2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练26正弦定理余弦定理及解三角形

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一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝ eq \r(2)，b＝ eq \r(3)，B＝ eq \f(π,3)，则A＝( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(5,6)π C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,4)或 eq \f(3,4)π
答案：C
解析：由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，∴sin A＝ eq \f(a sin B,b)＝ eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝ eq \f(\r(2),2)，又a2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：C
解析：由正弦定理 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)，∴sin B＝ eq \f(b sin C,c)＝ eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝ eq \r(3)>1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝ eq \r(7)，则角C＝( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
答案：C
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cs C，
得cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(4＋9－7,2×2×3)＝ eq \f(1,2)，又C为△ABC内角，∴C＝ eq \f(π,3).
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \r(3) D．2
答案：C
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs A，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cs A＝1，cs A＝ eq \f(1,2)，∴sin A＝ eq \r(1－cs2A)＝ eq \f(\r(3),2)，∴S△ABC＝ eq \f(1,2)bc sinA＝ eq \f(1,2)×4× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3).
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cs B＝ eq \f(2,3)，则b＝( )
A.14 B．6 C． eq \r(14) D． eq \r(6)
答案：D
解析：∵b sin A＝3c sin B，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cs B＝9＋1－2×3× eq \f(2,3)＝6，∴b＝ eq \r(6).
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cs C＋c cs B＝a sin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案：B
解析：∵b cs C＋c cs B＝a sin A，∴sin B cs C＋sin C cs B＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．
7．钝角三角形ABC的面积是 eq \f(1,2)，AB＝1，BC＝ eq \r(2)，则AC＝( )
A．5 B． eq \r(5) C．2 D．1
答案：B
解析：∵S△ABC＝ eq \f(1,2)AB×BC×sin B＝ eq \f(\r(2),2)sin B＝ eq \f(1,2)，∴sin B＝ eq \f(\r(2),2)，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs 45°＝1＋2－2× eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs 135°＝1＋2＋2× eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝5，∴AC＝ eq \r(5).
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 eq \r(2) m B．50 eq \r(3) m
C．25 eq \r(2) m D． eq \f(25\r(2),2) m
答案：A
解析：由正弦定理得 eq \f(AC,sin B)＝ eq \f(AB,sin C)，
∴AB＝ eq \f(AC·sin C,sin B)＝ eq \f(50×\f(\r(2),2),sin （180°－45°－105°）)＝50 eq \r(2).
9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ eq \f(9,4)ac，则sin A＋sin C＝( )
A． eq \f(3,2) B． eq \r(2)
C． eq \f(\r(7),2) D． eq \f(\r(3),2)
答案：C
解析：∵b2＝ eq \f(9,4)ac，∴由正弦定理可得sin2B＝ eq \f(9,4)sinA sin C．
∵B＝60°，∴sin B＝ eq \f(\r(3),2)，∴ eq \f(3,4)＝ eq \f(9,4)sin A sin C，∴sin A sin C＝ eq \f(1,3).由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cs B＝a2＋c2－ac，将b2＝ eq \f(9,4)ac代入整理得，a2＋c2＝ eq \f(13,4)ac，∴由正弦定理得sin2A＋sin2C＝ eq \f(13,4)sinA sin C，则(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝ eq \f(13,4)sin A sin C＋2sin A sin C＝ eq \f(21,4)sin A sin C＝ eq \f(21,4)× eq \f(1,3)＝ eq \f(7,4)，∴sin A＋sin C＝ eq \f(\r(7),2)或－ eq \f(\r(7),2)(舍).故选C.
二、填空题
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________．
答案： eq \f(2,3)π
解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.
由余弦定理得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－ eq \f(1,2)，又B为△ABC的内角，∴B＝ eq \f(2,3)π.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a cs B，①则A＝________；②若sin C＝ eq \f(1,3)，则cs (π＋B)＝________．
答案：①90° ②－ eq \f(1,3)
解析：①∵c＝a·cs B，∴c＝a· eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cs B＝cs (π－A－C)＝sin C＝ eq \f(1,3).∴cs (π＋B)＝－cs B＝－sin C＝－ eq \f(1,3).
12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ eq \r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
答案：2
解析：方法一 由余弦定理得cs 60°＝ eq \f(AC2＋4－6,2×2AC)，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋ eq \r(3).又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以 eq \f(1,2)×2AC sin 60°＝ eq \f(1,2)×2AD sin 30°＋ eq \f(1,2)AC×AD sin 30°，所以AD＝ eq \f(2\r(3)AC,AC＋2)＝ eq \f(2\r(3)×（1＋\r(3)）,3＋\r(3))＝2.
方法二 由角平分线定理得 eq \f(BD,AB)＝ eq \f(CD,AC)，又BD＋CD＝ eq \r(6)，所以BD＝ eq \f(2\r(6),AC＋2)，CD＝ eq \f(\r(6)AC,AC＋2).由角平分线长公式得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－ eq \f(12AC,（AC＋2）2)，又由方法一知AC＝1＋ eq \r(3)，所以AD2＝2＋2 eq \r(3)－ eq \f(12×（1＋\r(3)）,（3＋\r(3)）2)＝2＋2 eq \r(3)－(2 eq \r(3)－2)＝4，所以AD＝2.
[能力提升]
13．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<4，c＝7，且满足(2a－b)cs C＝c·cs B，则下列结论正确的是( )
A．C＝60°
B．△ABC的面积为6 eq \r(3)
C．b＝2
D．△ABC为锐角三角形
答案：AB
解析：∵(2a－b)cs C＝c cs B，∴(2sin A－sin B)cs C＝sin C cs B，∴2sin A cs C＝sin B cs C＋cs B sin C，即2sin A cs C＝sin (B＋C)，∴2sin A cs C＝sin A．∵在△ABC中，sin A≠0，∴cs C＝ eq \f(1,2)，∴C＝60°，A正确．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cs C，得49＝64＋b2－2×8b cs 60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b<4，∴b＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)×8×3× eq \f(\r(3),2)＝6 eq \r(3)，B正确．又cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(9＋49－64,2×3×7)<0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．
14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC面积为( )
A．2 eq \r(2) B．3 eq \r(2)
C．4 eq \r(2) D．6 eq \r(2)
答案：C
解析：如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM，又OM⊂平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝ eq \r(PC2＋AC2－2PC·AC cs 45°)＝ eq \r(17)，所以PB＝ eq \r(17).在△PBC中，由余弦定理，得cs ∠PCB＝ eq \f(PC2＋BC2－BP2,2PC·BC)＝ eq \f(1,3)，所以sin ∠PCB＝ eq \f(2\r(2),3)，所以S△PBC＝ eq \f(1,2)PC·BC sin ∠PCB＝4 eq \r(2)，故选C.
15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当 eq \f(AC,AB)取得最小值时，BD＝________．
答案： eq \r(3)－1
解析：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴， eq \(DC,\s\up6(→))的方向为x轴的正方向，过点D且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A位于第一象限．由AD＝2，∠ADB＝120°，得A(1， eq \r(3)).因为CD＝2BD，所以设B(－x，0)，x＞0，则C(2x，0).所以AC＝ eq \r(（2x－1）2＋（0－\r(3)）2)＝ eq \r(4x2－4x＋4)，AB＝ eq \r(（－x－1）2＋（0－\r(3)）2)＝ eq \r(x2＋2x＋4)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,AB))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(4x2－4x＋4,x2＋2x＋4).令f(x)＝ eq \f(4x2－4x＋4,x2＋2x＋4)，x＞0，
则f′(x)＝
eq \f(（4x2－4x＋4）′（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（x2＋2x＋4）′,（x2＋2x＋4）2)
＝ eq \f(（8x－4）（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（2x＋2）,（x2＋2x＋4）2)
＝ eq \f(12（x2＋2x－2）,（x2＋2x＋4）2)．令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－ eq \r(3)(舍去)或x＝ eq \r(3)－1.当0＜x＜ eq \r(3)－1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0， eq \r(3)－1)上单调递减；当x＞ eq \r(3)－1时，f′(x)＞0，所以f(x)在( eq \r(3)－1，＋∞)上单调递增．所以当x＝ eq \r(3)－1时，f(x)取得最小值，即 eq \f(AC,AB)取得最小值，此时BD＝ eq \r(3)－1.
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝________．
答案： eq \f(12,5)
解析：由余弦定理得2ab cs C＝a2＋b2－c2，又6S＝(a＋b)2－c2，所以6× eq \f(1,2)ab sin C＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝2ab cs C＋2ab，化简得3sin C＝2cs C＋2，结合sin2C＋cs2C＝1，解得sinC＝ eq \f(12,13)，cs C＝ eq \f(5,13)，所以tan C＝ eq \f(12,5).