微考点2-1 新高考新试卷结构中导数中零点根的个数问题--2025年高考数学二轮复习讲义高频考点追踪与预测（新高考专用）

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考点一：利用导数研究函数零点问题
【精选例题】
【例1】已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数极小值为-1 B．函数在上单调递增
C．当时，函数的最大值为 D．当时，方程恰有3个不等实根
【答案】C
【详解】，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减，故B错；在处取得极小值，极小值为1，故A错；，，，所以在上的最大值为，故C正确；的大致图象如下：方程的根的个数可以转化为函数的图象与的图象的交点个数，由图可知，当时，图象有3个交点，即方程有3个不等实根，故D错.故选：C.
【例2】已知函数，导函数的极值点是函数的零点，则（ ）
A．有且只有一个极值点 B．有且只有一个零点
C．若，则 D．过坐标原点仅有一条直线与曲线相切
【答案】BC
【详解】由可得：，不妨取，则，
则由解得：，依题意，，解得：.此时，.
对于A项，因，函数在R上恒为增函数，则没有极值点，故A项错误；
对于B项，由A项结论可知，函数在R上恒为增函数，且，即有且只有一个零点，故B项正确；对于C项，由A项得：，则，因函数在R上恒为增函数，则由即：可得：，即：，故C项正确；对于D项，不妨设切点为，由可得，切线斜率为：，则切线方程为：，因切线过原点，则有：，整理得：，解得：或，即过坐标原点有两条直线与曲线相切，故D项错误.故选：BC.
【例3】对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得最小值B．在处取得最大值
C．有两个不同零点D．
【答案】BD
【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确，令，解得，可得只有一个零点，故C错误，易知，且结合单调性知，即成立，故D正确.故选：BD
【例4】已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意可知，方程在上有解，即在上有解，令，，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，又，，
则的最大值为，所以的值域为，即可得的取值范围是.故选：C
【例5】若指数函数（且）与函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据指数函数值域可得，而又为奇函数，所以两函数图象交点一定在第一象限，令，其中，整理可得；构造函数，依题意可知函数与函数的图象有两个交点，易知，令可得；所以当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，画出函数图象如下图所示：

由图可知，当时，满足题意；解得；所以实数的取值范围为故选：C
【例6】若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】有两个零点，即有两个正实根，即函数与的图象有2个交点．直线过定点，当该直线与曲线相切时，设切点为，又，则，即，令，则，所以在上单调递增，又，故有唯一零点，故，所以当直线与曲线相切时，切点为，则切线斜率为1．要使函数与的图象有2个交点，则需满足，所以．故选：B．

【例7】已知函数（且）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D ．
【答案】A
【详解】解法一：通过选项判断可知，令，得，由，得，所以．令，则，且在上单调递增，所以，即，
所以，即，令，，∴在上单调递增，在上单调递减，则，又时，，且，画出大致图像，可知，则．故选：A．
解法二：通过选项判断可知，令，得，由，得，所以．令，则，且在上单调递增，所以，即，当直线与图像相切时，设切点为，由，则有，故，则．又，即，则，∴．要使得直线与图像有两个交点，则，故选：A．
【例8】的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】由得，构造函数，求导得，在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，及时，的图像如图，得到有3个解. 故选：D.
【例9】方程有两个不等的实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得有两个不等的实数解，令，定义域为R，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在时取得极小值，也是最小值，故，又当时，恒成立，当时，恒成立，故要想有两个不等的实数解，则.故选：C
【例10】已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若恒成立，则
C．若有两个零点，则 D．若有极值点，则或
【答案】ABD
【详解】对于A，，则，则，则，故正确.对于B，若，则，由于互为反函数，它们图象关于对称，所以只须保证恒成立即可，又因为，所以，故，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，故，故B正确.对于C， 若，则与有且只有一个公共点，此时有奇数个零点，不符合题意，
若，若有两个零点，则有两不等根，即，即有两个不等根，设，则，由于，且在时满足且单调递增，则等价于与有两个公共点，即有两实数根，故有两实数根，即与有两个公共点，因为当时，，当时，且，且，作图象如下：故，则，故C错误．对于D，若有极值点，等价于有变号零点．即有实根，即函数与有公共点，且不在极值处取得，因为若，则在单调递增，
显然，值域为，与有交点；若，则令，当，单调递增，当，单调递减，．，，，则，因为，所以，则，故或，故D正确．故选：ABD
【跟踪训练】
1．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．是函数的极大值点
C．函数有3个零点
D．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A，，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在上单调递减，上单调递减，故A错误；对于B，所以是函数的极大值点，故B正确；对于C，所以是函数的极小值点，且，，所以在上有一个零点，且，，所以在、上各有一个零点，所以函数有3个零点，故C正确；对于D，若函数在区间上存在最小值，则，解得，故D正确.故选：BCD.
2．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极大值为
B．函数在点处的切线方程为
C．
D．若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
【答案】ABD
【详解】易知函数的定义域为，则，令可得，当时，，可得在上单调递增，当时，，可得在上单调递减，对于A，由单调性可得在处取得极大值，即A正确；对于B，易知切线斜率为，所以切线方程为，即B正确；对于C，利用的单调性可得，即，也即，可得，所以，即C错误；对于D，若曲线与曲线无交点，即方程没有实数根，也即无解；
令，则，若，在上恒成立，即在上单调递减；不妨取，则，易知，，此时在上有解，不合题意；若，令，解得；所以当时，，此时在时单调递减；当时，，此时在时单调递增；此时在处取得极小值，也是最小值；即，依题意可得，所以即可；解得，即的取值范围是，所以D正确.故选：ABD
3．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．的极大值点是
B．函数有且只有个零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
【答案】BD
【详解】因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；B选项中，函数，则，由于，即在上恒成立，所以函数在上单调递减，又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，即函数有且只有个零点，B正确；C选项中，由，
可得当且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，故不存在实数，使得成立，
即不存在实数，使得成立，C错误；D选项中，由得，要证，只要证，即证，由于，故令，则，故在上单调递增，则，即成立，故成立，所以D正确.故选：BD.
4．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心D．过点可作曲线的两条切线
【答案】AC
【详解】由题意，在中，．令，得或，
令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是极值点，A正确．由的单调性且极大值，极小值，又，，所以函数在定义域上有3个零点，B错误．
令，因为，则是奇函数，所以是图象的对称中心，将的图象向上移动1个单位长度得到的图象，所以点是曲线的对称中心，C正确．设切点为，则切线的方程为，代入，可得，解得．所以过点的切线有1条，D错误．故选：AC．
5．已知函数．则下列四个说法中正确的个数为（ ）
①曲线上存在三条互相平行的切线； ②函数有唯一极值点；
③函数有两个零点； ④过坐标原点O可作曲线的切线．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【详解】，，，
则当或，，，在，，.
对①，大致图象如图所示，可知方程可能有三个根，即存在三个极值点，故存在三条互相平行的切线，①正确；
对②，结合单调性及大致图象，，则存在，使得，则当；，故②正确；对③，，则，则大致图象如图，故③正确；
④设过原点的直线与相切于点，则有，，，消元整理可得，易知此方程无解，故④错误．综上，正确的是①②③．故选：B.
6．若指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由幂函数和指数函数的图象和性质可知，当时两函数图象无交点，令，两边取对数得，即，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，取得最大值.
又当x趋于时，趋于0，当x趋于时，趋于，所以可得的草图如图，由图可知，当，即时，函数的图象与有两个交点，即指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点.故选：D
7．已知函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，得或，设函数，则，当时，，当时，，所以.当时，，设函数，则，当时，，当时，，所以，当时，，作出与的大致图象，如图所示，由图可知，当时，直线与这两个函数的图象各有两个交点，且这些交点各不相同，此时恰有4个零点.故选：B.
8．已知，则函数在上的零点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【详解】令，得，，整理得，设，，则，
当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，
又，，，，又当时，，所以与的图像有两个交点，即函数在上的零点的个数为2，故选：B.
9．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数，因此，即，即，又，所以函数恰有两个零点，即有两个解，即恰有两个解，即恰有两个解，
记函数，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 故极大值也是最大值为，作出的大致图象如下：

所以恰有两个解，则，故，故选：A
10.已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知：的定义域为，且，当时，则，可知在上单调递减，所以不可能存在两个零点，不合题意；当时，令，解得；令，解得；可得在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为，
若存在两个零点，则，解得,当时，则，可得，且，令，则，则在上单调递增，可得，即，可知在，均只有一个零点，即符合题意；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.
11．已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立 B．时，是的极值点
C．若有3个零点，则的范围为 D．时.有唯一零点且
【答案】CD
【详解】对于A，当时，令，令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调增,，故A错误；对于B，当时，令，令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,无极值，故B错误；对于C，令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则，记，则，令得或，故在单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有3个零点，则的范围为，C正确，
对于D，当时，，，令，，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，则此时至多只有一个零点，又，由零点存在性定理可知，存在唯一的，满足，选项D正确；故选：CD．
12．已知函数，其导函数为，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．当时，有两个零点
C．一定存在零点 D．若存在，有，则
【答案】BD
【详解】定义域为，，当时恒成立，所以在上单调递增，当时令解得，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，，当时，，
由零点存在定理可知，当时，有两个零点，故B正确；当时，，故不存在零点，故C错误；当时在上单调递增，不存在使得，当时在上单调递增，在上单调递减，所以若存在，有，则，故D正确.
故选：BD．
13．已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的极值点为1
B．
C．若分别是曲线和上的动点.则的最小值为
D．若对任意的恒成立，则的最小值为
【答案】ACD
【详解】．所以，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，故A正确；
设，则，由单调性的性质知在上单调递增．又，则存在．使得，即，，所以当时．，当时．．所以在上单调递减．在上单调递增.
所以，又，则，所以，故B错误；因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称，设点到的最小距离为，设函数上斜率为的切线为，，由得，所以切点坐标为，即，所以，所以的最小值为，故C正确；若对任意的恒成立，则对任意的恒成立，令，则．所以在上单调递增，则，即，令，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，即的最小值为，故D正确.故选：ACD
14．已知函数且，则（ ）
A．当时，恒成立 B．当时，有且仅有1个零点
C．当时，没有零点 D．存在，使得存在三个极值点
【答案】AB
【详解】A选项，当时，要证明，即证明，即证明，即证明，设，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.所以A选项正确.B选项，当时，单调递减，，所以存在唯一零点，所以B选项正确.
C选项，当时，由得，，，当时，由A选项的分析可知，，因此由两个零点，所以C选项错误.D选项，，令得，两边同时取对数得，设，
，令得，则在上单调递减，在上单调递增，所以最多有两个零点，所以最多有两个极值点，所以D选项错误.故选：AB
15．已知函数（e为自然对数的底数），则（ ）
A． B．在上单调递增
C． D．若，且，则的最大值为
【答案】ABD
【详解】令且，则，且在上递增，又，，故使，即，则， 所以上，递减，上，递增，且，所以(注意等号取不到)，所以，A对；由且，则，即在上单调递增，B对；令且，则，令，则(函数在给定区间递增)，故在上递增，所以，故在上递增，则，所以不存在，C错；由在上，递减，在上，递增，由在上，递增，又，
要使且，则，而，且，由上在上递增，所以，此时，，所以且，令且，则，所以时，递增，时，递减，所以，即的最大值为，D对.故选：ABD
考点二：利用导数研究分段函数复合方程零点的问题
【精选例题】
【例1】已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【详解】设，令可得：,对于，，故在处切线的斜率值为，设与相切于点，切线斜率，则切线方程为：，即，解得：；由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，即与有四个不同交点，设三个交点为，由图象可知：，作出函数的图象如图，由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，的零点个数为7个，故选：C
【例2】已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，令可得：；设与相切于点，，切线斜率为，则切线方程为：，即，，解得：，；
设与相切于点，，切线斜率为，则切线方程为：，即，，解得：，；作出与图象如下图所示，
与有三个不同交点，即与有三个不同交点，设三个交点为，
由图象可知：；与无交点，与有三个不同交点，与有两个不同交点，的零点个数为个.故选：A.
，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【例3】已知函数，若关于x的方程的实根个数可能有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】ABC
【详解】设，关于的方程，即，两根，.
函数，当时，（时取等号），，当时，，即在上为增函数，当时，，即在上为减函数，在处取得极大值.当时，，，即在上为减函数，作出函数的图象如图所示：
当时，方程有1个解，当时，方程有2个解，当时，方程有3个解，
当时，方程有1个解，当时，方程有0个解，所以当，即时，关于x的方程的实根有1个；当，即时，关于x的方程的实根有2个；当，即时，关于x的方程的实根有3个.故选：ABC.
【例4】已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是
A．点是函数的零点B．的取值范围是
C．是的极大值点D．，，使
【答案】D
【详解】当时，，则，当时，，在单调递增，当时，，单调递减，且，；当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，且恒成立，画出函数的图象如下：
对A，由可得0是函数的零点，故A错误；对B，方程等价于或，由图可得有1个实数根，所以方程有两个不等实根
等价于有1个非零实根，则由图可得或，解得或，故B错误.
对C，由图可得是的极大值点，不是的极大值点，故C错误；对D，由图可得，当时，因为，故，故结合图象可得时，，故，，使，故D正确；故选：D
【例5】已知函数，则对于方程．下列说法错误的是（ ）
A．若，则该方程无解
B．若，则该方程有一个实数根
C．若，则该方程有两个实数根
D．若，则该方程有四个实数根
【答案】C
【详解】函数的定义域为，当时，，
时，，单调递减，且此时当趋近于0时，趋近于，故，
时，，单调递减，时，，单调递增，则时，，而时，，故可得的图象如图所示：令，则方程化为，对于A，时，，即方程无实根，故无实根，从而方程无实根，故A正确；对于B，时，方程即为，
即，所以，则，由的图象可知，此方程只有一个实根为，故B正确；
对于C，由得，此为关于的对勾函数，在时单调递增，在时单调递减，图象如图所示：时或，由函数的图象可知，当时，方程有两个实根，不妨设，则有，，则此时没有实根，有两个或三个实根，故C错误；对于D，时，方程有两个实根，不妨设，则有，，
则此时有一个实根，有三个实根，故D正确.故选：C
【跟踪训练】
1．函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得或，令且定义域为，则，当时，即递减；当时，即递增；所以，且，在趋向正无穷趋向正无穷，综上，根据解析式可得图象如下图示：显然对应两个根，要使原方程有5个根，则有三个根，即有3个交点，所以.故选：A
2．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，．当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且．作出函数的大致图象，如图所示，
由图象可知，是函数的零点，要使函数有两个不同的零点，则方程有两个不相等的实数根，等价于有1个非零实数根.由图可知或或，即.故选：C．
3．函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题知，的实数解可转化为或的实数解，即，当时，，所以时，，单调递增，时，，单调递减，如图所示：所以时有最大值：，所以时，由图可知，，当时，因为，，所以，令，则则有且，如图所示：因为时，已有两个交点，所以只需保证与及与有四个交点即可，所以只需，解得．故选：D
4．已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，，则当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，且当，又，；当时，，，则当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，则.所以的大致图象如图所示. 由，解得或.由图象可知，没有根，所以关于的方程有3个不同的实数根，等价于有3个不同的实数根，由图象可知，有3个不同的实数根，只需.故选：B.
5．已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解方程得或；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减； ，且时，，所以，
当时，，在上是减函数，且；若，可知，从而，解得，故方程有3个不是的根.作出的大致图象，若使方程有3个不是的根，即的图象与直线有3个交点，且交点横坐标不为，
由图可知，即，故选：C．
6．已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.画出函数的图象如图所示：
因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点，由图可知或.
所以的取值范围为.故选:C.
7．已知，若有四个不同的零点，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，，则对恒成立，∴在上单调递增，
当时，，则．令；令，∴在上单调递增，上单调递减，由题意有四个不同的解，令，则有两个不同解，显然，如下图，不妨设，故，∴，故．故答案为：.