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2025年高考数学一轮复习-函数与导数【课件】
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这是一份2025年高考数学一轮复习-函数与导数【课件】，共52页。PPT课件主要包含了PARTONE，必考知识，fx＝0，fafb0，fc＝0，最小正数，0＋∞，瞬时变化率，f′x0，y－fx0＝等内容，欢迎下载使用。
1.函数的单调性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.(2)单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数零点(1)函数零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点.(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
3.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数).
(2)①周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
4.指数函数与对数函数的基本性质(1)过定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过点 ，y＝lgax(a>0，且a≠1)恒过点 .(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调 ；y＝lgax在 上单调递增；当0
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝ .(3)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为_________________________.
f′(x0)(x－x0)
6.导数的单调性、极值及最值(1)函数的单调性与导数的关系：函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，f′(x)>0，f(x)在(a，b)上 ；f′(x)<0，f(x)在(a，b)上 ；f′(x)＝0，f(x)在(a，b)上是 .
(2)函数的极值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(3)函数的最大(小)值①函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.②求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 ；将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
端点处的函数值f(a)，f(b)
1.函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数.
2.函数的周期性的重要结论周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|.
3.函数的对称性的重要结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
4.函数图象平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数).(2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数).
5.函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00)的图象.(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的 ，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b>0)的图象.
6.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)
∴1
f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.
3.(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝x2－xf′(1)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为A.3x－y－4＝0 B.3x－y＋4＝0C.3x＋y＋4＝0 D.3x＋y－4＝0
由f(x)＝x2－xf′(1)，得f′(x)＝2x－f′(1)，所以f′(1)＝2－f′(1)，得f′(1)＝1，所以f(x)＝x2－x，f′(x)＝2x－1，所以f(2)＝22－2＝2，f′(2)＝2×2－1＝3，所以所求切线方程为y－2＝3(x－2)，即 3x－y－4＝0.
A.a
6.(2024·烟台模拟)已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1
所以f(2＋lg25)＝ .
7.(2024·杭州模拟)我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子·本经训》和《山海经·海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3 500光年，如果将“3 500光年”的单位“光年”换算成以“米”为单位，所得结果的数量级是_____(光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速v＝3×105 km/s；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字2.6×103的数量级是3).
根据题意得，太阳距离地球约3 500光年，一年有365×24×3 600 s，光速v＝3×105 km/s，光一年走过的路程为365×24×3 600×3×105 km，3 500光年走过的路程为3 500×365×24×3 600×3×105×1 000＝3.311 28×1019(m)，所以数量级为19.
8.已知直线y＝mx与函数f(x)＝ 的图象恰有3个公共点，则实数m的取值范围是_____________.
作出f(x)的图象，如图，当m≤0时，直线y＝mx和函数f(x)的图象只有1个交点；
(1)讨论函数f(x)的单调性；
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
综上，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
(2)若不等式f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围.
由f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，
因为g(1)＝0，所以要使g(x)在x∈(0,1]内恒大于等于零，
则g(x)在x∈(0,1]上单调递减，所以g′(x)≤0，所以ax－1－x2≤0，
所以a≤2且a≠0，所以实数a的取值范围(－∞，0)∪(0,2].
10.已知函数f(x)＝ex＋sin x－cs x－ax.(1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
由题意知，f′(x)＝ex＋cs x＋sin x－a，因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝ex＋cs x＋sin x－a≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，即a≤ex＋cs x＋sin x对x∈[0，＋∞)恒成立，设h(x)＝ex＋cs x＋sin x，则h′(x)＝ex－sin x＋cs x
所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以a≤h(x)min＝h(0)＝2.所以a的取值范围为(－∞，2].
(2)设函数g(x)＝f(x)－ln(1－x)，若g(x)≥0，求a的值.
由题意知g(x)＝f(x)－ln(1－x)＝ex＋sin x－cs x－ax－ln(1－x)(x<1)，
g(0)＝0，因为g(x)≥0，所以∀x∈(－∞，1)，g(x)≥g(0)，即g(0)为g(x)的最小值，且x＝0为g(x)的一个极小值点，
解得a＝3，当a＝3时，g(x)＝ex＋sin x－cs x－3x－ln(1－x)(x<1)，
①当0≤x<1时，g′(x)≥1＋1－3＋1＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，所以g(x)在[0,1)上单调递增；
g′(x)<1＋1－3＋1＝0；
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减.综上，g(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0,1)上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，所以a＝3.
1.函数的单调性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1
2.函数零点(1)函数零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点.(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
3.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数).
(2)①周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
4.指数函数与对数函数的基本性质(1)过定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过点 ，y＝lgax(a>0，且a≠1)恒过点 .(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调 ；y＝lgax在 上单调递增；当0
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝ .(3)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，相应的切线方程为_________________________.
f′(x0)(x－x0)
6.导数的单调性、极值及最值(1)函数的单调性与导数的关系：函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，f′(x)>0，f(x)在(a，b)上 ；f′(x)<0，f(x)在(a，b)上 ；f′(x)＝0，f(x)在(a，b)上是 .
(2)函数的极值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(3)函数的最大(小)值①函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.②求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 ；将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
端点处的函数值f(a)，f(b)
1.函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数.
2.函数的周期性的重要结论周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|.
3.函数的对称性的重要结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
4.函数图象平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数).(2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数).
5.函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0
6.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)
∴1
f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.
3.(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝x2－xf′(1)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为A.3x－y－4＝0 B.3x－y＋4＝0C.3x＋y＋4＝0 D.3x＋y－4＝0
由f(x)＝x2－xf′(1)，得f′(x)＝2x－f′(1)，所以f′(1)＝2－f′(1)，得f′(1)＝1，所以f(x)＝x2－x，f′(x)＝2x－1，所以f(2)＝22－2＝2，f′(2)＝2×2－1＝3，所以所求切线方程为y－2＝3(x－2)，即 3x－y－4＝0.
A.a
6.(2024·烟台模拟)已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1
所以f(2＋lg25)＝ .
7.(2024·杭州模拟)我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子·本经训》和《山海经·海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3 500光年，如果将“3 500光年”的单位“光年”换算成以“米”为单位，所得结果的数量级是_____(光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速v＝3×105 km/s；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字2.6×103的数量级是3).
根据题意得，太阳距离地球约3 500光年，一年有365×24×3 600 s，光速v＝3×105 km/s，光一年走过的路程为365×24×3 600×3×105 km，3 500光年走过的路程为3 500×365×24×3 600×3×105×1 000＝3.311 28×1019(m)，所以数量级为19.
8.已知直线y＝mx与函数f(x)＝ 的图象恰有3个公共点，则实数m的取值范围是_____________.
作出f(x)的图象，如图，当m≤0时，直线y＝mx和函数f(x)的图象只有1个交点；
(1)讨论函数f(x)的单调性；
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
综上，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
(2)若不等式f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围.
由f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，
因为g(1)＝0，所以要使g(x)在x∈(0,1]内恒大于等于零，
则g(x)在x∈(0,1]上单调递减，所以g′(x)≤0，所以ax－1－x2≤0，
所以a≤2且a≠0，所以实数a的取值范围(－∞，0)∪(0,2].
10.已知函数f(x)＝ex＋sin x－cs x－ax.(1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
由题意知，f′(x)＝ex＋cs x＋sin x－a，因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝ex＋cs x＋sin x－a≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，即a≤ex＋cs x＋sin x对x∈[0，＋∞)恒成立，设h(x)＝ex＋cs x＋sin x，则h′(x)＝ex－sin x＋cs x
所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以a≤h(x)min＝h(0)＝2.所以a的取值范围为(－∞，2].
(2)设函数g(x)＝f(x)－ln(1－x)，若g(x)≥0，求a的值.
由题意知g(x)＝f(x)－ln(1－x)＝ex＋sin x－cs x－ax－ln(1－x)(x<1)，
g(0)＝0，因为g(x)≥0，所以∀x∈(－∞，1)，g(x)≥g(0)，即g(0)为g(x)的最小值，且x＝0为g(x)的一个极小值点，
解得a＝3，当a＝3时，g(x)＝ex＋sin x－cs x－3x－ln(1－x)(x<1)，
①当0≤x<1时，g′(x)≥1＋1－3＋1＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，所以g(x)在[0,1)上单调递增；
g′(x)<1＋1－3＋1＝0；
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减.综上，g(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0,1)上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，所以a＝3.
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