第21讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值（以下）
（4）单调性
（5）对称轴与对称中心.
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置.
（6）平移与伸缩
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【常用结论】
1.根据图像求解析式一般步骤
①根据最高最低点求出A
②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分
③通过带最高或最低点算出φ
2.对称与周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
3.函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
二、题型分类精讲
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【典例1】函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·高三课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称D．若，则的最小值为
6．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上最大值为B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增D．函数的最小正周期为
7．（2023·全国·高一专题练习）设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上单调递减
C．的最大值为2D．的图象关于直线对称
三、填空题
8．（2023春·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数的递增区间为___________.
9．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）函数的单调递减区间为______.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.则的最大值为___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是______．
12．（2023·湖北·统考模拟预测）请写出一个满足下列3个条件的函数的表达式__________.
①；②在上单调递减；③.
四、解答题
13．（2023春·高三单元测试）已知函数，再从①的最大值与最小值之和为0，②这两个条件中选择一个作为已知条件.
(1)求m的值；
(2)求函数在上的单调递增区间.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
14．（2023春·浙江·高三期中）已知函数．
(1)求函数的周期及在上的单调递增区间：
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数根．求实数的取值范围．
题型二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性
【典例1】使函数为偶函数的最小正数φ＝（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．的最大值是
C．的图象的一条对称轴是直线D．的图象的一个对称中心是
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知曲线的一条对称轴是，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·校考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山东日照·三模）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·北京西城·统考二模）已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后的函数图象关于原点对称，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减D．是奇函数
10．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数图象的两个相邻零点的差的绝对值为，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
C．的图象关于直线对称
D．的单调递增区间为
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为B．函数图象关于直线对称
C．函数在上递增D．函数的最大值为1
14．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）设函数的图象关于点成中心对称，若，则______.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为_______.
17．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数满足以下三个条件：
①是偶函数；②；③的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．
18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为π，对于下列说法:
①;
②的单调递增区间为，（）;
③将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;
④.
其中正确的序号是__________.
四、解答题
19．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（2）求函数的单调递增区间．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求的对称轴；
(2)若在内的最大值与最小值之和为，求a．
题型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
策略方法
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
【典例1】为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
5．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
6．（2023·重庆·统考三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
8．（2023·河北·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则下列关于的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为B．图象关于点对称
C．在区间上单调递增D．图象关于直线对称
9．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的可取（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数图像的一条对称轴为，先将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像在以下哪些区间上单调递减（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．
12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则________．
四、解答题
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．
14．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；
①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．
②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若，求的取值范围；
(2)设函数的零点为，求的值．
题型四 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
策略方法 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2)．
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T)．
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
【典例1】函数（其中，，）的图象如图所示，为得到的图象，只需将图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广东韶关·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递增
C．函数的一个极值点为D．函数的一个零点为
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．的最小值是
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
5．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
6．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．点是的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称
7．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．在区间上单调递减
C．将的图象向左平移个单位所得函数为奇函数
D．方程在区间内有4个根
三、填空题
8．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______.
9．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数的部分图象如图，，则____________．
10．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为__________．

四、解答题
11．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)设，若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．
12．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
题型五 三角函数图像与性质的综合应用
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．
【典例1】已知向量，，函数.
(1)求的单调增区间；
(2)若函数图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的得函数的图像，且关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．在单调递增
B．直线是曲线的一条对称轴
C．曲线在点处的切线方程为
D．是一个极值点
2．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·江西九江·统考三模）已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（ ）

A．2B．C．4D．
4．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．若，则的值可以是
D．函数有4个零点
二、多选题
5．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
三、解答题
6．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的．
(1)若的最小正周期为，求图象的对称轴方程，与轴距离最近的对称轴的方程；
(2)若图象相邻两个对称中心之间的距离大于，且，求在上的值域．
①函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
②函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性
③函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
④根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
⑤三角函数图像与性质的综合应用