2021-2022学年贵州省六盘水市高二下学期期末质量监测数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年贵州省六盘水市高二下学期期末质量监测数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用交集运算即可.

【详解】因为，，所以

故选：D

2．为评估某种新型水稻的种植效果，选择了n块面积相等的试验稻田.这n块稻田的亩产量（单位：kg）分别为a1，a2，…an，下列统计量中，能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是（    ）

A．样本a1，a2，…an的标准差 B．样本a1，a2，…an的中位数

C．样本a1，a2，…an的众数 D．样本a1，a2，…an的平均数

【答案】A

【分析】根据标准差的含义判断即可.

【详解】标准差刻画了数据的离散程度，故A正确.

故选：A.

3．若复数z满足，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】C

【分析】根据共轭复数的概念结合复数的模的运算求解.

【详解】∵，则，

∴.

故选：C.

4．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（    ）

A．1 B． C．5 D．

【答案】B

【分析】根据等比中项的性质求解即可.

【详解】若成等比数列，则，即，

当时，满足，成等比数列，

故使得成等比数列的充要条件的b值为.

故选：B

5．已知函数的图像为C.为了得到函数的图像，只要把C上所有的点（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据函数图像平移的规则推导即可.

【详解】由题意 ，所以将 向左平移 个单位即可得到 ；

故选：B.

6．为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】根据题意列表结合古典概型的计算公式运算求解.

【详解】如图，根据题意可得：“甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程”共有36个基本事件，

“甲、乙恰好选中相同课程”共有6个基本事件，则概率为.

故选：D.

7．已知函数在定义域内满足，且在上是增函数，则函数的解析式可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得为偶函数，则可选在上递增，且为偶函数的选项.

【详解】由可得为偶函数，故A，D错误.

又在上单调递减，故B错误.

而时，在上单调递增，则C正确.

故选：C

8．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义与点斜式方程求解即可

【详解】因为，所以，

则当时，，

故曲线在处的切线方程为，

整理得，

故选：B

9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

①BM与ED平行

②BM与CE垂直

③CE与平面ABCD所成角的正切值为

④CN与BM所成角为

以上四个命题中，正确命题的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【答案】C

【分析】根据展开图还原正方体，设其棱长为1，建立空间直角坐标系，即可判断异面直线的位置关系，计算出夹角，以及CE与平面ABCD所成角的正弦值，进而求出正切值.

【详解】解：根据平面展开图，还原正方体，并建立空间直角坐标系，如下图所示，

设正方体棱长为1，则，，，，，，

①BM与ED平行，由图可看出BM与ED不平行，错误；

②BM与CE垂直，，

，即，正确；

③CE与平面ABCD所成角的正切值为，

由图可知为平面ABCD的一个法向量，且，

设CE与平面ABCD所成的角为，

则，

，

，错误；

④CN与BM所成角为，

设CN与BM所成角为，

，，

，

，正确；

故选：C.

10．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，根据侧面积得到，，再根据体积公式计算即可.

【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即.

故圆锥的侧面积为，解得，圆锥的高为.

故圆锥的体积为.

故选：B

11．已知双曲线：（，）的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式及计算可得；

【详解】解：∵双曲线：的一条渐近线为，

∵到的距离为，

∴，即．

∴，即．

∴，∵，∴，

故选：A．

12．判断中最大的数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，利用导数研究函数的单调性，再结合指数函数与幂函数的单调性即可求解

【详解】令，则，

令，解得，令，解得，

所以在单调递增，在单调递减；

因为，

所以，即，

所以，，，

所以，，，

所以，，，

又在都单调递增，

所以，

所以中最大的数为，

故选：D

二、填空题

13．已知正三角形ABC的边长为1，则_________.

【答案】##-0.5

【分析】根据数量积的定义式，结合正三角形的性质，可得答案.

【详解】.

故答案为：.

14．以点为圆心，与直线有且只有一个公共点的圆的方程为_________.

【答案】

【分析】由直线与圆相切求出半径即可求解

【详解】由题意可知以点为圆心的圆与直线相切，

所以半径为，

所以所求圆的方程为，

故答案为：

15．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.

【答案】8

【分析】求出直线的方程，设、，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，然后由焦点弦长公式可得结论．

【详解】抛物线的焦点坐标为，直线方程为，设、，则由抛物线焦点弦长公式得：，

又、是抛物线与直线的交点，由得，则，

∴.

故答案为：8.

【点睛】结论点睛：焦点弦的一些性质：抛物线的焦点为，是其过焦点的弦，，则（1）．（2）．（3），．

三、双空题

16．梅花山索道位于贵州省六盘水市钟山区梅花山旅游景区，索高高差620m，最高运速为6m/s，全长9.91km，为世界上最长同路径山地索道，2019年7月31日通过世界纪录认证机构认证.游客从景区的景点A处到C处有两条路径，一条是从A处沿直线步行到C处；另一条是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留1min后，再从B处匀速步行到C处.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，，则索道AB的长为_________（单位：m）；当乙出发_________（单位：min）后，乙在缆车上与甲的距离最短.

【答案】         

【分析】由正弦定理即可确定的长；乙出发后，甲乙两游客距离为，此时甲行走了，乙距离处，由余弦定理确定即可

【详解】在中，因为，，

所以，，

从而

，

由正弦定理，得；

假设乙出发后，甲乙两游客距离为，

此时甲行走了，乙距离处，

所以由余弦定理得：

，

因为，即，

所以当时，甲乙两游客距离最短；

故答案为：；

四、解答题

17．为迎接2022年8月8日至8月18日在六盘水市举行的贵州省第十一届运动会，普及体育知识，某校开展了主题为“清凉六盘水•火热十一运”体育知识竞赛活动.现从参加体育知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分），分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值；

(2)在抽取的100名学生中，规定比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关？

附：，（其中）

【答案】(1)

(2)答案见解析.

【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求得值；

（2）根据表中数据计算卡方即可判断.

【详解】（1）由频率分布直方图各小矩形面积之和为1可知：

，

解得：.

（2）由图可知：

低于80分的频率为：，

所以非优秀的人数为：人，据此可知列联表如下：

可知：9.890，

所以没有99.9%的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关.

18．在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

问题：已知为等差数列的前n项和，若          .

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①由与的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求解即可

【详解】（1）若选①：在等差数列中，，

当时，，

也符合，

∴；

若选②：在等差数列中，

，

，解得

；

若选③：在等差数列中，

，解得

；

（2）由（1）得，

所以

19．如图所示的多面体，其正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为PA的中点.

(1)求证：平面EBD；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，则为的中位线，根据线面平行的判定定理，即可得证.

（2）设的中点为，设的中点为，连接，可证平面，再由椎体的体积公式求解即可

【详解】（1）连接交于点，连接，

由已知可得 ，

∴平面，平面，

∴平面EBD；.

（2）设的中点为，设的中点为，连接，

则易知，，

侧视图为正三角形，

，

由正视图可得：平面平面，

又平面，，平面平面，

所以平面，

又，

则平面，

由题意可知，

所以，

所以

20．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个不相同的零点，证明.

【答案】(1)时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数导数，对分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性即可得解；

（2）由函数的单调性可确定函数零点在两侧，要证原不等式可转化为证，再由函数的单调性转化为证，构造函数，利用导数即可得证.

【详解】（1）的定义域为，且，

当时，成立，所以在上单调递增；

当时，

当时，成立，所以在上为增函数；

当时，，所以在上为减函数.

综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，至多有1个零点，不符合题意；

当时，函数在上为增函数，函数在上为减函数，

所以为函数的极小值，函数有两个零点则，

不妨设，则，

要证，即证，

因为在上为减函数，

所以只要证，

又，即证，

设函数，

所以，所以在上为增函数，

所以，所以成立，

从而成立.

21．已知椭圆的离心率为，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设椭圆E的左、右焦点分别为，，经过点的直线l与椭圆E交于A，B两点，且，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据椭圆离心率及四边形面积列出方程求解即可；

（2）设直线的方程为，联立椭圆方程可得一元二次方程，由根与系数的关系及建立方程可求解，即可得解.

【详解】（1）依题意可得：

解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）由题可知：直线的斜率存在且不为零，

故设直线的方程为，

设，，由（1）可知：，，

则，，

因为，所以，，，化简得，

所以，，得.

联立消去得，，由得，

，，

则，解得或，

故的方程为或.

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程及的直角坐标方程；

(2)判断曲线，的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)；

(2)相交，理由见解析.

【详解】（1）由已知，曲线的参数方程为（t为参数），

所以曲线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为，两边乘得，

所以曲线的直角坐标方程为：，

即.

（2）由第（1）问可知，，，

所以曲线的圆心为，半径，曲线的圆心为，半径，

所以，

因为，

所以，所以曲线，相交.

23．已知的最小值为m.

(1)求m；

(2)若a，b，c均为正数，且，求证：.

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据分段函数的单调性即可求最值；(2)利用作差法比较大小即可证明.

【详解】（1）当时, ,

当时, ,

当时, ,

所以函数在单调递减,为常数函数,单调递增,

所以,所以.

（2）因为，

，

所以，

所以.