2023-2024学年云南大学附中星耀学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年云南大学附中星耀学校高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z=1+i，则|z|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2
2.已知命题p：存在x∈R，使得csx0，
所以csA=12，
而A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)因为b=1，S△ABC=12bcsinA=12c⋅ 32= 3，
所以c=4，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=1+16−2×1×4×12=13，
解得a= 13，
所以△ABC的周长为b+c+a=1+5+ 13=5+ 13．
16.解：(1)定义域(0,+∞)，当a=2时，f(x)=−lnx+2x+2，f′(x)=−1x+2，f′(1)=1，f(1)=4，
所以过点(1,f(1))的切线方程为y−4=1⋅(x−1)，即x−y+3=0．
(2)f(x)≥0⇔f(x)min≥0，f′(x)=−1x+a．
当a≤0时，f′(x)0时，f′(x)=ax−1x，f(x)在(0,1a)上单调递减，[1a,+∞)上单调递增，存在极小值，
f(x)min=f(1a)=lna+a2−1．
令g(a)=lna+a2−1，a∈(0,+∞)．
g′(a)=1a+2a，因为a∈(0,+∞)，所以g′(a)在a∈(0,+∞)上大于零，
所以g(a)在a∈(0,+∞)上单调递增，因为g(1)=0，所以a∈[1,+∞)．
17.解：(1)证明：由题知AE=BE=2 2，
所以AB2=AE2+BE2，
所以△ABE为直角三角形，BE⊥AE，
因为PE=DE=2，BE=2 2，PB=2 3，
所以PB2=PE2+BE2，
所以△PBE为直角三角形，BE⊥PE，
因为PE∩AE=E，
所以BE⊥平面PAE，因为PA⊂平面PAE，
所以PA⊥BE．
(2)由题知以B为原点建立如图空间直角坐标系B−xyz，

取AE中点M，由题知PE=AE，所以PM⊥AE，
由(1)知BE⊥平面PAE，所以BE⊥PM，
因为AE∩BE=E，所以PM⊥平面ABE，
B(0,0,0)，A(0,4,0)C(2,0,0)，E(2,2,0)，M(1,3,0)，P(1,3, 2)，
CE=(0,2,0)，CP=(−1,3, 2)，
设平面PCE的一个法向量为m=(x,y,z)，
则2y=0−x+3y+ 2z=0，
，y=0，令x= 2，则z=1，
所以m=( 2,0,1)，
由(1)知BE⊥平面PAE，
所以BE是平面PAE的一个法向量，BE=(2,2,0)，
设平面PAE与平面PCE所成角为θ，
所以|csθ|=|m⋅BE||m|⋅|BE|=2 2 3⋅2 2= 33，
所以sinθ= 63．
18.解：(1)记事件A为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”，
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=13×0+23×C31C41=12，
即学生甲该题得2分的概率为12；
(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
所以X可以取0，2，3，
则P(X=0)=12×2C41+12×1C41=38，
P(X=2)=12×0+12×C31C41=38，
P(X=3)=12×C21C41+12×0=14，
所以X的分布列为：
则数学期望E(X)=0×38+2×38+3×14=32；
②记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则P(X=0)=p×2C41+(1−p)×1C41=1+p4，
P(X=2)=p×0+(1−p)×C31C41=34(1−p)，
P(X=3)=p×C21C41+(1−p)×0=12p，
所以E(X)=0×1+p4+2×34(1−p)+3×12p=32；
记Y为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则P(Y=0)=p×C42−1C42+(1−p)×C31C42=13p+12，
P(Y=4)=p×0+(1−p)×C42−C31C42=12(1−p)，
P(Y=6)=p×1C42+(1−p)×0=16p，
所以E(Y)=0×(13p+12)+4×12(1−p)+6×16p=2−p；
记Z为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则P(Z=0)=p×1+(1−p)×C43−1C43=14p+34，
P(Z=6)=p×0+(1−p)×1C43=14(1−p)，
所以E(Z)=0×(14p+34)+6×14(1−p)=32(1−p)，
要使选择方案Ⅰ最好，则2−p