在∠BAC的平分线上．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定的应用，熟练把握等腰三角形的性质，并证明出△BEO≌△CDO是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
26．
【问题情境】
将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
【探究展示】
小宇同学展示出如下正确的解法
解：OM＝ON，
证明如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线
∵CA＝CB，
∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM＝ON（依据2）
【反思交流】
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指
依据1： 等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）
依据2： 角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
【拓展延伸】
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM，ON，试判断线段OM，ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；
（2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出DM＝CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM＝ON，∠MOC＝∠NOB，得出∠MOC﹣∠CON＝∠NOB﹣∠CON，求出∠MON＝∠BOC＝90°，即可得出答案．
【解答】（1）解：
依据1：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；
依据2：角平分线上的点到角的两边距离相等．

（2）证明：∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∵在△OMA和△ONB中
，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM＝ON．
（3）解：OM＝ON，OM⊥ON．
理由如下：
如图2，连接OC，
∵∠ACB＝∠DNB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴＝，
∵AC＝BC，
∴DN＝NB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠NCM＝90°＝∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC＝90°，
即∠DMC＝∠MCN＝∠DNC＝90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN＝MC，
∵∠B＝45°，∠DNB＝90°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∴DN＝NB，
∴MC＝NB，
∵∠ACB＝90°，O为AB中点，AC＝BC，
∴∠1＝∠2＝45°＝∠B，OC＝OB（斜边中线等于斜边一半），
在△MOC和△NOB中
，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM＝ON，∠MOC＝∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON＝∠NOB﹣∠CON，
即∠MON＝∠BOC＝90°，
∴OM⊥ON．
【点评】本题考查了几何变换综合、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、角平分线性质等知识点的应用，培养了学生运用定理进行推理的能力，正确应用全等三角形的判定与性质是解题关键．
下面是小明同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
由三角形外角定理可推得：如图1在凹四边形ABOC中，∠O＝∠A+∠B+∠C．
证明过程如下：延长BO交AC于点M，
∵∠BMC是△ABM的外角，
…
下面是小明同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
由三角形外角定理可推得：如图1在凹四边形ABOC中，∠O＝∠A+∠B+∠C．
证明过程如下：延长BO交AC于点M，
∵∠BMC是△ABM的外角，
…