2024年青海省西宁市城中区虎台中学中考数学一模试卷

这是一份2024年青海省西宁市城中区虎台中学中考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣1）2＝a2﹣1B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2
C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6
3．（3分）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
4．（3分）背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着以下命题：
①单项式﹣2πx3y的次数是4次；②平分弦的直径垂直于弦；③平行四边形不是轴对称图形；④一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个相等的实数根．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上命题为真命题的概率是（ ）
A．B．C．D．1
5．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．（3分）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．60B．55C．45D．50
7．（3分）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为（ ）
A．145°B．120°C．216°D．180°
8．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（ ）
①当t＝4秒时，S＝4 ②AD＝4
③当4≤t≤8时，S＝2t ④当t＝9秒时，BP平分四边形ABCD的面积．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）生物学家发现某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示为 ．
10．（2分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为 ．
11．（2分）已知a+b＝5，ab＝4，则多项式a2b+ab2的值为 ．
12．（2分）已知∠α，∠β互余，且∠α＝35°15′，则∠β＝ 度．
13．（2分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 m．
14．（2分）若关于x的分式方程无解，则m＝ ．
15．（2分）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是 元．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E为直线BC上一动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AB′E，当点B′恰好落在直线CD上时，BE的长为 ．
17．（2分）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为 ．
18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形．
三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分，第23、24题每小题7分，第25、26题每小题7分，第27题12分，共76分）
19．（7分）计算：．
20．（7分）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cs30°﹣tan45°．
22．（7分）小亮和小丽两位同学玩转转盘游戏，转盘上的数字如图所示，若转盘指针指向交界处则忽略不计，重新转动一次．
（1）小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率为 ；
（2）小亮转一次后，小丽再转一次，利用两人转出的数字之差的绝对值判断输赢，规定：若所得数值等于0，1，则小亮获胜，若所得数值等于2，3，4，则小丽获胜．请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若∠C＝60°，BC＝6，求矩形ABDF的周长．
24．（8分）如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点B的坐标为（﹣2，3）与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集
（3）把线段CA绕着点C旋转90°得到线段CA'，请直接写出A'的坐标．
25．（10分）如图，圆外接于Rt△ABC，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD交圆于点E，连结BE，过点B的切线交AC的延长线于点F．
（1）证明：∠CBF＝∠BEC；
（2）AC＝4，CF＝2，请求出BF的长．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如图1，在△ABC中，作以下尺规作图：①以点A为圆心小于AC长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N，②分别以点M、N为圆心大于长为半径作弧，两条弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，③以点A为圆心AC长为半径画弧，交AB于点E，连结DE，易证AB＝AC+CD．请将下面证明补充完整．
证明：∵由①②可得AD是∠BAC的
∴∠CAD＝
又∵由③可得AC＝
∴在△ACD与△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴∠C＝∠AED（ ）
∵∠ACB＝2∠B（已知）
∴∠AED＝2∠B
又∵∠AED＝∠B+∠EDB（ ）
∴2∠B＝∠B+∠EDB
∴∠B＝∠EDB
∴ED＝BE（ ）
又∵CD＝ED（全等三角形的对应边相等）
∴CD＝BE（等量代换）
∵AB＝AE+BE
∴AB＝AC+CD
（2）学以致用：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD为∠BAC的角平分线，AC＝2，则CD＝ ；
（3）延伸：如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？猜想并证明你的结论．
27．（12分）如图1，顶点为M（1，1）的抛物线与y轴交于点，与直线OM交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结AM、AB，求△ABM的面积；
（3）如图2将抛物线沿着OM的方向平移个单位，平移后抛物线的顶点为M与x轴的正半轴交于交点C，连结CM、CM′判断△CMM'的形状，并进行证明．
2024年青海省西宁市城中区虎台中学中考数学一模试卷
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣1）2＝a2﹣1B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2
选：D．
3．（3分）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
选：D．
4．（3分）背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着以下命题：
①单项式﹣2πx3y的次数是4次；②平分弦的直径垂直于弦；③平行四边形不是轴对称图形；④一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个相等的实数根．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上命题为真命题的概率是（ ）
A．B．C．D．1
选：B．
5．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
选：B．
6．（3分）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．60B．55C．45D．50
选：D．
7．（3分）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为（ ）
A．145°B．120°C．216°D．180°
选：C．
8．（3分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（ ）
①当t＝4秒时，S＝4 ②AD＝4
③当4≤t≤8时，S＝2t ④当t＝9秒时，BP平分四边形ABCD的面积．
A．1个B．2个C．3个D．4个
选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）生物学家发现某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示为 2.1×10﹣6 ．
10．（2分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为 x ．
11．（2分）已知a+b＝5，ab＝4，则多项式a2b+ab2的值为 20 ．
12．（2分）已知∠α，∠β互余，且∠α＝35°15′，则∠β＝ 54.75 度．
前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 45 m．
14．（2分）若关于x的分式方程无解，则m＝ 1 ．
15．（2分）一家商店某种衣服按进价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是 500 元．
16．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E为直线BC上一动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AB′E，当点B′恰好落在直线CD上时，BE的长为 或10 ．
17．（2分）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为
18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 11或12 秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形．
三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分，第23、24题每小题7分，第25、26题每小题7分，第27题12分，共76分）
19．（7分）计算：．
【解答】解：
＝﹣1+2﹣+4﹣3
＝2﹣．
20．（7分）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
【解答】解：，
由①得：x＜，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为x≤1．
在数轴上表示为：．
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cs30°﹣tan45°．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝2cs30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1时，原式＝＝＝．
22．（7分）小亮和小丽两位同学玩转转盘游戏，转盘上的数字如图所示，若转盘指针指向交界处则忽略不计，重新转动一次．
（1）小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率为 ；
（2）小亮转一次后，小丽再转一次，利用两人转出的数字之差的绝对值判断输赢，规定：若所得数值等于0，1，则小亮获胜，若所得数值等于2，3，4，则小丽获胜．请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平．
【解答】解：（1）小亮转一次转盘，转到数字是3的倍数的结果有1种，
∴小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中两人转出的数字之差的绝对值等于0，1的结果有13种，等于2，3，4的结果有12种，
∴小亮获胜的概率＝，小丽获胜的概率＝，
∵≠，
∴小亮获胜的概率≠小丽获胜的概率，
∴该游戏不公平．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若∠C＝60°，BC＝6，求矩形ABDF的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
∵E为线段AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠AEB＝∠DEF，
∴△AEB≌△DEF（AAS），
∴AB＝DF，
∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°，
∴平行四边形ABDF是矩形．
（2）解：∵∠BDF＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝BC＝×6＝3，
∴BD＝＝＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDF是矩形，
∴CD＝AB＝DF＝3，AF＝BD＝3，
∴矩形ABDF的周长＝2（AB+BD）＝6+6．
24．（8分）如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点B的坐标为（﹣2，3）与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集 x＜﹣2或0＜x＜3
（3）把线段CA绕着点C旋转90°得到线段CA'，请直接写出A'的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣2，3）代入代入一次函数y＝kx+1与反比例函数的解析式中，得到k＝﹣1，m＝﹣6，
∴一次函数与反比例函数的解析式为y＝﹣x+1，y＝﹣，
（2）由，解得或，
∴A（3，﹣2）．
观察图象可知不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜3．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜3．
（3）作AD⊥x轴于D，则OD＝3，AD＝2，
令y＝0，则y＝﹣x+1＝0，则x＝1，
∴C（1，0），
∴OC＝1，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴线段CA绕着点C旋转90°得到线段CA'，A'的坐标为（﹣1，﹣2）或（3，2）．
25．（10分）如图，圆外接于Rt△ABC，过点C作CD⊥AB于点D，延长CD交圆于点E，连结BE，过点B的切线交AC的延长线于点F．
（1）证明：∠CBF＝∠BEC；
（2）AC＝4，CF＝2，请求出BF的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，∠A+∠ABC＝90°，
∵BF是圆的切线，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠CBF＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠A＝∠BEC，
∴∠CBF＝∠BEC；
（2）解：∵∠ACB＝∠BCF＝90°，∠A＝∠CBF，
∴△ACB∽△BCF，
∴，
∴BC＝＝＝2，
∴BF＝＝＝2．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如图1，在△ABC中，作以下尺规作图：①以点A为圆心小于AC长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N，②分别以点M、N为圆心大于长为半径作弧，两条弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，③以点A为圆心AC长为半径画弧，交AB于点E，连结DE，易证AB＝AC+CD．请将下面证明补充完整．
证明：∵由①②可得AD是∠BAC的 角平分线
∴∠CAD＝ ∠BAD
又∵由③可得AC＝ AE
∴在△ACD与△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴∠C＝∠AED（ 全等三角形的对应角相等 ）
∵∠ACB＝2∠B（已知）
∴∠AED＝2∠B
又∵∠AED＝∠B+∠EDB（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ）
∴2∠B＝∠B+∠EDB
∴∠B＝∠EDB
∴ED＝BE（ 等角对等边 ）
又∵CD＝ED（全等三角形的对应边相等）
∴CD＝BE（等量代换）
∵AB＝AE+BE
∴AB＝AC+CD
（2）学以致用：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD为∠BAC的角平分线，AC＝2，则CD＝ 2﹣2 ；
（3）延伸：如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？猜想并证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：∵由①②可得AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
又∵由③可得AC＝AE，
∴在△ACD与△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C＝∠AED（全等三角形的对应角相等），
∵∠ACB＝2∠B（已知），
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴2∠B＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝BE（等角对等边），
又∵CD＝ED（全等三角形的对应边相等），
∴CD＝BE（等量代换），
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+CD；
故答案为：角平分线，∠BAD，AE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，等角对等边；
（2）∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，
由（1）可知：AB＝AC+CD，
∴CD＝2﹣2，
故答案为：2﹣2；
（3）AB+AC＝CD，理由如下：
如图3，在AF上截取AH＝AC，连接DH，
∵AD为△ABC的外角平分线，
∴∠DAH＝∠DAC，
又∵AC＝AH，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADH（SAS），
∴DH＝CD，∠ACD＝∠AHD，
∴∠ACB＝∠DHF，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠DHF＝2∠B，
∵∠DHF＝∠B+∠HDB，
∴∠B＝∠HDB，
∴HB＝DH，
∴CD＝HD+HB＝AB+AH＝AB+AC．
27．（12分）如图1，顶点为M（1，1）的抛物线与y轴交于点，与直线OM交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结AM、AB，求△ABM的面积；
（3）如图2将抛物线沿着OM的方向平移个单位，平移后抛物线的顶点为M与x轴的正半轴交于交点C，连结CM、CM′判断△CMM'的形状，并进行证明．
【解答】解：（1）由题意设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
把点代入得，＝a+1，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1；
（2）设直线OM为y＝kx，
把M（1，1）代入得k＝1，
∴y＝x，
由，解得或，
∴B（﹣2，﹣2），
∴△ABM的面积S＝S△AOB+S△AOM＝×（1+2）＝1；
（3）△CMM'是直角三角形，
证明：∵直线OM的解析式为y＝x，
∴将抛物线沿着OM的方向平移个单位就是抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位，
∴M′（3，3），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3，
令y＝﹣（x﹣3）2+3＝0，解得x＝0或x＝6，
∴C（6，0），
∴M′M2＝（3﹣1）2+（3﹣1）2＝8，M′C2＝（6﹣3）2+（0﹣3）2＝18，MC2＝（6﹣1）2+（0﹣1）2＝25，
∴M′M2+M′C2＝MC2，
∴△CMM'是直角三角形．成绩（分）
35
39
42
44
45
48
50
人数（人）
2
5
6
6
8
7
6
成绩（分）
35
39
42
44
45
48
50
人数（人）
2
5
6
6
8
7
6