湖北省荆州市江陵县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省荆州市江陵县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资．下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解析：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）方程3x2＝5x+7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，5，7B．3，﹣5，﹣7C．3，﹣5，7D．3，5，﹣7
解析：解：方程3x2＝5x+7转化为一般形式为3x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣5，﹣7，
故选：B．
3．（3分）平移抛物线y＝（x+3）（x﹣1）后得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），则（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位
解析：解：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x+1）2﹣4，顶点坐标是（﹣1，﹣4）．
y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标是（1，﹣4）．
所以将抛物线y＝（x+3）（x﹣1）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），
故选：B．
4．（3分）将x2﹣6x﹣4＝0进行配方变形，下列正确的是（ ）
A．（x﹣6）2＝13B．（x﹣6）2＝9C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝9
解析：解：∵x2﹣6x﹣4
＝（x﹣3）2﹣9﹣4
＝（x﹣3）2﹣13，
∴x2﹣6x﹣4＝0进行配方变形为（x﹣3）2＝13．
故选：C．
5．（3分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则α可以为（ ）
A．30°B．54°C．72°D．108°
解析：解：因为每次旋转相同角度α，旋转了五次，
且旋转了五次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度α＝360÷5＝72°．
故选：C．
6．（3分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A．1+2x＝81B．1+x2＝81
C．1+x+x2＝81D．1+x+x（1+x）＝81
解析：解：设平均一人传染了x人，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，
根据题意得：x+1+（x+1）x＝81，
故选：D．
7．（3分）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（ ）
A．13米B．14米C．15米D．16米
解析：解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为y＝ax2+16，
由题意可知，B的坐标为（20，0），
∴400a+16＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+16，
∴当x＝5时，y＝15．
∴与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，
故选：C．
8．（3分）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（5，0），B（2，1），将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，当点B′恰好落在y轴的正半轴上时，点A′的坐标为（ ）
A．B．C．D．
解析：解：如图过B作BE⊥OA于E，过B′作B′F⊥OA′于F，过A′作A′C⊥y轴于C，
∴∠B′FO＝∠C＝90°，
∵B（2，1），
∴OE＝2，BE＝1，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，
∴△OAB≌△OA′B′，
∴B′F＝BE＝1，OF＝EO＝2，OA＝OA′＝5，
∴OB＝OB′＝，
在△OB′F和△OA′C中，
∠O公共，∠B′FO＝∠C＝90°，
∴△OB′F∽△OA′C，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CA′＝，OC＝2
∴点A′的坐标为（，2）．
故选：B．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤
解析：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵+bx1＝+bx2，
∴+bx1﹣﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
10．（3分）平面上有一个图形G与图形外一点P（x，y），当x＜0时，P'的坐标为（﹣x，y），当x≥0时，P'的坐标为（﹣y，x），若点P'在图形G上，则称P'是“点P与图形G的联系点”，设抛物线C：y＝﹣（x﹣m）2+2（m为常数）顶点为E，点E关于x轴的对称点为F，若抛物线上存在点F'是点与图形C的联系点，则所有可能的m的和为（ ）
A．3B．2C．1D．0
解析：解：∵抛物线C：y＝﹣（x﹣m）2+2（m为常数）顶点为E，
∴E（m，2），
∴点E关于x轴的对称点F（m，﹣2），
∴当m＜0时，F′（﹣m，﹣2），
当m≥0时，F′（2，m），
把F′（﹣m，﹣2）代入y＝﹣（x﹣m）2+2得，﹣2＝﹣（﹣m﹣m）2+2，
解得m＝﹣1或m＝1（舍去），
把F′（2，m）代入y＝﹣（x﹣m）2+2得，m＝﹣（2﹣m）2+2，
解得m＝2或m＝1，
∴所有可能的m的和为﹣1+2+1＝2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是 x1＝0，x2＝1 ．
解析：解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
12．（3分）写出一个抛物线开口向上，与y轴交于（0，2）点的函数表达式 y＝x2+2（答案不唯一）． ．
解析：解：由题意得，抛物线解析式为y＝x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
13．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB′，若∠A′B′A＝25°，则∠B的大小为 70° .
解析：解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∠B＝∠CA'B'，
∴∠AB′C＝45°，
∵∠A′B′A＝25°，
∴∠A′B′C＝20°，
∴∠B＝∠CA'B′＝70°，
故答案为：70°．
14．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
解析：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，
解得：k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 3 ．
解析：解：当y＝0时，x2+mx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣m，则A（﹣m，0），
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y＝x2+x，
当x＝1时，y＝x2+x＝2，则A′（1，2），
当y＝2时，x2+x＝2，解得x1＝﹣2，x2＝1，则C（﹣2，2），
∴A′C的长为1﹣（﹣2）＝3．
故答案为3．
16．（3分）（定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ①②④ .（只需填写序号）
解析：解：①当m＝﹣3时，特征数为[﹣6，4，2]，
∴﹣＝﹣＝，＝＝．
∴函数图象的顶点坐标是：（，），故①正确；
②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，
∴当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确．
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，
∴函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误；
④∵y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2mx2﹣mx﹣m+x﹣1＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，
令2x2﹣x﹣1＝0，
解得x＝1或x＝﹣，
将x＝1代入y＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1得y＝0，
将x＝﹣代入y＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1得y＝﹣．
∴m≠0时，函数图象经过定点（1，0），（﹣，﹣），故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）解方程：
（1）（x+1）2＝4x2；
（2）3x2﹣6x+2＝0．
解析：解：（1）（x+1）2＝4x2，
（x+1）2﹣4x2＝0，
（x+1+2x）（x+1﹣2x）＝0，
∴3x+1＝0或1﹣x＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1；
（2）3x2﹣6x+2＝0，
3x2﹣6x＝﹣2，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（6分）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是﹣2，求2023﹣m2+4m的值．
解析：（1）证明：∵b 2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m2﹣1）＝4m 2﹣4m2+4＝4＞0，
即Δ＞0，
∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是﹣2，
∴4﹣4m+m2﹣1＝0，
∴﹣m2+4m＝3，
∴2023﹣m2+4m＝2026．
19．（8分）如图所示，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．
（1）求∠DAO的度数；
（2）用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明．
解析：解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
由旋转的性质可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，
∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；
（2）线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2＝OC2．
如图，连接OD．
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．
∴∠DAO＝90°．
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴OA2+AD2＝OD2．
∴OA2+OB2＝OC2．
20．（8分）如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝x m，面积为Sm2．
（1）用x的代数式表示BC的长；
（2）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
解析：解：（1）∵AB＝CD＝x m，
∴BC＝（80﹣2x）m；
（2）根据矩形的性质可知：S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∵，
∴，
∴，
∴15≤x＜40
∴S＝﹣2x2+80x，（15≤x＜40）；
（3）∵S＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x＝20时，S有最大值为800，
∴即当AB＝20m，BC＝40m时，面积S有最大值为800m2．
21．（10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
解析：解；（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，
可得P点坐标为：（，0）．
22．（10分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．如图所示．在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线：y＝（x﹣a）2+b经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）写出点M（2，3）任意两条特征线；
（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，则求此抛物线的解析式．
解析：解：（1）∵点M（2，3），
∴点M（2，3）任意两条特征线为y＝3，y＝x+1；
（2）点D有一条特征线是y＝x+1，
∴b﹣a＝1，
∴b＝a+1
∵抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+b，
∴y＝（x﹣a）2+a+1，
∵四边形OABC是正方形，且过D点的垂直于x轴的直线为正方形的对称轴，D（a，b），
∴B（2a，2a），
∴（2a﹣a）2+b＝2a，将b＝a+1代入得到a＝2，b＝3；
∴D（2，3），
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3．
23．（12分）在某次数学探究活动中，小麦同学发现“两个整数a、b的和c为定值，则积s有最大值”．
（1）例如：c＝10，探究过程如下：
当两个整数a、b中有一个为负整数，则s＜0；
当两个整数a、b中有一个为0时，则s＝0；
当两个整数a、b都为正整数时，则s＞0．
通过计算1×9，2×8，3×7，4×6，5×5的值，经过比较可以得到s的最大值为 25 ；
（2）小麦同学提出，当c的绝对值比较大时，用上述方法耗时耗力，同学们进一步探讨，得到两个可行方法．
方法一、把（1）中步骤编程，用计算机代替人去计算，可解决耗时耗力问题；
方法二、构造二次函数．
例如：c＝100，s＝ab＝a（100﹣a）＝﹣a2+100a，二次函数开口向下，对称轴方程为即a＝50，所以当a＝50时，s有最大值为 2500 ．
（3）利用上述方法，c＝﹣10，当a＝ ﹣5 时，s有最大值为 25 ．
（4）利用上述方法，c＝101，当a＝ 50或51 时，s有最大值为 2550 ．
解析：解：（1）1×9＝9，2×8＝16，3×7＝21，4×6＝24，5×5＝25，
∴s的最大值为25，
故答案为：25；
（2）根据题意得，当a＝50时，
s＝﹣a2+100a＝﹣2500+5000＝2500，
故答案为：2500；
（3）当c＝﹣10时，
s＝ab＝a（﹣10﹣a）＝﹣a2﹣10a＝﹣（a+5）2+25，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣5时，s最大，最大值为25，
故答案为：﹣5，25；
（4）当c＝101时，
s＝ab＝a（101﹣a）＝﹣a2+101a＝﹣（a﹣）2+，
∵﹣1＜0，a为整数，
∴当a＝50或51时，s有最大值，最大值为2550．
故答案为：50或51．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解析：解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，
又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴BC＝＝3，同理AC＝，
∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1）；
（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），
综上，m＝5或m＝4或或3．