数学选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系多媒体教学课件ppt

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4. 2　用向量方法讨论立体几何中的位置关系
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l⊂α.
提示：u∥v时，α∥β；u⊥v时，α⊥β.
[证明]　证法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分
别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
又MN⊄平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，
又因为MN⊄平面ADD1A1，故MN∥平面ADD1A1.
[证明]　证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，
分别取MN，DB，EF的中点R，T，S，连接AR，TS，则D(0，0，
∴MN∥平面EFBD，AR∥平面EFBD.
又MN∩AR＝R，∴平面AMN∥平面EFBD.
证法二：由证法一可知，D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(1，0，4)，
设平面AMN、平面EFBD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝
∴平面AMN∥平面EFBD.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2).
又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2).
所以平面ADE∥平面B1C1F.
[证明]　证法一：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x
轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝a，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，
∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建
立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为1，则B(1，1，
[证明]　证法一：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，
DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2).
∴＝(1，1，2)－(2，2，1)＝(－1，－1，1)，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.
∴EF⊥平面B1AC.
证明：因为AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以以A为坐标原点，AB，
AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.
因为AP∩AC＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
[证明]　由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点，BA，
BC，BB1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1，
∴n2＝(1，－1，4). ∴n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明：取BE的中点O，连接OC，则OC⊥EB，又AB⊥平面BCE，
∴以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 如图所示. 则C(1，0，0)，
又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，
又∵OC⊥EB，EB∩AB＝B. ∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量
可取为m＝(1，0，0).
∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.
解析：∵空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，
解析：平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，设平面β的法向量
为(x，y，z)，则(2，－1，1)＝λ(x，y，z)，λ≠0，对比四个选项可知，
只有D符合要求，故选D.
解：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y
轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AB＝a，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0，t)(0≤t≤1)，使得DP∥平面B1AE，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).
[解]　(1)证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y
轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，设AD＝a，则D(0，0，0)，
解：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的非负半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，
2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ).
而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)存在. 设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由
同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1).
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n
＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝
使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.