2024年吉林省长春市中考数学试题

这是一份2024年吉林省长春市中考数学试题，共37页。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 根据有理数加法法则，计算过程正确是（ ）
A. B. C. D.
2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．
A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 右视图
3. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
6. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A 千米B. 千米C. 千米D. 千米
7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 单项式的次数是_____．
10. 计算：____．
11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________．
12. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可）
13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留）
14. 如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
上述结论中，正确结论的序号有________．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
17. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
18. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形．
19. 某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取名学生对食堂进行满意度评分（满分分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．高中部名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：，，，）
b．高中部名学生所评分数在这一组的是：

c．初中部、高中部各名学生所评分数的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中值为________；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于分为“非常满意”．
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为、，则________；（填“>”“<”或“=”）
②高中部共有名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
（1）在图①中，四边形面积为2；
（2）在图②中，四边形面积为3；
（3）在图③中，四边形面积为4．
21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）的值为________；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
22. 【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
23. 如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
（1）当点是边的中点时，求的长；
（2）当时，点到直线的距离为________；
（3）连结，当时，求正方形的边长；
（4）若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当取不为零任意实数时，的值始终为2；
（3）作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围
2024年长春市初中学业水平考试
数学
本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．
根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．
【详解】解：．
故选D．
2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．
A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 右视图
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．
【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．
故选B．
3. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．
【详解】解：，
故选：D．
4. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B；根据积的乘方运算法则计算并判断C；根据幂的乘方运算法则计算并判断D．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
6. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解
【详解】解：由题意得：
∴千米
故选：A
7. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴C点的坐标为，
∴,，
∴，
∴,
∴
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 单项式的次数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】单项式的次数是：，
故答案为：．
10. 计算：____．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．
详解】解：
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．
11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴没有实数根，
∴，．
故答案为：．
12. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可．
【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点，
∴．
∵y随x的增大而减小，
∴，
当时，，
解得：，
∴b的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）
13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．
由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答．
【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，
∴,即，
∴点A经过的路径长至少为．
故答案为：．
14. 如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
上述结论中，正确结论的序号有________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④．
【详解】解：如图：连接，
∵是的中点，
∴,
∴，即①正确；
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即②正确；
在和,
，
∴，
∴,即,
∴，即,
∴,
∵，
∴，即③正确；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，即是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：,
∴，
∵
∴，即④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．
【详解】解：原式
∵，
∴原式
16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，
所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为．
17. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱
【解析】
【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形．
【详解】证明：∵是边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19. 某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取名学生对食堂进行满意度评分（满分分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．高中部名学生所评分数频数分布直方图如下图：（数据分成4组：，，，）
b．高中部名学生所评分数在这一组的是：

c．初中部、高中部各名学生所评分数的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为________；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于分为“非常满意”．
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为、，则________；（填“>”“<”或“=”）
②高中部共有名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．
【答案】（1）
（2）①；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人
【解析】
【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第位数的平均数，即，计算求解即可；
（1）①利用中位数进行决策即可；②根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，高中部评分的中位数为第位数的平均数，即，
故答案为：；
【小问2详解】
①解：由题意知，初中部评分的中位数为，高中部评分的中位数为，
∴，
故答案为：；
②解：∵，
∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
（1）在图①中，四边形面积为2；
（2）在图②中，四边形面积为3；
（3）在图③中，四边形面积为4．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可．
（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可．
（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可．
【小问1详解】
解：如图①：四边形即为所求；
（不唯一）．
【小问2详解】
解：如图②：四边形即为所求；
（不唯一）．
【小问3详解】
解：如图③：四边形即为所求；
（不唯一）．
21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）的值为________；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】（1）
（2）
（3）没有超速
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答．
【小问1详解】
解：由题意可得：，解得：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：设当时，y与x之间函数关系式为，
则：，解得：，
∴．
【小问3详解】
解：当时，，
∴先匀速行驶小时的速度为：，
∵，
∴辆汽车减速前没有超速．
22. 【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米
【解析】
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可；
（2）先证明，根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可．
【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
23. 如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
（1）当点是边的中点时，求的长；
（2）当时，点到直线的距离为________；
（3）连结，当时，求正方形的边长；
（4）若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于
，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解；
【小问1详解】
解：根据题意可知：，
为等腰三角形，故点是边的中点时，；
在中，；
【小问2详解】
根据题意作，如图所示；
当时，则，
设点到直线的距离为，
，
解得：；
【小问3详解】
如图，当时，点落在上，
设，则，，
过点作于
则，
，
，
解得：
故，
所以正方形的边长为；
【小问4详解】
如图，，在异侧时；
设，，则
三边的比值为，
，
，
当，在同侧
设，则，，
三边比为，
三边比为，
设，则，，
解得：
综上所述：的长为或
24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2；
（3）作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）①；②或或
【解析】
【分析】（1）将代入，解方程即可；
（2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此；
（3）①记交于点M， ，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此；
②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或．
【小问1详解】
解：将代入，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
【小问2详解】
解：过点B作于点H，则，
由题意得：，
∴，，
∴在中，；
【小问3详解】
解：①如图，记交于点M，

由题意得，，
由，
得：对称轴为直线：
∵四边形是菱形，
∴点A、C关于对称，，
∵与此抛物线的对称轴重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
∴；
②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，
∴，
∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：
过点F作于点Q，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：
∴；
当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作于点Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
∴，
综上所述，m的取值范围为：或或．
【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键
平均数
中位数
初中部
高中部
A
B
C
A
A，A
A，B
A，C
B
B，A
B，B
B，C
C
C，A
C，B
C，C
平均数
中位数
初中部
高中部