北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系教学课件ppt

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了必备知识·探新知，知识点1，知识点2，平面的法向量，知识点3，关键能力·攻重难，典例1，典例2，典例3，典例4等内容，欢迎下载使用。

§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
空间中的点与直线的向量表示
2．直线的方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
1．平面的法向量空间中给定一点和一条直线，可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面．因此，如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫做作平面α的法向量，则n⊥α.
因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键因素，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平面间的平行、垂直等位置关系．设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
用向量方法讨论立体几何中的位置关系
已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝4，BC＝2，过点A作AM⊥PB于点M.以B为原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．(1)求直线AM的一个方向向量；(2)求平面PBC的一个法向量．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．证明：PQ∥RS.[解析]　方法1：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
【对点训练】❷ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．求证：EF⊥CD.
[解析]　以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，
1．证明线面平行在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
2．证明线面垂直如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
[解析]　设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．
[规律方法]　1．利用向量法证明线面平行的思路(1)根据线面平行的判定定理(平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行)可知，要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(2)建立空间直角坐标系，通过计算解决问题，该方法暂时有一定的局限性，在学习了后面的内容后，就会变得较易实现．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．利用向量法证明线面垂直的方法(1)基向量法，具体步骤如下．①设出基向量，用基向量表示出直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积；④由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直．
(2)坐标法，具体方法如下．①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积；⑤由数量积为0及线面垂直的判定定理得线面垂直．
【对点训练】❸ 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
[解析]　方法1：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
1．向量法证面面平行如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
[解析]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
2．向量法证面面垂直如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
[解析]　由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
[规律方法]　1．向量证明面面平行的方法利用空间向量证明面面平行通常可以有两个途径：一是找两对向量共线得两对相交的平行直线，用面面平行的判定定理证明；二是求出两平面的法向量，若两法向量是共线向量，则可判定两平面平行．2．利用向量证明面面垂直的方法利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
【对点训练】❹ 在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.[解析]　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
忽视对位置关系的进一步判断致误已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，则直线DE与平面ABC(　　)A．平行B．DE⊂平面ABCC．相交D．平行或DE⊂平面ABC
1．已知A(1，－3，5)，B(－1，－1，4)是直线l上两点，则下列可作为直线l的方向向量的是(　　)A．(1，1，0)　　B．(4，－4，2)C．(－3，－3，0)　　D．(4，4，2)
3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)A．直线AC　　B．直线BDC．直线A1D　　D．直线A1D1
4．已知直线l的一个方向向量为a＝(4，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，1，t)，若l∥α，则实数t的值是______.[解析]　当l∥α时，a⊥n，即a·n＝0，所以n·a＝(－1，1，t)·(4，2，－2)＝0，即－4＋2－2t＝0，解得t＝－1.
5．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
[解析]　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，