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精品解析：广东省肇庆市四会市大沙中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
、是轴对称图形，符合题意．
故选：．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2. 某种颗粒物的直径约为0.0000018米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A. 0.18×10﹣5米B. 1.8×10﹣5米C. 1.8×10﹣6米D. 18×10﹣5米
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.0000018=1.8×10﹣6．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，故本选项符合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
4. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x+3≠0，
解得x≠3．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．要从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；注意：分式有（无）意义，只与分母有关，而与其他无关．
5. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据非零数的0次幂等于1，负整数指数幂的性质即可解得．
【详解】A、，故A选项正确．
B、，故B选项错误．
C、，故C选项正确．
D、，故D选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了整数指数幂，非零数的0次幂等于1．
6. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 三角形的稳定性C. 长方形四个角都是直角D. 长方形的稳定性
【答案】B
【解析】
【分析】加上木条后，不稳定的长方形门框具有了稳定的三角，即可得．
【详解】解：加上木条后，组成了，不稳定的长方形门框具有了稳定的三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性的应用，解题的关键是理解题意，掌握三角形的稳定性．
7. 判断两个三角形全等的方法不正确的有（ ）
A. 两边和一个角分别相等两个三角形B. 两个角和一个边分别相等的两个三角形
C. 三边分别相等的两个三角形D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．掌握普通两个三角形全等共有四个定理，即；直角三角形可用定理，但无法证明三角形全等．
直接利用三角形全等的判定条件进行判定逐项判断即可解答．
【详解】解：A、两边和一个角分别相等的两个三角形不一定全等；故本选项错误；
B、两个角和一个边分别相等的两个三角形，可利用或判定全等；故本选项正确；
C、三边分别相等的两个三角形；故本选项正确；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形；故本选项正确．
故选：A．
8. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交延长线于点．
下列叙述正确的是（ ）
A. B.
C. D. 平分
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线判定解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，直线BC垂直平分线段AD，故BH⊥AD，
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9. 下列说法正确的有（ ）
①三角形的三条高在三角形内部；
②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形；
④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高线、角平分线、中线，根据三角形高线、角平分线和中线的定义和特点进行判断即可．
【详解】解：锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故①错误；
三角形的角平分线是线段，而不是射线，故②错误；
由三角形的中线分得的两个三角形等底同高，故分得的两个三角形的面积相等，故③正确；
三角形的三条角平分线和三条中线都在三角形的内部，故④错误；
综上分析可知，正确的有1个．
故选：A．
10. 如图，的平分线与邻补角的平分线相交于点，平分于点，，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长交于F，过点E作于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用""证明得到设，则，，在和中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到的长．
【详解】解：延长交于F，过点E作于H，如图：
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴，
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∵ BD平分
∴
∵，
∴
∴
设，则，
∴
解得：
∴
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式：＝_____．
【答案】（mn+）（mn﹣）
【解析】
【分析】用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：原式＝（mn+）（mn﹣）．
故答案为：（mn+）（mn﹣）．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，掌握公式结构是解题关键．
12. 等腰三角形的一个外角为，那么它的一个底角为______．
【答案】或
【解析】
【分析】由等腰三角形一个外角是，可分别从①若的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．
【详解】解：①若的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，
则此顶角为：，
则其底角为：；
②若的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
则此底角为：；
故这个等腰三角形的一个底角为：或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
13. 如图，在四边形中，，则的度数为__________．
【答案】##140度
【解析】
【分析】根据四边形的外角和，得到与相邻的外角度数，即可求出的度数．
【详解】解：多边形的外角和为，，
与相邻的外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，解题关键是熟记多边形外角和等于，与边数无关．
14. 若，，则 ______ ．
【答案】25
【解析】
【分析】先将所求式子进行变形后，代入可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是本题的关键，注意：．
15. 如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明得到，然后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
三．解答题（共10小题，满分75分）
16. 如图所示，，求证：
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由AB∥CD，AF∥CE可以得出∠B=∠D，∠AFB=∠DEC，在通过BE=DF就可以得出BF=DE，由ASA就可以得出△ABF≌△DCE而得出结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，AF∥CE，
∴∠B=∠D，∠AFB=∠DEC．
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE．
在△ABF和△DCE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴AB=CD．
【点睛】本题考查了平行线的性质的而运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用．解答时寻找三角形全等的条件是关键．
17. 计算：[（﹣2a2）3+5a4•a2]÷（﹣3a2）．
【答案】a4
【解析】
【分析】依题意，依据幂混合运算的法则进行化简计算即可；
【详解】由题知，原式=（－8a6+5a6）÷（－3a2）
=（－3a6）÷（－3a2）
= a4
【点睛】本题考查幂的混合运算法则，关键在混合运算中运算顺序---先算乘方----乘除-----加减；
18. 已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形．
（1）画出；
（2）画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ；
（3）试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，、、
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
（1）根据、、三点坐标作图可得；
（2）分别作出点、、关于轴对称轴的点，然后顺次连接；
（3）连接，与轴的交点就是点．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是，
故答案为：、、；
【小问3详解】
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．
19. 如图，在中，，于点，，若，求的度数．
【答案】16度
【解析】
【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出，由等边对等角得出，再进行角的和差运算即可．
【详解】∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟知三线合一和等边对等角是解题的关键．
20. （1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数．
【答案】（1）腰长为10，底边长为4；（2）这个等腰三角形的底角的度数是或
【解析】
【分析】（1）设，则，分两种情况：①当，时，②当，时，分别列方程求出x得到腰长，即可求出底边；
（2）分①若锐角三角形，②若三角形是钝角三角形两种情况求解
【详解】解：（1）设，则，
①当，时，则，
∴，
∴，，
∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；
②当，时，则，
∴，
∴，，
∵，
∴此时不成立．
综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；
（2）在中，设于D．
①若是锐角三角形，，
∴底角；
②若三角形是钝角三角形，，
∴底角
综上，这个等腰三角形的底角的度数是或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角求角度，三角形外角的性质，在解题时要注意找出等量关系是解题的关键．
21. 先化简：，再从的范围内选取一个你喜欢的值代入求值．
【答案】，4
【解析】
【分析】根据分式的化简步骤即可求出最简分式，将其范围内的有意义的值代入即可求出答案．
【详解】解：
，且，
令，
.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键在于熟练掌握分式的化简步骤.
22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
【答案】（1）60°；（2）4
【解析】
【分析】（1）由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
（2）利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
【详解】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°；
（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
23. 小白同学为了能在全国大学英语六级考试中获得好的成绩，于是打算利用若干个星期的时间做完144篇阅读练习．当计划开始的时候，她发现实际每个星期完成阅读练习的量是原计划的1.5倍，这样可以提前4个星期完成她的计划．
（1）问实际每个星期完成阅读练习量是多少篇？
（2）如果小白同学按实际完成阅读练习的速度持续了3个星期之后，打算再次提高速度，那么她在之后的每个星期至少要完成多少阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习．
【答案】（1）实际每个星期完成阅读练习量是18篇；（2）她在之后的每个星期至少要完成30篇阅读练习．
【解析】
【分析】（1）设她原计划每周完成x篇，则实际完成1.5x篇，根据“可以提前4个星期完成她的计划”列出分式方程，求解并验根即可；
（2）设她在之后的每个星期至少要完成y篇阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习，列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设她原计划每周完成x篇，则实际完成1.5x篇，根据题意
，
解得，经检验是该方程的根．
此时，
所以，实际每个星期完成阅读练习量是18篇；
（2）设她在之后的每个星期至少要完成y篇阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习．
则，解得，
所以，她在之后的每个星期至少要完成30篇阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．能读懂题意，找出等量（不等量）关系是列出方程（不等式）是解题关键．
24. 【教材呈现】如图是北师大版九年级上册数学教材12页的部分内容．
琪琪做法如下：
已知，如图①，在中，，为斜边上的中线．
求证：
证明：如图②，延长至点E，使，连接，．
（1）【问题解决】请结合图③将琪琪的证明过程补充完整．
（2）【应用探究】如图④，在中，是高，是中线，点F是的中点，，点F为垂足，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）延长至点，使，连接，，先证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形为矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；
（2）连接，先证，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由三角形的外角性质即可求解．
【小问1详解】
解：证明：延长至点，使，连接，．
为斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
，
；
【小问2详解】
如图，连接，
点是的中点，，
，
，
，
是的高，
，
是中线，
，
，
，
，
，
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
25. 如图1，点P、Q分别是长为的等边三角形的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接、交于点，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）P、Q运动几秒时，是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）不变，；
（2）当第秒或第秒时，为直角三角形；
（3）不变，．
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．
（1）因为点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为cm/s，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数．
（2）设时间为秒，则，，分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值．
（3）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数．
【小问1详解】
解：不变，．
∵等边三角形中，，，
又由条件得，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设时间为秒，则，，
①当时，
∵，
∴，
∴，得，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，得，
∴．
∴当第秒或第秒时，为直角三角形；
【小问3详解】
解：，不变．
∵在等边三角形中，，
∴，又由条件得，，
∴，
∴，
又∵，
∴．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
请你完成这个定理的证明．
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
、是轴对称图形，符合题意．
故选：．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2. 某种颗粒物的直径约为0.0000018米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A. 0.18×10﹣5米B. 1.8×10﹣5米C. 1.8×10﹣6米D. 18×10﹣5米
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.0000018=1.8×10﹣6．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，故本选项符合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
4. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x+3≠0，
解得x≠3．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．要从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；注意：分式有（无）意义，只与分母有关，而与其他无关．
5. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据非零数的0次幂等于1，负整数指数幂的性质即可解得．
【详解】A、，故A选项正确．
B、，故B选项错误．
C、，故C选项正确．
D、，故D选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了整数指数幂，非零数的0次幂等于1．
6. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 三角形的稳定性C. 长方形四个角都是直角D. 长方形的稳定性
【答案】B
【解析】
【分析】加上木条后，不稳定的长方形门框具有了稳定的三角，即可得．
【详解】解：加上木条后，组成了，不稳定的长方形门框具有了稳定的三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性的应用，解题的关键是理解题意，掌握三角形的稳定性．
7. 判断两个三角形全等的方法不正确的有（ ）
A. 两边和一个角分别相等两个三角形B. 两个角和一个边分别相等的两个三角形
C. 三边分别相等的两个三角形D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．掌握普通两个三角形全等共有四个定理，即；直角三角形可用定理，但无法证明三角形全等．
直接利用三角形全等的判定条件进行判定逐项判断即可解答．
【详解】解：A、两边和一个角分别相等的两个三角形不一定全等；故本选项错误；
B、两个角和一个边分别相等的两个三角形，可利用或判定全等；故本选项正确；
C、三边分别相等的两个三角形；故本选项正确；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形；故本选项正确．
故选：A．
8. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交延长线于点．
下列叙述正确的是（ ）
A. B.
C. D. 平分
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线判定解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，直线BC垂直平分线段AD，故BH⊥AD，
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9. 下列说法正确的有（ ）
①三角形的三条高在三角形内部；
②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形；
④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高线、角平分线、中线，根据三角形高线、角平分线和中线的定义和特点进行判断即可．
【详解】解：锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故①错误；
三角形的角平分线是线段，而不是射线，故②错误；
由三角形的中线分得的两个三角形等底同高，故分得的两个三角形的面积相等，故③正确；
三角形的三条角平分线和三条中线都在三角形的内部，故④错误；
综上分析可知，正确的有1个．
故选：A．
10. 如图，的平分线与邻补角的平分线相交于点，平分于点，，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长交于F，过点E作于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用""证明得到设，则，，在和中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到的长．
【详解】解：延长交于F，过点E作于H，如图：
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴，
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∵ BD平分
∴
∵，
∴
∴
设，则，
∴
解得：
∴
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式：＝_____．
【答案】（mn+）（mn﹣）
【解析】
【分析】用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：原式＝（mn+）（mn﹣）．
故答案为：（mn+）（mn﹣）．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，掌握公式结构是解题关键．
12. 等腰三角形的一个外角为，那么它的一个底角为______．
【答案】或
【解析】
【分析】由等腰三角形一个外角是，可分别从①若的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．
【详解】解：①若的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，
则此顶角为：，
则其底角为：；
②若的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
则此底角为：；
故这个等腰三角形的一个底角为：或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
13. 如图，在四边形中，，则的度数为__________．
【答案】##140度
【解析】
【分析】根据四边形的外角和，得到与相邻的外角度数，即可求出的度数．
【详解】解：多边形的外角和为，，
与相邻的外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，解题关键是熟记多边形外角和等于，与边数无关．
14. 若，，则 ______ ．
【答案】25
【解析】
【分析】先将所求式子进行变形后，代入可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是本题的关键，注意：．
15. 如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，，则_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明得到，然后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
三．解答题（共10小题，满分75分）
16. 如图所示，，求证：
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由AB∥CD，AF∥CE可以得出∠B=∠D，∠AFB=∠DEC，在通过BE=DF就可以得出BF=DE，由ASA就可以得出△ABF≌△DCE而得出结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，AF∥CE，
∴∠B=∠D，∠AFB=∠DEC．
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE．
在△ABF和△DCE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴AB=CD．
【点睛】本题考查了平行线的性质的而运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用．解答时寻找三角形全等的条件是关键．
17. 计算：[（﹣2a2）3+5a4•a2]÷（﹣3a2）．
【答案】a4
【解析】
【分析】依题意，依据幂混合运算的法则进行化简计算即可；
【详解】由题知，原式=（－8a6+5a6）÷（－3a2）
=（－3a6）÷（－3a2）
= a4
【点睛】本题考查幂的混合运算法则，关键在混合运算中运算顺序---先算乘方----乘除-----加减；
18. 已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形．
（1）画出；
（2）画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ；
（3）试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，、、
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
（1）根据、、三点坐标作图可得；
（2）分别作出点、、关于轴对称轴的点，然后顺次连接；
（3）连接，与轴的交点就是点．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是，
故答案为：、、；
【小问3详解】
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．
19. 如图，在中，，于点，，若，求的度数．
【答案】16度
【解析】
【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出，由等边对等角得出，再进行角的和差运算即可．
【详解】∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟知三线合一和等边对等角是解题的关键．
20. （1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数．
【答案】（1）腰长为10，底边长为4；（2）这个等腰三角形的底角的度数是或
【解析】
【分析】（1）设，则，分两种情况：①当，时，②当，时，分别列方程求出x得到腰长，即可求出底边；
（2）分①若锐角三角形，②若三角形是钝角三角形两种情况求解
【详解】解：（1）设，则，
①当，时，则，
∴，
∴，，
∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；
②当，时，则，
∴，
∴，，
∵，
∴此时不成立．
综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4；
（2）在中，设于D．
①若是锐角三角形，，
∴底角；
②若三角形是钝角三角形，，
∴底角
综上，这个等腰三角形的底角的度数是或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角求角度，三角形外角的性质，在解题时要注意找出等量关系是解题的关键．
21. 先化简：，再从的范围内选取一个你喜欢的值代入求值．
【答案】，4
【解析】
【分析】根据分式的化简步骤即可求出最简分式，将其范围内的有意义的值代入即可求出答案．
【详解】解：
，且，
令，
.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键在于熟练掌握分式的化简步骤.
22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
【答案】（1）60°；（2）4
【解析】
【分析】（1）由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
（2）利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
【详解】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°；
（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
23. 小白同学为了能在全国大学英语六级考试中获得好的成绩，于是打算利用若干个星期的时间做完144篇阅读练习．当计划开始的时候，她发现实际每个星期完成阅读练习的量是原计划的1.5倍，这样可以提前4个星期完成她的计划．
（1）问实际每个星期完成阅读练习量是多少篇？
（2）如果小白同学按实际完成阅读练习的速度持续了3个星期之后，打算再次提高速度，那么她在之后的每个星期至少要完成多少阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习．
【答案】（1）实际每个星期完成阅读练习量是18篇；（2）她在之后的每个星期至少要完成30篇阅读练习．
【解析】
【分析】（1）设她原计划每周完成x篇，则实际完成1.5x篇，根据“可以提前4个星期完成她的计划”列出分式方程，求解并验根即可；
（2）设她在之后的每个星期至少要完成y篇阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习，列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设她原计划每周完成x篇，则实际完成1.5x篇，根据题意
，
解得，经检验是该方程的根．
此时，
所以，实际每个星期完成阅读练习量是18篇；
（2）设她在之后的每个星期至少要完成y篇阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习．
则，解得，
所以，她在之后的每个星期至少要完成30篇阅读练习，才能使她在6个星期内至少完成144篇阅读练习．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．能读懂题意，找出等量（不等量）关系是列出方程（不等式）是解题关键．
24. 【教材呈现】如图是北师大版九年级上册数学教材12页的部分内容．
琪琪做法如下：
已知，如图①，在中，，为斜边上的中线．
求证：
证明：如图②，延长至点E，使，连接，．
（1）【问题解决】请结合图③将琪琪的证明过程补充完整．
（2）【应用探究】如图④，在中，是高，是中线，点F是的中点，，点F为垂足，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）延长至点，使，连接，，先证四边形是平行四边形，再由，得平行四边形为矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；
（2）连接，先证，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由三角形的外角性质即可求解．
【小问1详解】
解：证明：延长至点，使，连接，．
为斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
，
；
【小问2详解】
如图，连接，
点是的中点，，
，
，
，
是的高，
，
是中线，
，
，
，
，
，
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
25. 如图1，点P、Q分别是长为的等边三角形的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接、交于点，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）P、Q运动几秒时，是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）不变，；
（2）当第秒或第秒时，为直角三角形；
（3）不变，．
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．
（1）因为点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为cm/s，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数．
（2）设时间为秒，则，，分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值．
（3）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数．
【小问1详解】
解：不变，．
∵等边三角形中，，，
又由条件得，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设时间为秒，则，，
①当时，
∵，
∴，
∴，得，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，得，
∴．
∴当第秒或第秒时，为直角三角形；
【小问3详解】
解：，不变．
∵在等边三角形中，，
∴，又由条件得，，
∴，
∴，
又∵，
∴．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
请你完成这个定理的证明．
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