解密04 数列求和及综合问题（讲义）-【高考数学之高频考点解密】学案

解密04 数列求和及综合问题

核心考点一  与的关系问题

1．数列{an}中，an与Sn的关系an＝

2．求数列通项的常用方法：

(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．

(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.

(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.

(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．

1.【2013新课标1理14】若数列的前项和为，则数列的通项公式是=　　　．

2.【2016新课标3理17】已知数列的前n项和，其中．

（I）证明是等比数列，并求其通项公式；　　（II）若 ，求．

1.【2018新课标1理14】记为数列的前项和，若，则_____．

2.【2014新课标1理17】已知数列的前项和为，，，，

其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.

核心考点二  数列的求和

数列求和常见方法：

(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.

1.【2020新高考全国18】已知公比大于的等比数列满足：．

（1）求的通项公式；

（2）【全国Ι山东卷】记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

（3）【全国Ⅱ海南卷】求.

2.【2020新课标1理17】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

3.【2017新课标3文17】设数列满足；

（1）求的通项公式；  （2）求数列 的前项和.

1.已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列为等比数列(n∈N*)．(1)求数列{an}和的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.

2.【2020新课标3理17】设数列满足，．

（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；

（2）求数列的前项和．

3.【2015新课标1理17】已知为数列的前n项和，已知＞0，=,

（Ⅰ）求的通项公式；   （Ⅱ）设,求数列的前项和.

核心考点三  与数列相关的综合问题

数列与函数、不等式的交汇：

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.

1.【2013新课标2理16】等差数列的前项和为，已知，则的最小值为　　　．

2.设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.

(1)证明：{an}为等比数列；

(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围.

1.【2014四川】设等差数列的公差为，点在函数的图象（）．

（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列 的前项和．

2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bn＝log2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：＋＋…＋<2.

3.科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．

(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；

(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．