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    2024湛江高二下学期期末考试数学含解析

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    这是一份2024湛江高二下学期期末考试数学含解析,共21页。试卷主要包含了 过和两点直线的斜率是, 若圆被直线平分,则, 定义“等方差数列”等内容,欢迎下载使用。

    说明:本卷满分150分.考试用时120分钟.
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 过和两点直线的斜率是( )
    A. 1B. C. D.
    2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为,若,则( )
    A. 11B. 13C. 63D. 78
    3. 若圆被直线平分,则( )
    A. B. 1C. D. 2
    4. 函数的导函数的图像如图所示,以下命题正确的是( )
    A. 在处的切线的斜率大于0B. 是函数的极值
    C. 在区间上不单调D. 是函数的最小值
    5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查,抽取25名女生,25名男生调查,结果形成以下列联表,通过数据分析,认为喜欢课外阅读与学生性别之间( )
    参考数据及公式如下:
    A. 不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
    B. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
    C. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
    D. 根据小概率的的独立性检验认为两者无关
    6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙2名同学每人从中选一种或两种,且两人之间不会互相影响,则不同的选法种数为( )
    A. 20B. 25C. 225D. 450
    7. 如图,在三棱锥中,为的中点,为的中点,则线段的长度为( )
    A. B. C. D.
    8. 定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,,则数列的前24项和为( )
    A. B. 3C. D. 6
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知等比数列的公比为,前项和为,若,则( )
    A. B.
    C. D.
    10. 已知甲口袋中装有3个红球,1个白球,乙口袋中装有2个红球,1个白球,这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋,再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、,从乙口袋中取出的球是红球为事件B,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    11. 如图,在棱长为2正方体中,点P是线段上的点,点E是线段上的一点,则下列说法正确的是( )
    A. 存在点E,使得平面
    B. 当点E为线段的中点时,点到平面的距离为2
    C. 点E到直线的距离的最小值为
    D. 当点E为棱的中点,存在点,使得平面与平面所成角为
    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分.
    12. 展开式中项的系数为________.
    13. 已知,若为奇函数,则______.
    14. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,若,,则C的离心率为______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 记等差数列的前项和为,已知,且.
    (1)求和;
    (2)设,求数列前项和.
    16. 四棱锥中,平面,底面是正方形,,点是棱上一点.
    (1)求证: 平面平面;
    (2)当为中点时, 求二面角的正弦值.
    17. 已知F1,F2分别为椭圆W:的左、右焦点,M为椭圆W上的一点.
    (1)若点M的坐标为(1,m)(m>0),求△F1MF2的面积;
    (2)若点M的坐标为(x0,y0),且∠F1MF2是钝角,求横坐标x0的范围.
    18. 学校师生参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人,女生2人,现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
    (1)求在有女生参加活动的条件下,恰有一名女生参加活动的概率;
    (2)记参加活动的女生人数为,求的分布列及期望;
    (3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动,且选择参加1项或2项的可能性均为;每名男生至少从中选择参加2项活动,且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时,记随机选取的两人所得工时之和为,求的期望.
    19 已知函数.
    (1)若曲线在处的切线为x轴,求a的值;
    (2)在(1)条件下,判断函数的单调性;
    (3),若是的极大值点,求a的取值范围.喜欢课外阅读
    不喜欢课外阅读
    合计
    男生
    5
    20
    25
    女生
    15
    10
    25
    合计
    20
    30
    50
    0.050
    0.010
    0.001
    3.841
    6.635
    10828
    湛江市2023—2024学年度第二学期期末调研考试
    高二数学
    说明:本卷满分150分.考试用时120分钟.
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 过和两点的直线的斜率是( )
    A. 1B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由斜率公式可得.
    【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率.
    故选:A
    2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为,若,则( )
    A. 11B. 13C. 63D. 78
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据线性回归方程为一定过点,先求出,代入回归方程即可得出,进而可得的值.
    【详解】依题意,
    因为,所以,
    因线性回归方程为一定过点,
    所以,
    所以.
    故选:D.
    3. 若圆被直线平分,则( )
    A. B. 1C. D. 2
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由题设,将圆心坐标代入直线方程即可求解.
    【详解】由题意得圆心在直线上,
    则,解得.
    故选:D.
    4. 函数的导函数的图像如图所示,以下命题正确的是( )
    A. 在处的切线的斜率大于0B. 是函数的极值
    C. 在区间上不单调D. 是函数的最小值
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据的图像分析的单调性和最值,即可判断BCD;对于A:根据导数的几何意义分析判断.
    【详解】由图象可知:当时,;当时,(当且仅当时,等号成立);
    可知在内单调递减,在内单调递增,
    则为的最小值(也为极小值),无最大值,故BCD错误;
    对于A:可知,即在处的切线的斜率大于0,故A正确;
    故选:A.
    5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查,抽取25名女生,25名男生调查,结果形成以下列联表,通过数据分析,认为喜欢课外阅读与学生性别之间( )
    参考数据及公式如下:
    A. 不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
    B. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
    C. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
    D. 根据小概率的独立性检验认为两者无关
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据给定的数表,求出的观测值,再与临界值比对即得.
    【详解】由数表知,,而,
    所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关.
    故选:B
    6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙2名同学每人从中选一种或两种,且两人之间不会互相影响,则不同的选法种数为( )
    A. 20B. 25C. 225D. 450
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据分步计数原理,结合组合数公式,即可求解.
    【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法,
    所以甲和乙不同的选择方法有种.
    故选:C
    7. 如图,在三棱锥中,为的中点,为的中点,则线段的长度为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】先得到,再平方求解.
    【详解】解:由题意得,
    故,

    则.
    故选:C.
    8. 定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,,则数列的前24项和为( )
    A. B. 3C. D. 6
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列并求出,进而求出,再利用裂项相消法求和即得.
    【详解】依题意,,即是公差为2的等差数列,而,
    于是,即,
    则,
    所以数列的前24项和为:.
    故选:D
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知等比数列的公比为,前项和为,若,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算,求得,代入公式即可一一判断.
    【详解】依题,,解得故A错误,B正确;
    则,,故C错误,D正确.
    故选:BD.
    10. 已知甲口袋中装有3个红球,1个白球,乙口袋中装有2个红球,1个白球,这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋,再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、,从乙口袋中取出的球是红球为事件B,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出,,,,即可判断A选项,再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B,C,D选项的正确性.
    【详解】对于A,由于甲口袋中装有4个球,其中有3个红球,所以,故A正确;
    对于B,若从甲口袋中取出的球是白球,则此时乙口袋中有2个红球,2个白球,从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为,故B错误;
    对于C,若从甲口袋中取出的球是红球,则此时乙口袋中有3个红球,1个白球,从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为,所以,故C正确;
    对于D,由于甲口袋中装有4个球,其中有1个白球,所以,结合以上分析,
    所以,故D正确.
    故选:ACD
    11. 如图,在棱长为2的正方体中,点P是线段上的点,点E是线段上的一点,则下列说法正确的是( )
    A. 存在点E,使得平面
    B. 当点E为线段的中点时,点到平面的距离为2
    C. 点E到直线的距离的最小值为
    D. 当点E为棱的中点,存在点,使得平面与平面所成角为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】建立空间直角坐标系,利用向量垂直即可求解A,求解平面法向量,即可根据点面距离,以及点线距离,求解BC,利用两平面的法向量的夹角即可求解D.
    【详解】对A选项,以,,所在的直线分别为轴,轴,轴,建系如图:
    则根据题意可得,0,,,0,,,0,,,2,,,
    设,2,,
    所以,,,
    假设存在点,使得平面,
    则,,
    解得,
    所以存在点,使得平面,此时点与点重合,故A正确;
    对于B,点E为线段的中点时,,,,
    设平面的法向量为,则,取,则,
    ,故点到平面的距离为,故B正确,
    对C选项,,2,,,
    点到直线的距离为,
    故当时,即点为中点时,此时点到直线的距离的最小值为,故C错误;
    对D选项,点E为线段的中点时,,,,
    设平面的法向量为,则,取,则,
    设,,,
    设平面的法向量为,则,取,则,
    若存在点,使得平面与平面所成角为,
    则,化简得,解得或,由于,所以,故D正确,
    故选:ABD.
    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分.
    12. 展开式中项的系数为________.
    【答案】30
    【解析】
    【分析】利用二项式展开式的通项公式,即可求出指定项的系数.
    【详解】展开式的通项表达式为,
    当时,,
    .
    故答案为:30.
    13. 已知,若为奇函数,则______.
    【答案】0
    【解析】
    【分析】求导后利用奇函数的性质得到,代入计算再结合指数函数的性质可得结果.
    【详解】,
    因为为奇函数,
    所以,即,
    化简可得,
    因为,
    所以.
    故答案为:0.
    14. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,若,,则C的离心率为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】引入参数,结合双曲线定义、正弦定理表示出,,,,,在中由余弦定理可得,在中,运用余弦定理可得出,结合离心率公式即可得解.
    【详解】
    在中,设,由正弦定理得,则,
    所以由双曲线的定义可知,,
    故,
    在中,,解得,
    所以在中,,,,
    又,解得,
    所以离心率.
    故答案为:.
    【点睛】关键点点睛:关键在于适当引入参数,结合已知得出参数与的关系,进而结合离心率公式即可得解.
    四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 记等差数列的前项和为,已知,且.
    (1)求和;
    (2)设,求数列前项和.
    【答案】(1);;
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)利用等差数列性质求出通项公式和前项和;
    (2)利用裂项相消法求和.
    【小问1详解】
    设的公差为,因为,所以,
    又,所以,解得,
    所以,

    【小问2详解】

    所以

    16. 四棱锥中,平面,底面是正方形,,点是棱上一点.
    (1)求证: 平面平面;
    (2)当为中点时, 求二面角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由正方形的性质得到,又由线面垂直的性质得到,即可得到平面,从而得证;
    (2)建立空间直角坐标,利用空间向量法计算可得.
    【小问1详解】
    底面是正方形,,
    平面,平面,
    ,又,,平面,
    平面,又平面,
    平面平面.
    【小问2详解】
    如图建立空间直角坐标系,则,,,,,,
    所以,,,
    设平面的法向量为,则,取,
    设平面的法向量为,则,取,
    设二面角为,由图可知二面角为锐二面角,
    所以,
    所以,即二面角的正弦值为.
    17. 已知F1,F2分别为椭圆W:的左、右焦点,M为椭圆W上的一点.
    (1)若点M的坐标为(1,m)(m>0),求△F1MF2的面积;
    (2)若点M的坐标为(x0,y0),且∠F1MF2是钝角,求横坐标x0的范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)代入法求得值,然后求出焦点坐标后可得三角形面积;
    (2)由余弦定理可得.
    【小问1详解】
    因为点M(1,m)在椭圆上,
    所以,
    因为m>0,所以,
    因为a=2,b=1,所以,所以,,
    所以
    【小问2详解】
    因为点M在椭圆上,所以-2≤x0≤2,
    由余弦定理得
    cs∠F1MF2==,
    因为∠F1MF2是钝角,所以,
    又因为,所以,解得,
    故横坐标x0的范围为.
    18. 学校师生参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人,女生2人,现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
    (1)求在有女生参加活动条件下,恰有一名女生参加活动的概率;
    (2)记参加活动的女生人数为,求的分布列及期望;
    (3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动,且选择参加1项或2项的可能性均为;每名男生至少从中选择参加2项活动,且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时,记随机选取的两人所得工时之和为,求的期望.
    【答案】(1)
    (2)分布列见解析,
    (3)13个工时
    【解析】
    【分析】(1)根据条件概率公式,结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可;
    (2)根据超几何分布的概率公式,结合数学期望公式进行求解即可;
    (3)根据数学期望公式和性质进行求解即可.
    【小问1详解】
    设“有女生参加活动”为事件A,”恰有一名女生参加活动“为事件.
    则,
    所以
    【小问2详解】
    依题意知服从超几何分布,且,

    所以的分布列为:

    【小问3详解】
    设一名女生参加活动可获得工时数为,一名男生参加活动可获得工时数为,
    则的所有可能取值为,的所有可能取值为,
    ,,
    ,,
    有名女生参加活动,则男生有名参加活动.,
    所以.
    即两人工时之和的期望为13个工时.
    19. 已知函数.
    (1)若曲线在处的切线为x轴,求a的值;
    (2)在(1)的条件下,判断函数的单调性;
    (3),若是的极大值点,求a的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)上单调递减,上单调递增
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)求导,然后根据列式计算即可;
    (2)求导,然后通过二次求导确定导函数的正负,进而确定函数的单调性;
    (3)求导,然后因式分解,确定导函数的零点,讨论零点大小,进而确定极值点.
    【小问1详解】
    由已知,则,
    由于曲线在处的切线为x轴,
    所以,
    所以;
    【小问2详解】
    当时,,令,
    则,
    当时,,单调递减,当时,,单调递增,
    又当时,恒成立,,,
    所以当时,时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增;
    【小问3详解】
    由已知,
    令,则,
    当时,,单调递减,当时,,单调递增,
    又当时,恒成立,且,
    当时,,即在上有且只有一个零点,设为,
    当,即,解得,
    此时若,解得,在上单调递减,
    若,解得或,在上单调递增,
    此时在处取极小值,不符合题意,舍去;
    当,即,解得,
    此时若,解得,在上单调递减,
    若,解得或,上单调递增,
    此时在处取极大值,符合是的极大值点,
    当时,即,解得,
    此时恒成立,无极值点,
    综上所述:a的取值范围为.
    【点睛】方法点睛:函数的极值跟导函数的零点有关,当零点不确定的时候,就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论,从而达到确定极值点的目的.
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    合计
    男生
    5
    20
    25
    女生
    15
    10
    25
    合计
    20
    30
    50
    0.050
    0.010
    0.001
    3.841
    6.635
    10.828
    0
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