广东省清远市2024-2025学年高三上学期8月摸底考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省清远市2024-2025学年高三上学期8月摸底考试数学试卷（Word版附解析），共25页。

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等边三角形的边长为1，那么（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（ ）
A. ，B. 与相交，且交线平行于
C. ，D. 与相交，且交线垂直于
5. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（ ）
A. 56种B. 120种C. 84种D. 210种
6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）
A 1B. C. D. －1
7. 已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是
A. B.
C. D.
8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分
B. 当时，点的轨迹是双曲线的一部分
C. 当时，点的轨迹是抛物线的一部分
D. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分
10. 已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数图象的对称轴方程为
C. 若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为
D. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为−2
11. 定义域是复数集子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的三个内角分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________.
13. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.
14. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________．
四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知A，B，C为的三个内角，向量与共线，且.
（1）求角
（2）求函数的值域.
16. 如图，已知四边形和四边形都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.两点分别在正方形对角线和上移动，且.
（1）当分别为的中点时，求证：平面；
（2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
（1）请用上述定义证明反比例函数图象是双曲线；
（2）利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程；
（3）我们知道，双曲线上任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.
18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）
（1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；
（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；
（3）为增强趣味性，在体能达标跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.
附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，.
19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
广东省2025届高三摸底测试（8月份）
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】，，因此，.
故选：D.
2. 已知等边三角形的边长为1，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的数量积定义即可求解.
【详解】因为等边三角形的边长为1，
所以.
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值.
【详解】由及，
得.
所以，所以.
故选：A
4. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（ ）
A. ，B. 与相交，且交线平行于
C. ，D. 与相交，且交线垂直于
【答案】B
【解析】
【分析】假设得到矛盾，确定与相交，设，过直线一点，作， 设与确定的平面为，根据，得到答案.
【详解】若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，
故与相交，A错误；
设，过直线一点，作， 设与确定的平面为.
因为，所以，又，与相交，，所以，
因为，所以，又，所以，
因为，所以，，又与相交，，所以，
又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误；
因为，，，所以，C错误.
故选：B.
5. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（ ）
A. 56种B. 120种C. 84种D. 210种
【答案】C
【解析】
【分析】简单的组合问题，直接求解就可以了.
【详解】由于“群里”总共10人，其中1人发了信息，3人能看到信息，所以这9人中有3人与发信息的人是好友，所以“好友”关系的可能情况有（种）.
故选：C
6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）
A. 1B. C. D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义求得a的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值.
【详解】由由题意得 ,
故，则 ，
所以，令，
则，，
当或时，；当时，，
故函数在时取得极大值为，
故选：A.
7. 已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
【分析】
由消去y整理得，
设，则．
过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
则．
对于A，
，不为定值，故A不正确．
对于B，，不为定值，故B不正确．
对于C，，为定值，故C正确．
对于D，，不为定值，故D不正确．
选C．
点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；
（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.
【详解】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分
B. 当时，点的轨迹是双曲线的一部分
C. 当时，点的轨迹是抛物线的一部分
D. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分
【答案】ABC
【解析】
【分析】设Mx,y，求出和，每个选项代入公式判断.
【详解】设Mx,y，则，
当时，即，
有，故A正确；
当时，有，故B正确；
当时，，
即，故C正确；
当时，，
即显然不是椭圆，故D错误.
故选：ABC
10. 已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数图象的对称轴方程为
C. 若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为
D. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为−2
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象，先求出函数的解析式，进一步可求的解析式，通过函数性质的分析逐项进行判定.
【详解】由图象可知，设的最小正周期为，又，解得，
由图可得，又，所以，
即，因此，
所以.
即可得，故A正确；
令（，解得，所以函数图象的对称轴方程为，故B错误；
令，即可得，解得，
可得，当时，的最小值为，故C正确；
易知，因此存在点，使得在点处切线斜率为−2，故D正确.
故选：ACD
11. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可.
【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；
对B，由可得数列，，，…
则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；
对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；
对D，由可得数列…
因为，
存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；
故选：BD
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的三个内角分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件运用等差数列性质以及正弦定理得到，运用余弦定理和重要不等式即可求解.
【详解】由等差中项公式和正弦定理得，
由余弦定理得，
，
当且仅当时，等号成立，
又B∈0,π及在0,π内单调递减，故.
故答案为：
13. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________.
【答案】28
【解析】
【分析】令四棱锥底面边长为，高为，三棱柱的高为，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得和，则有，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积.
【详解】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，
依题意，四棱锥的体积为，即，
三棱柱的体积为，即，因此
于是长方体的体积，
所以该正四棱台的体积为.
故答案为：28
14. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】由古典概型概率计算公式列方程求得黑球个数，从而可根据超几何分布的数学期望公式进行求解.
【详解】若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，
设有个黑球，则，解得满足题意，
由题意白球的个数为X服从超几何分布，
所以随机变量X的数学期望为.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知A，B，C为的三个内角，向量与共线，且.
（1）求角
（2）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得
，进而得，即可求解.（2）根据余弦的二倍角公式以及余弦的和差角公式化简得，然后根据辅助角公式得，进而根据角的范围就可求解值域.
【小问1详解】
由题意，知，
整理，得，
即，解得.
已知为的内角，所以，
由，知为锐角，所以.
【小问2详解】
由（1）及题意知，
所以
又，所以，所以，因此，
故函数的值域为.
16. 如图，已知四边形和四边形都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.两点分别在正方形对角线和上移动，且.
（1）当分别为的中点时，求证：平面；
（2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证线线平行，推出线面平行.
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决问题.
小问1详解】
如图：
连接，
分别为的中点，
，又平面平面.
平面.
【小问2详解】
因为四边形是正方形，所以;
又四边形是正方形，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面.
，平面，所以所在直线两两垂直.
故可以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.
则,.
，
.
时，.
当分别为的中点时，的长最小，所以.
取的中点，连接，则.
为的中点，
，即是平面与平面所成二面角.设平面与平面的夹角为.
.
.
所求夹角的余弦值为.
17. 一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
（1）请用上述定义证明反比例函数的图象是双曲线；
（2）利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程；
（3）我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）焦点：；准线：和
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义判定函数的图象是双曲线.
（2）根据双曲线的对称轴平分双曲线的渐近线求焦点坐标.
（3）采用类比的方法猜测结论，再结合点到直线的距离公式证明.
小问1详解】
证明：观察图象可知若函数的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线，
且轴､轴是图象的渐近线，直线是双曲线的对称轴，
它与双曲线的两个交点是双曲线的两个顶点，实轴长.
两焦点坐标为.
设点Px,y在函数的图象上，则，即，
（i）当时，，
所以
.
（ii）当时，从而，同理，有.
因此，无论点Px,y在第一象限或者在第三象限，均有||（小于）.
综上，函数的图象是双曲线.
【小问2详解】
函数的图象是以为两焦点，实轴长的双曲线，两渐近线方程分别为和.
【小问3详解】
因为与是双曲线的两条渐近线，有.
类似地：双曲线上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.
证明：设是双曲线上任意一点，则有.
双曲线的渐近线方程为.
于是点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，结论成立.
18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）
（1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；
（2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”；
（3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.
附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，.
【答案】（1），；
（2）合格； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可；
（2）根据题中所给的公式进行求解即可；
（3）根据独立事件和条件概率的公式进行求解即可.
【小问1详解】
，
第一组学生的方差为；
解得；
第二组学生的方差为；
解得.
这40名学生的方差为
，
所以；
【小问2详解】
由，，得的估计值，的估计值.
，
∴.
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”；
【小问3详解】
设王强在这轮比赛得3分为事件A，他以的比分获胜为事件，他以的比分获胜为事件.
则，
；
所以，
设王强前3局比赛获胜的事件为B，
则，
所以.
19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，
【解析】
【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明；
（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；
（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.
【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以，
因为，
即不恒成立，
所以不是“同比不减函数”.
（2）因为函数“同比不减函数”，
所以恒成立，即恒成立，
对一切成立.
所以.
（3）设函数是“同比不减函数”，
，
当时，因为成立，
所以，所以，
而另一方面，若，
（Ⅰ）当时，
因为，
所以，所以有成立.
（Ⅱ）当x∈−1,+∞时，
因为，
所以，
即成立.
综上，恒有有成立，
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.