第26讲 正弦定理与余弦定理--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.正弦定理和余弦定理
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
3.三角形面积公式
(1)S=12ah(h表示边a上的高);
(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C;
(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
常用结论
1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;
变形:A+B2=π2-C2.
2.三角形中的三角函数关系:
(1)sin(A+B)=sin C;(2)cs(A+B)=-cs C;
(3)sin A+B2=cs C2;(4)csA+B2=sin C2.
3.角平分线定理:BDCD=ABAC.
4.三角形中的射影定理:
在△ABC中,a=bcs C+ccs B;b=acs C+ccs A;c=bcs A+acs B.
5.在所有圆内接三角形中,正三角形的面积最大.
图4-26-1
分类探究
探究点一 利用正弦、余弦定理解基本量问题
例1 在①CD=AD,②sin∠BAC=32114,③AC=877这三个条件中任选一个,补充在下列问题中并解答.
已知四边形ABCD为圆的内接四边形, ,AB=1,BD=7,AD=2,求BC的长.
[总结反思] 正弦、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量,基本思想是方程思想.正弦、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常用到三角形内角和定理、三角形面积公式等.
变式题 (1)在△ABC中,cs C=23,AC=4,BC=3,则cs B=( )
A.19B.13
C.12D.23
(2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,若2a=b+1,c=7,C=π3,则△ABC的面积为( )
A.332B.3
C.33D.23
(3)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且acs C+3asin C=b+c,则A= ;若b=2,a=x,△ABC有两解,则实数x的取值范围是 .
探究点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
例2 (1)在△ABC中,若AB2-BC2=AB·AC,则△ABC是( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
(2)在△ABC中,若bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.不确定
[总结反思] 判断三角形形状的技巧总结:
角:利用余弦定理,对角的余弦值与0进行大小比较;
边:比较两边的平方和与第三边的平方的关系(技巧:最大边法).
变式题 (1)(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有( )
A.若acsA=bcsB=ccsC,则△ABC一定是等边三角形
B.若acs A=bcs B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcs C+ccs B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin A=bsin B,则△ABC一定为( )
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
探究点三 正、余弦定理在几何中的应用
微点1 最值、范围问题
例3 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=π3.
(1)若c2=4a2-ab,求sinBsinA;
(2)求sin Asin B的最大值.
[总结反思] 求有关三角形的最值(范围)问题时,可以将待求量用一个角的三角函数表示,也可以将待求量用某条边表示,然后利用三角函数的性质、二次函数的性质、基本不等式等求解.
微点2 多三角形背景解三角形
例4 如图4-26-2,在△ABC中,点P在边BC上,C=π3,AP=2,AC·PC=4.
(1)求∠APB;
(2)若△ABC的面积为532,求sin∠PAB的值.
图4-26-2
[总结反思] 多三角形背景解三角形问题的求解思路:
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;
(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质,要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.
▶ 应用演练
1.【微点1】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=60°,b>1,c=a+12,当△ABC的周长最小时,b的值为( )
A.22B.2
C.1+22D.1+2
2.【微点2】△ABC中,AD为∠BAC的平分线,若S△ABD=2S△ACD=87,且sin A(tan B+tan C)=tan Btan C,则△ABC的周长为 .
3.【微点2】如图4-26-3,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB= .
图4-26-3
4.【微点1】△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
同步作业
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=π6,B=π4,a=3,则b=( )
A.6B.33
C.32D.6
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=2c,3c=5b,则角A的大小为( )
A.π6B.π3
C.2π3D.5π6
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=80,b=100,A=45°,则符合条件的三角形有( )
A.一个B.两个
C.一个或两个D.0个
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin(A+B)=cs C,a2+b2-c2=4,则△ABC的面积为( )
A.1B.2
C.4D.6
5.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinAcsA=2bcb2+c2-a2,则角A的大小为( )
A.π4B.π6
C.5π12D.π3
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=45°,a=2,b=2,则B= ,S△ABC= .
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin A=2sin B,c=3b,则sin B= .
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.满足条件C=π3,c=2b-a,则△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形但不是等腰三角形
C.等边三角形
D.不能确定
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,a2+bc=b2+c2,asin B=2csin A,则B=( )
A.π6B.π4
C.π3D.π2
10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acs C=4csin A,已知△ABC的面积等于10,b=4,则a的值为( )
A.233B.283
C.263D.253
11.若钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=( )
A.22B.1
C.2D.5
12.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=23,B=π3,若添加下列条件来解三角形,则其中三角形只有一解的是( )
A.c=3B.c=72
C.c=4D.c=92
13.(多选题)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cs∠CDB=-55,则( )
A.sin∠CDB=310
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+45
D.△ABC为钝角三角形
14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,a=4sin Asin C,且a>c,则△ABC面积的最大值为 .
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=2,b=1,cs C=14,则△ABC的中线AD的长为 .
16.从①a=7,②b=2,③cs B=1314这三个条件中任选两个,分别补充在下面问题的横线上,回答有关问题.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若 , ,且满足(2b-c)cs A=acs C,求△ABC其余各边的长度和△ABC的面积.
17.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2a-c)cs B=bcs C.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积为3,a+c=6,求△ABC的周长.
18.如图K26-1,在平面四边形ABCD中,BC=2,CD=23,且AB=BD=DA.
(1)若∠CDB=π6,求tan∠ABC的值;
(2)求四边形ABCD的面积的最大值.
图K26-1
定理
正弦定理
余弦定理
公式
asinA= = =2R
(其中R是 △ABC的外接圆的半径)
a2= ,
b2= ,
c2=
定理的变形
(1)a=2RsinA,b= ,c= ;
(2)a∶b∶c= ;
(3)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;
(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,
asin C=csin A
cs A= ,
cs B= ,
cs C=
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数