吉林省长春市2024年中考一模数学试题(附答案)

这是一份吉林省长春市2024年中考一模数学试题(附答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．计算(-3)×(-4)的结果是( )
A．-7B．-12C．7D．12
2．奥迪一汽新能源汽车有限公司已全面进入预批量生产，预计今年年底实现量产，届时年产能将超过 150 000 辆.将150 000 这个数用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
3．下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知正整数a、b满足等式 下列各组数值中符合要求的是( )
A．a=1，b=1B．a=1，b=2C．a=2，b=2D．a=4，b=2
5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段D．作角的平分线
6．如图，一个零刻度落在点 A 的量角器(半圆O)的直径为 AB，等腰直角三角尺的一顶点与点 B 重合，它的斜边 BQ与半圆交于点C，直角边 BP 与半圆交于点 D.若点 C 在量角器上的读数为26°，则点 D 在量角器上的读数为（ ）
A．58°B．71°C．103°D．116°
7．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB=130°，AC=BC=1.2m，CD 与地面垂直且CD=6m，则灯顶 A 到地面的高度为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，点 A 在函数 的图象上，点 B在函数 的图象上，AB与y轴交于点 C，D 是x轴上一点，连结 AD、BD、CD.若 AB∥x轴，则△ACD与△BCD 的面积比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分)
9．分解因式：a2 -9= ．
10．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 .
11．某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台.甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台.若购买甲品牌电子白板费用为3(10+x)万元，则购买乙品牌电子白板费用为 万元.(用含 x的代数式表示)
12．如图，扇形的半径 OA=2，∠AOB=90°，C 是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点 D、E.若 CD=CE，则图中阴影部分图形的面积为 .(结果保留π)
13．如图，在四边形 ABCD 中，AB=6，AD=4，BC=2，CD=10，则对角线 BD 的长度可能是 .(写出一个即可)
14．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下.安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 O在同一水平面.如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m.现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为 m.
三、解答题(本大题共 10 小题，共 78分)
15．先化简，再求值： 其中
16．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，汽开区教育局鼓励在校内“学校种植园”开展“活动+劳动教育”课程.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供3张背面完全相同的卡片，其中正面分别印有白菜、辣椒、茄子图案.把这 3张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，记录后背面朝上放回，重新洗匀后，小华再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求小明和小华抽出的卡片上的图案都是“白菜”的概率.
17． “竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知”.为了使春天来长白山旅游的客人能够买到中华秋沙鸭玩偶，某手工作坊计划制作 600个“秋沙鸭”玩偶，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前2 天完成任务.问原计划平均每天制作多少个玩偶?
18．如图，延长 的边 AB 到点 E，使 ，延长边 CD 到点 F，使 连结AF、CE.求证：四边形 AECF 是平行四边形.
19．某校为更好地开展安全教育活动，随机抽取了一部分学生进行问卷调查，每名被调查的学生从防溺水、防交通事故、防食物中毒、防校园欺凌及其他各种安全意识薄弱项目中选择一项，根据调查结果，绘制出两幅不完整的统计图.
（1）求这次被调查的学生人数.
（2）补全条形统计图.
（3）请估计该校 1 800名学生中防溺水意识薄弱的学生人数.
20．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上，M是AB 与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①中，作△DBC，使△DBC与△ABC全等.
（2）在图②中，作点M关于BC的对称点 N.
（3）在图③中，在C边上找一点E，连结 ME，使 ME=MB.
21．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y(米)与跑步时间x(分)之间的函数关系如图所示.(0≤x≤12)
（1）求甲距离终点的路程y(米)和跑步时间x(分)之间的函数关系式.
（2）求甲、乙两人相距最远时的距离.
22．
（1）【感知】如图①，在正方形ABCD 内部作等边三角形PBC，连结 PA、PD，则∠APD的大小为 度.
（2）【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 是△ABC内的一点，且CD=AD，BD=BA，求证：∠ABC=3∠DBC.
小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出， 进而得证.下面是小明的部分证明过程：
证明：过点B作AC 的平行线，过点C 作AB 的平行线，两平行线交于点 E，连结 DE.
∵BE∥AC，CE∥AB，∴四边形 ABEC是平行四边形.
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴四边形 ABEC是正方形.
∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC.
∵四边形 ABEC是正方形，∴EC=AB=BE，∠ECA=∠BAC=∠ABE=90°.
∴∠ECA-∠DCA=∠BAC--∠DAC，即∠ECD=∠BAD.
∵CD=AD，EC=AB，∴△ECD≌△BAD(S. A. S.).
∴ED=BD.
请你补全余下的证明过程.
（3）【拓展】如图③，在 Rt△ABC中，A D于点E，交 AB 于点F，则 BF的长为 .
23．如图，在 中， 动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒4个单位长度的速度向终点 B 运动.过点 P 作. 交边AC 或边 BC 于点Q，且点 P 不与点A、B重合，点 Q不与点C 重合.设线段 PQ的中点为O，将 PQ 截. 得到的小三角形绕点O 旋转 得到 设 P 点的运动时间为t秒.
（1）求 BC的长.
（2）用含 t 的代数式表示线段CQ 的长.
（3）当点 Q在边AC 上时，连结 BM，求线段 BM的最小值.
（4）在点 P 运动过程中，直接写出射线 CM平分 面积时t的值.
24．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点(4，2).点 P 在这条抛物线上，且点 P 的横坐标为m，过点 P 作 PQ⊥y轴，点 Q 的横坐标为2-4m.
（1）求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标.
（2）作以 P 为圆心、半径长为3的⊙P，当⊙P与x轴相切时，求点 P 的坐标.
（3）当线段 PQ被抛物线分成1：2 两部分时，求 m的值.
（4）过点 P 作 轴，点 M 的纵坐标为m+2，且点 M 与点 P 不重合，连结 MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x 的增大而减小时，直接写出m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】（a+3）（a-3）
10．【答案】m<4
11．【答案】(20-2x)
12．【答案】
13．【答案】9(答案不唯一， 满足8<10即可)
14．【答案】16
15．【答案】解：原式
当 时，原式
16．【答案】解：树状图如下：
或列表如下：
所以P(小明和小华抽出的卡片上的图案都是“白菜”)
17．【答案】解：设原计划平均每天制作x个玩偶，根据题意，得
解得x=50.
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意.
答：原计划平均每天制作 50个玩偶.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB， DC=AB， AD=BC.
∵BE=BC， DF=DA， ∴BE=DF.
∴DF+DC=AB+BE， 即 FC=AE.
∵FC∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形.
19．【答案】（1）解：16÷16%=100 (人)
所以这次被调查的学生人数为100 人.
（2）解：补全条形统计图如图所示：
（3）解：(人)
估计该校 1800 名学生中防溺水意识薄弱的学生人数约为144 人.
20．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图：
21．【答案】（1）解：设甲距离终点的路程y(米) 和跑步时间x(分)之间的函数关系式为
把(12， 0)、(0， 3000) 代入，
得
解得
所以y=-250x+3000 (0≤x≤12).
（2）解：当x=9时， 甲、乙两人相距最远.
y=-250×9+3000=750.
1000-750=250(米).
所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米.
22．【答案】（1）150
（2）解：∵BD=BA，
∴ED=BD=BA， 即△EDB 是等边三角形.
∴∠EBD=60°.
∵∠BAC=90°， AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠CBD=∠ABC--∠DBA=45°-30°=15°.
∴∠ABC=3∠DBC.
（3）
23．【答案】（1）解：在△ABC中， ∠C=90°， AB=10， AC=8，
（2）解：当点Q与点A重合时
∴6×8=10CP
解之：CP=4.8，
∴，
∵ P点的运动时间为t秒，
∴AP=4t=6.4，
解之：t=1.6；
当点Q在AC上时，0≤t≤1.6，
∵∠APQ=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ACB，
∴即
解之：QA=5t，
∴CQ=8-5t，
当点Q在BC上时，当t＞1.6时，
△BPQ∽△BCA，
∴即
解之：
∴；
综上所述：当 时， ；当 时，
（3）解：过M作MN⊥AB于点N，
∴∠MNP=90°，
∵△PQM 是由截△QPA绕点 O 旋转180°得到的，
∴∠PQM=∠APQ=∠NPQ=90°，MQ=AP=4t，
∴四边形PQMN是矩形，
∴PN=QM=4t，MN=PQ，
∴BN=10-4t-4t=10-8t，
∵△APQ∽△ACB，
∴即
解之：PQ=MN=3t，
∴，
∴当时，BM2有最小值为，
∴BM的最小值为.
（4）
24．【答案】（1）解：∵抛物线 经过点(4， 2)，
∴16+4b+2=2，解得b=-4.
∴该抛物线所对应的函数表达式为
∴该抛物线的顶点坐标为(2， -2) .
（2）解：∵⊙P 与x轴相切，且⊙P的半径长为3，
∵该抛物线顶点的纵坐标为-2， ∴yp=-3舍去.
当 时，
解得
∴点P的坐标为( 或
（3）解：当 时， 点P在点Q 左侧.
若 解得m=10(舍去).
若 解得m=-2.
当 时， 点 P在点Q 右侧.
若 解得m=10.
若 解得m=-2 (舍去).
综上， m=-2或m=10.
（4）或 小明
情况
小华
白菜
辣椒
茄子
白菜
(白菜， 白菜)
(辣椒， 白菜)
(茄子，白菜)
辣椒
(白菜， 辣椒)
(辣椒，辣椒)
(茄子， 辣椒)
茄子
(白菜， 茄子)
(辣椒， 茄子)
(茄子，茄子)