2022-2023学年西藏拉萨市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年西藏拉萨市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年西藏拉萨市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={1,2,3}，B={x|x>2}，则A∩B=(    )
A. ⌀ B. {3} C. {2,3} D. (2,3)
2. 复数z=i(−1+2i)的虚部是(    )
A. −1 B. 1 C. −2 D. 2
3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(    )


A. r2 C. r4 4. 若z(1+i)=2i，则z=(    )
A. −1−i B. −1+i C. 1−i D. 1+i
5. 执行如图所示的程序框图，输出的x值为(    )


A. 85 B. 2912 C. 53 D. 138
6. 若z=4−3i，则z⋅z−|z|=(    )
A. 45+35i B. 45−35i C. 5 D. 25
7. 若复数z=a+i1−i是纯虚数，则实数a的值是(    )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
8. 2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏.核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为2×2列联表．

高度辐射
轻微辐射
合计
身体健康
30
A
50
身体不健康
B
10
60
合计
C
D
E
则A，B，C，D的值依次为(    )
A. 20，80，30，50 B. 20，50，80，30
C. 20，50，80，110 D. 20，80，110，50
9. 观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间没有关系的是(    )
A. B.
C. D.
10. 为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，(x5,y5)，由最小二乘法求得回归直线方程为y=0.67x+54.9.若已知x1+x2+x3+x4+x5=150，则y1+y2+y3+y4+y5=(    )
A. 75 B. 155.4 C. 375 D. 466.2
11. 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是(    )


A. ρ=6+5cosθ B. ρ=6+5sinθ C. ρ=6−5cosθ D. ρ=6−5sinθ
12. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为(    )
题号学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
×
√
×
√
×
×
√
×
30
乙
×
×
√
√
√
×
×
√
25
丙
√
×
×
×
√
√
√
×
25
丁
×
√
×
√
√
×
√
√
m

A. 35 B. 30 C. 25 D. 20

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计算发现χ2=6.109，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是______ %.
附：常用小概率值和临界值表：
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

14. 1+i+i2+i3+…+i2024= ______ ．
15. 在极坐标系中，点A(4,π6)，B(2,π2)，则线段AB的长为______ ．
16. 已知复数z=1+2i，若in⋅z(n∈N*)在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的n= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知复数z=3−i2+i(i是虚数单位)．
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若z2+az+b=z−(a,b∈R)，求a，b的值．
18. (本小题12.0分)
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图的频率分布直方图．
(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数．

19. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosϕy=2+2sinϕ(其中φ为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2ρcos(θ−π4)=4．
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长度．
20. (本小题12.0分)
垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某省为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,20)，其中xi和yi分别表示第i个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得：i=120xi=80，i=120yi=4000，i=120(xi−x−)2=80，i=120(yi−y−)2=8000，i=120(xi−x−)(yi−y−)=700．
(1)求这20个县年垃圾产生总量的平均值；
(2)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合.(当0.75<|r|≤1时，y与x的相关关系较强，否则相关关系较弱.)
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2．
21. (本小题12.0分)
随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多.为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动.该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查.下面是问卷调查得分的频率分布表：
成绩(分)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频率
0.075
0.2
0.3
0.25
0.15
0.025
将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．
(1)根据已知条件完成下面2×2列联表；

男
女
合计
了解



不了解



合计



(2)判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879

22. (本小题12.0分)
如图所示形如花瓣的曲线G称为四叶玫瑰线，在极坐标系中，其极坐标方程为ρ=2sin2θ．
(1)若射线l：θ=π6与G相交于异于极点O的点P，求|OP|；
(2)若A，B为G上的两点，且∠AOB=π4，求△AOB面积的最大值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】

根据集合的交集运算，可直接求得答案．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：由于集合A={1,2,3}，B={x|x>2}，
故A∩B={3}，
故选：B．
  
2.【答案】A 
【解析】解：因为z=i(−1+2i)=−i+2i2=−2−i，
所以复数z的虚部为−1．
故选：A．
根据复数代数形式的乘法运算化简复数z，再根据复数的概念判断即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查两个变量的线性相关，考查相关系数，属于基础题．
根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
【解答】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于−1，
由此可得r2 故选：A．
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查复数代数形式的乘法和除法法则，属于基础题．
利用复数的运算法则求解即可．
【解答】
解：由z(1+i)=2i，得
z=2i1+i=2i(1−i)2
=1+i．
故选D．
  
5.【答案】A 
【解析】解：由程序框图知：程序第一次运行i=0+1=1，x=1+11=2；
第二次运行i=1+1=2，x=1+12=32；
第三次运行i=2+1=3，x=1+23=53；
第四次运行i=3+1=4，x=1+35=85．
满足条件i≥4，输出x=85．
故选：A．
根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i≥4，计算输出x的值．
本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．

6.【答案】C 
【解析】解：z=4−3i，
所以z−=4+3i，|z|= 42+(−3)2=5，
所以z⋅z−=(4−3i)(4+3i)=42−(3i)2=25，
所以z⋅z−|z|=255=5．
故选：C．
根据复数代数形式的乘法运算及模的计算公式计算可得．
本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：∵a+i1−i=(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=(a−1)+(a+1)i2是纯虚数，
∴a−1=0a+1≠0，解得：a=1．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

8.【答案】B 
【解析】解：30+A=50，
∴A=20，
B+10=60，
∴B=50，
∴C=30+B=30+50=80，D=A+10=20+10=30．
故选：B．
根据2×2 列联表分别计算A，B，C，D即可．
本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题．

9.【答案】A 
【解析】解：根据题意，在等高的条形图中，当x1，x2所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量x，y之间有关系，
分析选项可得：A选项中，x1，x2所占比例最接近，
所以A选项最有把握认为两个分类变量x，y之间没有关系．
故选：A．
根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案．
本题考查等高条形图的应用，涉及分类变量关系强弱的判断，属于基础题．

10.【答案】C 
【解析】解：(1)x−=1505=30，回归直线方程为y=0.67x+54.9．
可得：y=0.67×30+54.8≈75．
则y1+y2+y3+y4+y5=y⋅n=75×5=375．
故选：C．
由题意求出x−代入公式求值，从而得到y−，即可求y1+y2+y3+y4+y5的值．
本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．

11.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由图形可知：θ=−π2时，ρ取得最大值，即可判断出结论．
【解答】
解：由图形可知：θ=−π2时，ρ取得最大值，
只有D满足上述条件．
故选D．  
12.【答案】B 
【解析】解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是25分，所以第2，5两题答案正确；
又因为甲得分30分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是×××√√×√×；
对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分m=6×5=30，
故选：B．
由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确；由正确答案求出丁的得分，可得m值．
本题考查合情推理，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，属于基础题．

13.【答案】97.5 
【解析】解：由已知可得χ2=6.109>5.024，
所以市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是97.5%．
故答案为：97.5．
由χ2的观测值结合临界值表得出结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．

14.【答案】1 
【解析】解：∵i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，
∴1+i+i2+i3+…+i2024=1+i+i2+i3+i4=1．
故答案为：1．
根据复数的运算性质即可得到结论．
本题主要考查复数的基本运算，利用i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0是解决本题的关键，比较基础．

15.【答案】2 3 
【解析】解：由已知A(4,π6)，B(2,π2)，
∴线段AB的长为|AB|= 42+22−2×4×2×cos(π2−π6)=2 3．
故答案为：2 3．
根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可．
本题主要考查极坐标刻画点的位置，属于基础题．

16.【答案】3(答案不唯一) 
【解析】解：当n=3时，
i3⋅z=(−i)⋅(1+2i)=2−i，其在复平面内对应的点(2,−1)位于第四象限．
故答案为：3(答案不唯一)．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．

17.【答案】解：(1)z=3−i2+i=(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=5−5i5=1−i，
则z−=1+i．
(2)因为z2+az+b=1+i(a,b∈R)，
将z=1−i代入上式，即(1−i)2+a(1−i)+b=1+i，化简整理可得，a+b+(−2−a)i=1+i，
所以a+b=1−2−a=1，解得a=−3b=4． 
【解析】(1)根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数的定义，即可求解．
(2)根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．

18.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于60的频率为(0.02+0.04+0.02)×10=0.8，
所以样本中分数小于60的频率为1−0.8=0.2，
所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为400×0.2=80；
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，
样本中分数在区间[40,50)内的人数为100−100×0.9−5=5，
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100=20． 
【解析】(1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于60的频率，进而求出总体400名学生中分数小于60的人数；
(2)先求出样本中分数在区间[40,50)内的人数，用样本估计总体，进而求出总体中分数在区间[40,50)内的人数．
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．

19.【答案】解：(1)由题意：x2+(y−2)2=4，所以曲线C是圆心为C(0,2)，半径r=2的圆；
直线l： 2ρcos(θ−π4)= 2ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)=ρcosθ+ρsinθ=1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直线l的直角坐标方程为：x+y−4=0；
(2)由(1)的结论作下图：

C到直线l的距离d=|2−4| 2= 2，|AB|=2 22− 22=2 2；
综上，曲线C的普通方程为：x2+(y−2)2=4，直线l的直角坐标方程为：x+y−4=0，|AB|=2 2． 
【解析】(1)消参，将参数方程C转化为普通方程，根据直角坐标与极坐标的关系将直线l转化为直角坐标方程；
(2)作图，根据几何关系求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)依题意这20个县年垃圾产生总量的平均值为120i=120yi=120×4000=200(吨)．
(2)依题意r=i=120(xi−x−)(yi−y−) i=120(xi−x−)2i=120(yi−y−)2=700 80×8000=78=0.875>0.75，
因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合． 
【解析】(1)根据i=120yi直接计算可得；
(2)根据所给数据计算出相关系数r，即可说明．
本题主要考查相关系数的公式，属于基础题．

21.【答案】解：(1)问卷调查结果为“了解”的学生人数为(0.25+0.15+0.025)×200=85，
又因为其中男生有50人，所以其中女生有85−50=35人，
所以2×2列联表如下：

男
女
合计
了解
50
35
85
不了解
50
65
115
合计
100
100
200
(2)零假设H0：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，
由(1)可得K2=200×(50×65−35×50)2100×100×115×85≈4.604>3.841=x0.05，
根据小概率α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05，
即有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关． 
【解析】(1)根据频率分布表求出问卷调查结果为“了解”的学生人数，从而求出其中女生的人数，即可得到列联表；
(2)计算出卡方，即可判断．
本题主要考查独立性检验公式，属于基础题．

22.【答案】解：(1)在极坐标系中，曲线G的极坐标方程为ρ=2sin2θ，
若射线l：θ=π6与极坐标方程相交于点P，
所以|OP|=ρP=2sinπ3= 3，
故|OP|= 3．
(2)设A(ρ1,θ1)，B(ρ2,θ2)，且θ2=θ1+π4，
故S△AOB=12|ρ1||ρ2|sinπ4=12×2×|sin(2θ1)|×2×|sin(2θ1+π2)|× 22=2× 22×|sin2θ1|⋅|cos2θ1|= 22|sin4θ1|，
当4θ1=2kπ±π2，(k∈Z)，整理得θ1=12kπ±π8，(k∈Z)，
故△AOB面积的最大值为 22． 
【解析】(1)直接利用曲线与直线的位置关系求出极径的长；
(2)利用三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换及正弦型函数的性质求出三角形面积的最大值．
本题考查的知识要点：极坐标方程的应用，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．