2023-2024学年江苏省连云港市灌云一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市灌云一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.MP+PQ−MN=( )
A. QNB. NQC. PMD. MP
2.掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，则下列结论正确是( )
A. A与B为互斥事件B. A与B为对立事件C. A与C为对立事件D. A与C为互斥事件
3.已知复数z满足z(3+i)=3+i2024，其中i为虚数单位，则z的共轭复数z−的虚部为( )
A. −25iB. −25C. 2i5D. 25
4.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为( )
A. 110B. 1300C. 12500D. 13000
5.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为10π的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 100πB. 120πC. 150πD. 300π
6.在正四面体ABCD中，点E为棱BC的中点，F，G分别为棱CD，AC靠近C点的三等分点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为( )
A. − 33
B. 33
C. − 63
D. 63
7.已知sin(α−π3)+ 3csα=13，则sin(2α+π6)的值为( )
A. 13B. −13C. 79D. −79
8.已知△ABC的外接圆的圆心为O，且A=π3，BC=2 3，则OB⋅AC的最大值为( )
A. 32B. 3C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的标准差为32
10.设a，b为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，b⊂α，则a⊥αB. 若a⊥α，a//b，则b⊥α
C. 若a//α，b⊂α，则a//bD. 若a//α，b⊥α，则a⊥b
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ//平面MBN
C. 三棱锥P−MBN的体积为23
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.给定数6，4，3，8，6，3，8，3，1，8，则这组数据的中位数是______．
13.已知直三棱柱的侧棱长为3，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB(如图)，斜边长OB=1，则该直三棱柱的侧面积为______．
14.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.6，P(AB)=0.42，则P(A+B)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,4)，b=(x,1)．
(1)若向量a，b的夹角为锐角，求x的取值范围；；
(2)若(2a−b)⊥a，求|a+b|．
16.(本小题15分)
为打造精品赛事，某市举办“南粵古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展．本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
(1)求a，b的值；
(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01)；
(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+sinC=a−csinB+csinA+sinC．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2bcsB，a=3，求BC边上中线的长．
18.(本小题17分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.AB=CB=2，A1C= 6．
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求三棱柱ABC−A1B1C1的体积；
(3)求二面角C−AA1−B的平面角余弦值大小．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2 3sin2(x+π4)+2sin2x− 3−1．
(1)当x∈[π12,5π12]，且g(x)=2mf(x)+sin(4x+π6)的最大值为32，求m的值；
(2)方程f(x)=32在[0,π2]上的两解分别为x1，x2，求cs(x1−x2)的值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.A
6.B
7.D
8.C
9.AC
10.BD
11.ABD
12.5
13.3(1+ 2+ 3)

15.解：(1)∵向量a，b的夹角为锐角，
∴a⋅b>0且a与b不共线，
则2x+4>02−4x≠0，解得x>−2且x≠12，
故x的取值范围是{x|x>−2且x≠12}；
(2)由a=(2,4)，b=(x,1)，
得2a−b=2(2,4)−(x,1)=(4−x,7)，
若(2a−b)⊥a，则(2a−b)⋅a=0，
即2(4−x)+4×7=0，解得x=18，
a+b=(2,4)+(18,1)=(20,5)，
∴|a+b|= 202+52= 425=5 17．
16.解：(1)由频率分布直方图得：
0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=1，
解得a=0.2．
少年组人数为300人，频率P1=0.1+0.15=0.25，
总人数n=3000.25=1200人，
∴b=1200−300−600=300，
∴a=0.2，b=300．
(2)平均速度为：
v−=6.5×0.1+7.5×0.15+8.5×0.2+9.5×0.3+10.5×0.15+11.5×0.1=9.05．
∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时．
(3)成年组和专业组的参赛人数分别为600人，300人，
设在成年组和专业组抽取的人数分别为x，y，
则6600+300=x600=y300，
解得x=4，y=2，
∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人，
设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示，专业组中的2人分别用a，b表示，
从中抽取2人均来自成年组的所有结果为：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，DB，ab，共15种，
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，
∴接受采访的2人都来自成年组的概率为P=615=25．
17.解：(1)因为bsinA+sinC=a−csinB+csinA+sinC，
由正弦定理可得：ba+c=a−cb+ca+c，化简可得：b2+c2−a2=bc，
由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
因为A是三角形ABC内角，则A=π3；
(2)由a=2bcsB，则sinA=2sinBcsB=sin2B，
则A=2B或A+2B=π，所以B=π6或π3，
当B=π3时，三角形ABC为等边三角形，则AD= 32a=3 32；
当B=π6时，C=π−A−B=π2，则三角形ABC为直角三角形，如图所示：
因为a=3，B=π6时，所以AC= 3，又CD=32，
所以AD= 3+94= 212，
综上，AD=3 32或 212．
18.解：(1)证明：取AB中点O，连结OC，A1B，A1O，
∵AB=AA1，∠BAA1=60°，
∴△BAA1是正三角形，
∴A1O⊥AB，
∵CA=CB，
∴CO⊥AB，
又CO∩A1O=O，CO⊂平面COA1，A1O⊂平面COA1，
∴AB⊥平面COA1，
又∵A1C⊂平面COA1，
∴AB⊥A1C；
(2)由题设知△ABC与△AAB都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA1= 3，
又A1C= 6，A1C2=OC2+OA12，
故OA1⊥OC，
因为OC∩AB=O，OC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以OA1⊥平面ABC，
即OA1为三棱柱ABC−A1B1C1的高，
又△ABC的面积S= 3，
故三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=S×OA1= 3× 3=3；
(3)过O作OH⊥AA1于H点，连结CH，
因为OA1⊥OC，AB⊥OC，OA1∩AB=O，
所以OC⊥平面OAA1，
又AA1⊂平面OAA1，
所以OC⊥AA1，
又OH⊥AA1，OH∩OC=O，OH⊂平面OCH，OC⊂平面OCH，
所以AA1⊥平面OCH，
则AA1⊥CH，AA1⊥OH，
则∠CHO即为二面角C−AA1−B的平面角，
在△COH中：OC=OA1= 3,OH= 32OA= 32，
所以CH= 152，
则cs∠CHO=OHCH= 55．
19.解：(1)f(x)=2 3×12[1−cs(2x+π2)]+1−cs2x− 3−1= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
当x∈[π12,5π12]时，令s=2x−π6∈[0,2π3]，则2x=s+π6,sins∈[0,1]，
∴g(x)=4msinx+sin(2s+π2)=cs2s+4msins=−2sin2s+4msins+1，
令t=sins∈[0,1]，y=−2t2+4mt+1，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线t=m，
①当m≤0时，二次函数y=−2t2+4mt+1在[0,1]上单调递减，
则ymax=1≠32，不合题意；
②当0则ymax=−2m2+4m2+1=32，解得m=12(负值舍去)；
③当m≥1时，二次函数y=−2t2+4mt+1在[0,1]上单调递增，
则ymax=4m−1=32，解得m=58(舍去)；
综上，实数m=12；
(2)设x1∵x∈[0,π2]，
∴2x−π6∈[−π6,5π6]，
由于正弦函数y=sinx在[−π6,π2]单调递增，在[π2,5π6]单调递减，
由f(x)=2sin(2x−π6)=32，得sin(2x−π6)=34，
∵方程f(x)=32在[0,π2]上的两解分别为x1，x2，
∴sin(2x1−π6)=sin(2x2−π6)=34，则必有0<2x1−π6<π2<2x2−π6<5π6，
∴cs(2x1−π6)= 1−sin2(2x1−π6)= 74，同理cs(2x2−π6)=− 74，
∴cs(2x1−2x2)=cs[(2x1−π6)−(2x2−π6)]=cs(2x1−π6)cs(2x2−π6)+sin(2x1−π6)sin(2x2−π6)= 74×(− 74)+(34)2=18，
由于0≤x1≤π2,0≤x2≤π2,x1又cs(2x1−2x2)=2cs2(x1−x2)−1，故cs(x1−x2)= 1+cs(2x1−2x2)2=34．
组数
速度(千米/小时)
参赛人数(单位：人)
少年组
[6,8)
300
成年组
[8,10)
600
专业组
[10,12]
b