2024年广西南宁市三美学校九年级下学期第三次模拟考试数学试卷

这是一份2024年广西南宁市三美学校九年级下学期第三次模拟考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，与﹣2024互为相反数的是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称．镧是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为0.00183%，其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等．数据0.00183用科学记数法可表示为（ ）
A．1.83×10﹣3B．0.183×10﹣2
C．1.83×10﹣4D．0.183×10﹣3
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行30次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.8，S乙2＝0.6，S丙2＝0.9，S丁2＝1.0，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．木工弹线B．泥工砌墙
C．弯路改直D．射击瞄准
6．（3分）下列调查方式适合用普查的是（ ）
A．检测一批LED灯的使用寿命
B．检测一批家用汽车的抗撞击能力
C．测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况
D．中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a+3a＝5aC．（3a）2＝6a2D．a3÷2a＝2a2
8．（3分）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点．若∠ABC＝52°，则∠ADB的度数是（ ）
A．26°B．28°C．38°D．52°
9．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x﹣1）2+2
10．（3分）如图是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径O1A＝10m，转弯角度∠AO1B＝90°，大型机动车实际转弯时，转弯半径O2C＝20m，转弯角度∠CO2D＝80°，则大型机动车转弯实际行驶路程（）比设计转弯行驶路程（）多（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（ ）
A．（60+x）（80+x）＝6300
B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300
C．（60+2x）（80+2x）＝6300
D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OA、OB交AC于点E，若AE＝CE，四边形BECD的面积为3，则k的值为（ ）
A．6B．9C．12D．15
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（2分）分解因式：y2﹣1＝ ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3）与原点O的连线OA与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为 ．
16．（2分）“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 ．（结果精确到0.01）
17．（2分）如图1是路灯维护工程车，图2是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，AB＝BC＝4米．当∠1＝75°，∠2＝45°时，则工作篮底部到支撑平台的距离是 米．
18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC＝5，，AC⊥BD，垂足为点E，则DE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
20．（6分）解方程：x2﹣6x+5＝0．
21．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
22．（10分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
23．（10分）实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购A，B两种树苗，已知B种树苗单价（每棵树苗的价格）比A种树苗多3元，用360元购买A种树苗和用540元购买B种树苗的棵数相同．
（1）求A，B两种树苗的单价分别是多少？
（2）红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买B种树苗多少棵？
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE与⊙O相切；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
25．（10分）美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：．
（1）自动喷水装置喷水口距离地面的高度OA＝ m；
（2）如图1，该自动喷水装置能旋转240°，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）；
（3）如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？
26．（10分）综合与实践
【问题情境】四边形ABCD是边长为5的菱形，AC与BD相交于点O．将△BCD绕点B按顺时针方向旋转得到△BEF，点C，D旋转后的对应点分别为E，F．旋转角为α（0°＜α＜360°）．
【观察思考】（1）如图1，当点F第一次落在对角线AC上时，求OB与BF的数量关系以及α的度数．
【探究证明】（2）如图2，当α＞180°，且EF∥BD时，EF与AD交于点G．试判断四边形BDGF的形状，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，连接CE，在旋转过程中，当EF与菱形ABCD的一边平行时，且，请直接写出线段CE的长．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）下列各数中，与﹣2024互为相反数的是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【解答】解：﹣2024的相反数为2024，A选项正确．
故选：A．
2．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
3．（3分）中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称．镧是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为0.00183%，其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等．数据0.00183用科学记数法可表示为（ ）
A．1.83×10﹣3B．0.183×10﹣2
C．1.83×10﹣4D．0.183×10﹣3
【解答】解：0.00183＝1.83×10﹣3．
故选：A．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行30次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.8，S乙2＝0.6，S丙2＝0.9，S丁2＝1.0，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：甲、乙、丙、丁四人各进行30次射击测试，他们的平均成绩相同，
∵0.6＜0.8＜0.9＜1.0，
∴射击成绩最稳定的是乙．
故选：B．
5．（3分）在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．木工弹线B．泥工砌墙
C．弯路改直D．射击瞄准
【解答】解：A、B、D用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C用到的是两点之间，线段最短，符合题意．
故选：C．
6．（3分）下列调查方式适合用普查的是（ ）
A．检测一批LED灯的使用寿命
B．检测一批家用汽车的抗撞击能力
C．测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况
D．中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率
【解答】解：A、检测一批LED灯的使用寿命，适合用抽样调查，不符合题意；
B、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适合用抽样调查，不符合题意；
C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，适合用普查，符合题意；
D、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，适合用抽样调查，不符合题意；
故选：C．
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a+3a＝5aC．（3a）2＝6a2D．a3÷2a＝2a2
【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；
2a+3a＝5a，故B正确，符合题意；
（3a）2＝9a2，故C错误，不符合题意；
a3÷2a＝a2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点．若∠ABC＝52°，则∠ADB的度数是（ ）
A．26°B．28°C．38°D．52°
【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝52°，
∴∠C＝90°﹣52°＝38°，
∴∠ADB＝∠C＝38°．
故选：C．
9．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x﹣1）2+2
【解答】解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．
故选：D．
10．（3分）如图是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径O1A＝10m，转弯角度∠AO1B＝90°，大型机动车实际转弯时，转弯半径O2C＝20m，转弯角度∠CO2D＝80°，则大型机动车转弯实际行驶路程（）比设计转弯行驶路程（）多（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵O1A＝10m，转弯角度∠AO1B＝90°，O2C＝20m，转弯角度∠CO2D＝80°，
∴的长＝＝5π（m），的长＝＝（m），
∴﹣5π＝（m），
∴大型机动车转弯实际行驶路程比设计转弯行驶路程多m，
故选：D．
11．（3分）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（ ）
A．（60+x）（80+x）＝6300
B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300
C．（60+2x）（80+2x）＝6300
D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300
【解答】解：当边框的宽度为x cm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm，
根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300．
故选：C．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OA、OB交AC于点E，若AE＝CE，四边形BECD的面积为3，则k的值为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【解答】解：∵点AB在反比例函数y＝图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝，
∴S△AOE＝S四边形BECD＝3，
∵AE＝CE，
∴S△AOC＝2S△AOE＝2×3＝6，
∴k＝2S△AOC＝2×6＝12，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【解答】解：∵x+1≠0，
∴x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
14．（2分）分解因式：y2﹣1＝ （y+1）（y﹣1） ．
【解答】解：原式＝（y+1）（y﹣1）．
故答案为：（y+1）（y﹣1）．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3）与原点O的连线OA与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为 ．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A的坐标为（4，3），
∴OM＝4，AM＝3．
在Rt△AOM中，
AO＝，
∴sinα＝．
故答案为：．
16．（2分）“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 0.96 ．（结果精确到0.01）
【解答】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥800时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为0.96．
故答案为：0.96．
17．（2分）如图1是路灯维护工程车，图2是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，AB＝BC＝4米．当∠1＝75°，∠2＝45°时，则工作篮底部到支撑平台的距离是 （2+） 米．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥CE于点E，交AM于点D，
∵∠2＝45°，
∴△BEC是等腰直角三角形，∠CBE＝45°，
∵BC＝4米，
∴sin45°＝，
∴，
∴BE＝米，
∵AM∥CE，BE⊥CE，
∴ED⊥AM，
∵∠1＝75°，∠CBE＝45°，
∴∠ABD＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴cs60°＝，
∴，
∴BD＝2米，
∴DE＝BD+BE＝2+（米），
即工作篮底部到支撑平台的距离是（2+）米，
故答案为：（2+）．
18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC＝5，，AC⊥BD，垂足为点E，则DE的长为 1.5 ．
【解答】解：如图，过A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC＝5，，
∴BF＝BC＝，
由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∵AC⊥BD，
∴S△ABC＝BC•AF＝AC•BE，
即×2×2＝×5×BE，
解得：BE＝4，
由勾股定理得：AE＝＝＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，
∵AD＝AD，
∴∠DCE＝∠ABE，
又∵∠DEC＝90°＝∠AEB，
∴△DCE∽△ABE，
∴＝，
即＝，
解得：DE＝1.5，
故答案为：1.5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣1
＝2．
20．（6分）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
21．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
【解答】解：（1）如图，DH为所作；
（2）∵DH垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠A＝∠DCA，
∴DC＝DA，
∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．
22．（10分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 85 ，b＝ 87 ；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 七 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，
八年级10名学生的成绩中8（7分）的最多有3人，所以众数b＝87，
A同学得了8（6分），大于8（5分），位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2）×200+×200＝220（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．
23．（10分）实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购A，B两种树苗，已知B种树苗单价（每棵树苗的价格）比A种树苗多3元，用360元购买A种树苗和用540元购买B种树苗的棵数相同．
（1）求A，B两种树苗的单价分别是多少？
（2）红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买B种树苗多少棵？
【解答】解：（1）设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是（x+3）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意，
∴x+3＝6+3＝9（元）．
答：A种树苗的单价是6元，B种树苗的单价是9元；
（2）设购买m棵B种树苗，则购买（1000﹣m）棵A种树苗，
根据题意得：6（1000﹣m）+9m≤7000，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为333．
答：至多可以购买B种树苗333棵．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．
（1）求证：直线BE与⊙O相切；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD//OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．
25．（10分）美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：．
（1）自动喷水装置喷水口距离地面的高度OA＝ m；
（2）如图1，该自动喷水装置能旋转240°，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）；
（3）如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣+＝，
故答案为：；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣1）2+＝0，
解得：x＝或x＝﹣（舍去），
∴＝π，
答：它能喷灌的草坪面积为 m2；
（3）连接BC，过O作ODBC于点D，
则BD＝CD，∠BOD＝∠COD＝60°，
在Rt△OBD中，cs∠BOD＝，
∴OD＝OBcs∠BOD＝×＝1.25＞1，
∴喷水装置安装位置不合理．
26．（10分）综合与实践
【问题情境】四边形ABCD是边长为5的菱形，AC与BD相交于点O．将△BCD绕点B按顺时针方向旋转得到△BEF，点C，D旋转后的对应点分别为E，F．旋转角为α（0°＜α＜360°）．
【观察思考】（1）如图1，当点F第一次落在对角线AC上时，求OB与BF的数量关系以及α的度数．
【探究证明】（2）如图2，当α＞180°，且EF∥BD时，EF与AD交于点G．试判断四边形BDGF的形状，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，连接CE，在旋转过程中，当EF与菱形ABCD的一边平行时，且，请直接写出线段CE的长．
【解答】（1）如图，设AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∴∠BOF＝90°，BD＝2OB，
由旋转的性质得BF＝BD，
∴BF＝BD＝2OB，
∴∠BFO＝30°，
∴∠OBF＝90°﹣∠BFO＝90°﹣30°＝60°，
∴α＝60°；
（2）四边形BDGF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠BDC，
由旋转的性质得BD＝BF，∠F＝∠BDC，
∴∠F＝∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠F+∠DBF＝180°，
∴∠ADB+∠DBF＝180°，
∴DG∥BF，
∵EF∥BD，
∴四边形BDGF是平行四边形，
又∵BD＝BF，
∴平行四边形BDGF为菱形；
（3）①如图，当EF∥BC时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
由旋转的性质得BE＝BC，EF＝CD，
∴BC＝BE＝EF，
∴四边形BCFE是菱形，
过点D作DH⊥AB于点H，
，
设DH＝3a，则AH＝4a，
由勾股定理得AD＝，
∵四边形ABCD是边长为5的菱形，
∴AD＝AB＝5，
∴a＝1，
∴DH＝3，AH＝4，
∴BH＝AB﹣AH＝5﹣4＝1，
由勾股定理得，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
∵EB＝EF＝BC＝5，
∴∠F＝∠EBF，
∴∠EBF＝∠FBC，
∴BG⊥CE，CE＝2EG，
∴，
∵，
∴，
∴＝，
∴；
②如图，当EF∥AB时，则∠E＝∠ABE，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠F，
∴∠F＝∠ABD，
∴∠ABD+∠ABE+∠EBF＝∠F+∠E+∠EBF＝180°，
∴∠DBC＝∠FBE，
∴∠FBE+∠ABE+∠ABD＝180°，
∴E、B、C三点共线，
∴CE＝BC+BE＝5+5＝10；
③如图，当EF∥BC，且EF在BC上方时，过点E作EG⊥BC于点G，
则∠EBG＝∠BEF，
∴tan∠EBG＝tan∠BEF＝tan∠DAB＝，
∵BE＝5，
∴BG＝4，EG＝3，
∴CG＝1，
∴；
综上所述，CE的长为或10或．抽查的头盔数n（个）
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m（个）
95
194
289
479
769
959
2880
合格头盔的频率
0.950
0.970
0.963
0.958
0.961
0.959
0.960
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
36.6
抽查的头盔数n（个）
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m（个）
95
194
289
479
769
959
2880
合格头盔的频率
0.950
0.970
0.963
0.958
0.961
0.959
0.960
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
36.6