2022-2023学年山东省临沂市河东区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省临沂市河东区八年级下学期期中数学试题及答案，共64页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共22小题，共78.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列数中，绝对值等于的数是( )
A. B. C. D.
2. 青岛市为积极保障人民的健康财产，出台“食安青岛”八条措施下列食品标识中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
3. 微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级微米相当于米的一百万分之一紫外线是一种在电磁波谱中波长从微米微米辐射的总称，把微米用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最多、最少需要的小立方块的个数分别为( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
6. 如图，是的直径，，垂足为，直线与相切于点，交于点，直线交的延长线于点，连接，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
7. 如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，若，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形中，，，垂足为，，点、分别在，上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，的平分线交边，的中垂线与的延长线交于，与、、分别交于点，，，若，则下列选项错误的是( )
A. B.
C. 四边形是菱形D.
10. 如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且直线与轴交于点点在点的右侧，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
11. 下列根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
12. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
13. 若一个三角形的三边长为、、，则使此三角形是直角三角形的的值是( )
A. B. C. D. 或
14. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. 且B. C. 且D.
15. 实数介于和之间为整数，则的值为( )
A. B. C. D.
16. 如图，正方形是由个边长为的小正方形组成的，点，均在格点每个小正方形的顶点都是格点上，连接，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
17. 如图，已知网格中每个小正方形的边长均为，以点为圆心，为半径画弧交网格线于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
18. 如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在为中点所在的直线上，得到经过点的折痕则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
19. 把根号外的因数移到根号内，结果是( )
A. B. C. D.
20. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
21. 如图，是面积为的▱内任意一点，的面积为，的面积为，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的大小随着点位置的变化而变化
22. 如图，在平行四边形中，，于，于，，相交于，与的延长线相交于点，下面给出四个结论：；；；≌，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共34.0分）
23. 因式分解：______．
24. 小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线的全程是千米，但交通比较拥堵，路线的全程比路线的全程多千米，但平均车速比走路线时能提高，若走路线的全程能比走路线少用分钟，若设走路线时的平均速度为千米小时，根据题意，可列分式方程______．
25. 已知，，分别是的边长，则关于的一元二次方程与轴的交点有______ 个
26. 为了了解某校初三年级学生的物理成绩情况，分别对该年级的甲、乙、丙三个班成绩进行了调查，他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图如图所示，记甲、乙、丙三个班所调查的数据的方差分别为，，，则它们的大小关系为______ 用“”表示
27. 如图，等边三角形的边长为，以为圆心，为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，．
的长为______ ．
图中阴影部分的面积为______ ．
28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，都是菱形，点，，，，都在轴上，点，，，都在直线上，且，，则点的坐标是______ ．
29. 已知已知，则______ ．
30. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，，，则的长为______ ．
31. 如图，设四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方再以对角线为边作第三个正方形，如此下去，则第个正方形的边长为______．
32. 如图，透明圆柱的底面半径为厘米，高为厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是______ 厘米
三、解答题（本大题共16小题，共128.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
33. 本小题分
已知：如图，在中，求作：，使圆心在斜边上，经过点且与边相切于点．
34. 本小题分
计算：；
解不等式组，并写出它的正整数解；
35. 本小题分
小明和小刚一起做游戏，规则如下：甲、乙两个除数字外都相同的转盘如图所示转动甲、乙转盘并各自记录所得数字，若两个数字差的绝对值大于，则小明获胜；若两个数字差的绝对值大于，否则小刚获胜这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
36. 本小题分
体育中考将至，某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况，随机调查了名九年级女生一分钟仰卧起坐的个数，将她们的成绩分为四组进行统计，绘制成如下不完整的统计表请根据统计表中的信息，解答下列问题：
若要将统计表中的信息绘制为扇形统计图，则组对应圆心角度数为______
本次所抽取的名女生一分钟仰卧起坐成绩的中位数落在______ 组；
求本次所抽取的名女生一分钟仰卧起坐的平均个数；
若在该校体育考试中，一分钟仰卧起坐个数超过个含个才算通过考试，请你估计该校九年级名女生中，能通过体育考试的女生人数．
37. 本小题分
如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度：的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米即米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为，求楼的高度．
参考数据：，，
38. 本小题分
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，点为轴正半轴上一点，直线与轴交于点，连接；
求反比例函数的表达式；
若的面积为，求的面积．
39. 本小题分
如图，将矩形沿对角线翻折，点的对应点，连接，交于点，过点作，交于点．
求证：≌；
已知______ 从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号
请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件：，条件：是等边三角形．
注：如果选择条件、条件分别进行解答，按第一个解答计分
40. 本小题分
【操作与探究】
已知矩形，给出如下操作过程：
如图所示将四边形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为，将沿过点的直线折叠，使点，点分别落在边，上，折痕为，得到一个新的矩形．
【问题探究】
若图中的四边形是正方形，则矩形的长宽比为______ ，______ ．
如图，将中的矩形按照“操作与探究”中的方法再次操作，得到的新矩形，则矩形的长宽比为______ ，______ ．
【问题解决】
若将长宽比：为正整数矩形沿用上述方式操作次后，得到一个矩形，则______ ，______ ．
41. 本小题分
某商家计划在某短视频直播平台上直播销售当地特产，将其中一种特产在网上进行试销售该商家在试销售期间调查发现，每天销售量万件与销售单价元件的数据如表：
根据所给数据判断函数类型，并求关于的函数表达式；
总成本万元与销售量万件之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线．
销售量不超过万件时，利润为万元，求此时的售价为多少元件？
当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？利润销售总额总成本
42. 本小题分
如图，在矩形中，，，对角线，交于点动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，交于点，交于点，点，分别是，与的交点点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设动点的运动时间为，解答下列问题：
当时，求的值；
设的面积为，求与的关系式；
是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
43. 本小题分
计算：
；
若，求代数式的值．
44. 本小题分
如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于，两点求的长．
45. 本小题分
如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点求证：．
46. 本小题分
如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知米，米；现有一辆卡车装满家具后，高米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
47. 本小题分
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______ ，______ ；
化简下列格式：
；
；
．
48. 本小题分
如图：四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．
连接，判断的形状，并证明；
若，求的面积；
连接，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，不合题意；
B、，不合题意；
C、，符合题意；
D、，不合题意；
故选：．
分别利用负整数指数幂与绝对值的性质解答判断即可．
此题考查的是负整数指数幂、绝对值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：左起第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
第四个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
所以是轴对称图形但不是中心对称图形的有个．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：微米米．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、同底数幂的除法法则，负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，判断即可．
本题考查的是合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂的除法，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在俯视图的对应位置上标注，需要几何体最少和最多时该位置所摆放的正方体的个数，如图所示：
因此最多需要：个，最少需要：个，
故选：．
在俯视图的对应位置标注，需要几何体最少和最多时该位置所摆放的正方体的个数即可．
本题考查由三视图判断几何体，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确解答的前提．
6.【答案】
【解析】解：连接，
与相切于，
半径，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由切线的性质，可以证明，由平行线的性质，等腰三角形的性质，得到，由，求出的度数，即可得到答案．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由条件证明．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．首先根据菱形的性质，即可求得的度数，又由将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，可求得的度数，然后在中，利用勾股定理即可求得与的长，则可得点的坐标．
【解答】
解：过点作于，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
菱形绕原点顺时针旋转至的位置，
，，
，
为等腰直角三角形，且，
在中，由勾股定理得：，
，
，
点的坐标为：
故选D．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
四边形为矩形，且，
∽，
，即，
，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
，，
如图，设点关于的对称点为，连接，，
则，，
是等边三角形，
，
当、、三点在一条线上时，最小，
又垂线段最短可知当时，最小，
．
故选：．
在中，利用三角形相似可求得、的长，设点关于的对称点，连接，可证明为等边三角形，当时，则最小，所以当时最小，从而可求得的最小值等于的长，可得出答案．
本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．
9.【答案】
【解析】解：在正方形中，的平分线交边于，
，
，
，
故B错误；
的中垂线与的延长线交于，
，，，，，，
，
，
四边形是菱形，故C说法正确；
，
，
，，
，
，
，，
故A说法正确；
，
，故D说法正确；
故选：．
在正方形中，的平分线交边于，可得，求出，则说法错误；根据线段垂直平分线的性质可得，，求出，证明，可得，即四边形是菱形，则说法正确；求出可得然后可得可判断、D正确．
本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，二次根式的运算等知识，灵活运用相关知识进行解答是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
．
抛物线对称轴是直线，
且．
抛物线与轴交于正半轴，
．
，
，A错误；
．
，；
直线经过一、二、四象限，
．
，
点的坐标为．
直线当时，，
可得．
正确；
直线与抛物线的图象有两个交点，
，
得，．
由图象知，
，
，
C错误
令，
，
，
．
交点在右边，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，故D正确．
故选：．
根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；还可由图象上点的坐标判断．
本题主要考查了抛物线的性质，二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的性质是本题的重点．
11.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：、，故本选项不正确，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质把给出的式子进行化简，即可得出答案．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：当是直角三角形的斜边时，，解得；
当是直角三角形的直角边时，，解得．
故使此三角形是直角三角形的的值是或．
故选：．
由于直角三角形的斜边不能确定，故应分是斜边或直角边两种情况进行讨论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数得到不等式且即可求得答案．
【解答】
解：依题意，得且，
解得且．
故选A．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
则，
故选：．
将原式计算后并估算其结果在哪两个连续整数之间即可．
本题考查无理数的估算，结合已知条件将原式计算后并估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接，
，，，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：．
连接，根据勾股定理求出，及的值，判断出的形状，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，根据题意判断出是等腰直角三角形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如下图，连接，则，，
在中，，
，
故选A．
连接，则，三角形为直角三角形，由勾股定理可算出的长．
本题主要考查了勾股定理的简单应用，看出点，点在同弧上，则，是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，，
，
为的中点，
，
，
由折叠得，
，
故选：．
连接，由菱形的性质得，，，则是等边三角形，，所以，，则，由折叠得，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：由可知，
所以，
故选：．
由得出，再利用二次根式的性质来化简求解．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是求出．
20.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，如图，
则点到轴的距离为．
点的坐标为，点的坐标为，
，．
轴，
．
．
四边形是正方形，
，．
．
．
在和中，
，
≌．
．
．
点到轴的距离是．
故选：．
过点作轴于点，则点到轴的距离为，通过证明≌得到，利用点，的坐标可求，的长，则结论可求．
本题主要考查了图形的坐标与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：过点作交于点，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，
故选：．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到和、之间的关系，本题得以解决．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，故正确；
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确，
在和中，只有三个角相等，没有边相等，
与不全等，故错误．
故选：．
由等腰直角三角形的性质可求；
由余角的性质和平行四边形的性质可求；
由“”可证≌，可得；
在和中，只有三个角相等，没有边相等，则与不全等．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
24.【答案】
【解析】解：设走路线时的平均速度为千米小时，则走路线时的平均速度为千米小时，
依题意，得：．
故答案为：．
设走路线时的平均速度为千米小时，则走路线时的平均速度为千米小时，根据时间路程速度结合走路线的全程能比走路线少用分钟即小时，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：，
，，分别是的边长，
，，
，
，
关于的一元二次方程与轴的交点有个．
故答案为：．
首先求出判别式，然后根据三角形三边之间的关系得，，据此可判定，据此即可得出答案．
此题主要考查了二次函数与轴的交点，二次函数与一元二次方程之间的关系，解答此题的关键是理解对于二次函数，方程的判别式，当，二次函数与轴有两个不同的交点，当时，二次函数与轴有一个交点二次函数的顶点在轴上当，当时，二次函数与轴无交点交点的个数为个．
26.【答案】
【解析】解：根据频率分布直方图可知，乙班的成绩波动最小，所以方差最小，丙班的波动最大，所以方差最大，
故方差的大小关系为．
故答案为：．
根据频率分布直方图即可观察出方差的大小．
本题主要考查频率分布直方图和方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
27.【答案】
【解析】解：是等边三角形，且，
三线合一，，
，
故答案为：．
根据条件可求以下图形面积：
，
，
，
，
．
故答案为：．
由等边三角形的性质得，，根据弧长公式代入数值计算即可；
由题给条件计算出、、、，利用代入计算即可．
本题考查了扇形面积的计算，弧长公式的应用，等边三角形的性质．
28.【答案】
【解析】解：如图，
直线，
当时，，
设直线与轴的交点为，则点的坐标为，
，
四边形，，，都是菱形，
，，
，
同理可得，
，，，
，，
由此推出的横坐标为：．
的横坐标为：，
的坐标为，
点的横坐标为；纵坐标为：，
点的坐标为
故答案为：
根据题意和图形可以求得前几个菱形的边长，然后根据锐角三角函数即可求得点的坐标，得出规律即可求出答案．
本题考查菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，找出规律是解题的关键．
29.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据完全平方公式求出，再求出，最后开方即可．
本题考查了对完全平方公式的应用，注意：
30.【答案】
【解析】解：平行四边形中，对角线、相交于点，，，，
，，
，
，
，
；
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，勾股定理求出，即可得解．
本题考查平行四边形的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分，是解题的关键．
31.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
即，
同理可求：，
，
第个正方形的边长为，
故答案为：．
首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．
32.【答案】
【解析】解：透明圆柱的底面半径为厘米，
透明圆柱的底面周长为厘米厘米，
作点关于直线的对称点，连接，则的长度即为它爬行最短路程，
，
答：它爬行最短路程是．
故答案为：．
把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．
33.【答案】解：如图，为所作．

【解析】先作的平分线交于，再过点作交于，然后以点为圆心，为半径作，可以证明，从而可判断满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．
34.【答案】解：原式
；
，
由得，；
由得，，
故不等式组的解集为：，其整数解为：，，，．
【解析】先算括号里面的，再算除法即可；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解解，找出其整数解即可．
本题考查的是分式的混合运算及一元一次不等式组的整数解，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
35.【答案】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中两个数字差的绝对值大于的有种结果，两个数字差的绝对值小或等于的有种结果，
小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为．
，
这个游戏不公平．
【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个数字差的绝对值大于的情况和两个数字差的绝对值小或等于的情况，求出对应概率，比较后即可得出答案．
此题主要考查了游戏的公平性以及用列表法或画树状图法求概率，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键．
36.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，
即，
所以若要将统计表中的信息绘制为扇形统计图，则组对应圆心角度数为，
故答案为：；
调查人数为，
中位数是第和个数的平均数．
，
中位数在组．
故答案为：．
个，
答：本次所抽取的名女生一分钟仰卧起坐的平均个数为个；
人，
答：估计该校九年级名女生中，能通过体育考试的女生人数大约为人．
用乘组所占百分比即可；
根据抽取人数人，列出关于的方程，解方程即可；
根据中位数的定义知道中位数是第和个数的平均数，由此即可得出答案；
根据算出抽取的人中通过考试率再乘总人数即可得出该校九年级通过考试的女生人数．
本题以文字应用题为背景考查了数据统计和分析，考核了学生对数据的理解以及对用样本估计总数的运用，解题关键是明确中位数的求法和用样本估计总数．
37.【答案】解：由题意得：，
山坡的坡度：，
，
设米，则米，
米，
米，
，
，
米，米，
过点作，垂足为，
由题意得：米，，
设米，
米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
楼的高度约为米．
【解析】根据题意可得：，再根据已知可米，则米，然后利用勾股定理可求出米，从而可得，求得；过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
38.【答案】解：在正比例函数的图象上，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
解得，
反比例函数的表达式为；
过作轴于，如图：
正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，
，
由可知，
的面积为，
，即，
，
，
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
在中，令得，
，
，
，
的面积为．
【解析】由在正比例函数的图象上得，再将代入即得，故反比例函数的表达式为；
过作轴于，由和反比例函数图象的对称性可得，由的面积为，可得，，从而可得直线解析式为，令，故．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法和函数图象上点坐标的特征．
39.【答案】或
【解析】证明：四边形是矩形，
，，
由翻折得，，
，，
在和中，
，
≌．
解：条件：，
结论：四边形是菱形，
证明：≌，
，，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：．
注：答案不唯一，如：
解：条件：是等边三角形，
结论：四边形是菱形，
证明：≌，
，，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：．
由矩形的性质得，，由翻折得，，则，，而，即可证明≌；
若选择条件，由，，得，，可证明，则，而，所以四边形是平行四边形，再证明，则，所以四边形是菱形；若选择条件，先证明四边形是平行四边形，再证明，则，所以四边形是菱形．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的判定等知识，证明是解题的关键．
40.【答案】： ：
【解析】解：问题探究：
设，则，
在中，
，
长宽比：：：，
由折叠知，，
，
，
而，
，
∽，
，
；
如图，设，则，，
由题意知，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
长宽比：：：，
又∽，
，
，
问题解决：
由知，若将长宽比：为正整数矩形沿用上述方式操作次后，
得到一个矩形，则，
．
问题探究：设，根据三角函数求得，进而求得长宽比，由折叠求得∽，线段成比例，进而求得；
设，，推出，，进而推出∽，对应线段成比例，求出，，进而求出，和，长宽比，由∽，线段成比例求出；
问题解决：由知，若将长宽比：为正整数矩形沿用上述方式操作次后，得到一个矩形，则和．
本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数，解题的关键熟练掌握由折叠及相似转化为线段之间的数量关系．
41.【答案】解：根据表格中数据可知，与是一次函数类型．
设关于的函数表达式为，
将，代入解析式得：，
解得，
关于的函数表达式为；
设时，，
将，代入解析式得：，
解得，
，
，
整理得：，
解得，，
，即，
，
此时的售价为或元件；
设利润为万元，
当时，即，
则，
，
当时，有最大值，最大值为；
当时，
把，代入得，
，
解得，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
综上所述，当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【解析】根据表格数据，用待定系数法求函数解析式；
先求出关于的解析式，再根据利润销售额总成本列出方程，解方程即可，再根据，的关系式求出的取值范围，从而得出结论；
设利润为万元，分两种情况求出的最大值，然后比较即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
42.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
若，
则，
即，
解得：，
即当为时，；
，
即与的函数关系式是；
存在某一时刻，使平分，理由如下：
过点作于点，如图所示：
则，
四边形是矩形，
，，，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
即，
，
，
，
解得：，
存在某一时刻，使平分，的值为．
【解析】由平行线分线段成比例定理得，，即可求解；
，代入计算即可；
过点作于点，由矩形的性质得，再证，得，则，证出∽，得，求出，然后由平行线分线段成比例定理得，则，得，因此，解得即可．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明∽和∽是解题的关键，属于中考常考题型．
43.【答案】解：
；
，
．
【解析】先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可；
先将所求式子变形，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
44.【答案】解：是的垂直平分线，
，
，
设，则，
在中，
，即，
解得．
所以的长为：．
【解析】先根据线段垂直平分线的性质得出，故AB，设，则，在中根据勾股定理求出的值即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
45.【答案】证明：的中线、相交于点，
点是的重心，
．
【解析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的倍列式进行计算即可求解．
本题主要考查了三角形的重心的性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的倍是解题的关键．
46.【答案】解：车宽米，
卡车能否通过，只要比较距厂门中线米处的高度与车高．
在中，由勾股定理可得：
，
，
卡车能通过此门．
【解析】根据题意得出的长，进而得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键．
47.【答案】
【解析】解：，
，，
故答案为：，；
原式；
原式；
将原式平方得，
，
所以原式．
将化为即可；
根据完全平方公式将原式化为，再根据二次根式的性质进行化简即可；
根据完全平方公式将原式化为，再根据二次根式的性质进行化简即可；
先将原式平方后进行化简，再求出算术平方根即可．
本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征以及二次根式的性质是正确解答的前提．
48.【答案】解：为等腰直角三角形，证明如下：
四边形为正方形，点是边的中点，
，，，
设的中点为，连接，如图：
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为正方形外角的平分线，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
为等腰直角三角形；
，点为的中点，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
由可知：为等腰直角三角形，
；
过点作，交的延长线于，连接，如图：
则，
由可知：，，，
在和中，
，，，
≌，
，
则，则，，
在中，，
由勾股定理得：，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
由勾股定理的：，
．
【解析】设的中点为，连接，先证，再证，进而可证和中全等，从而得，据此即可判定的形状；
先求出，然后由的结论并根据三角形的面积公式可求出的面积；
过点作，交的延长线于，连接，先证和全等得，则，则，，然后利用勾股定理分别求出，，据此可求出的值．
此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定方法．
分组
个数
频数人数
每组仰卧起坐的平均个数个
元件
万件