第02讲 常用逻辑用语（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1.充分条件、必要条件、充要条件
（1）定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
（2）从逻辑推理关系上看
①若且，则是的充分不必要条件；
②若且，则是的必要不充分条件；
③若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
2.全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
3.含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.
【常用结论】
1．从集合与集合之间的关系上看：设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
2.常见的一些词语和它的否定词如下表
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
二、题型分类精讲
题型一 充分、必要条件的判断
策略方法 判断充分、必要条件的几种方法
【典例1】已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：因为是无穷等差数列，若为递增数列，
所以公差，
令，解得，
表示取整函数，
所以存在正整数，有，故充分；
设数列为5，3，1，-1，…，满足，但，
则数列是递减数列，故不必要，
故选：A
【典例2】条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.
【详解】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（2021春·广东梅州·高三校考期中）设均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，则，即，
可得，所以，即充分性成立；
反之：由，则，可得且，
所以，即必要性成立，
综上可得，是的充分必要条件.
故选：C.
2．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）若，则“”是“，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比中项的性质结合充分不必要条件的判定即可得到答案.
【详解】因为，则，且，所以，，成等比数列，故前者可以推出后者，
若，，成等比数列，举例，则不满足，故后者无法推出前者，
所以“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023·重庆·统考二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.
【详解】由可得其解集为：，由可得其解集为：.
而，即由“”可以推出“”，反过来“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先根据，求的值，再判断充分，必要条件.
【详解】由条件可知，，
得，化简得，
得或，
即或
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
二、填空题
5．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的___________条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可.
【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，；，则p是q的______条件．（在充分不必要､必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）
【答案】必要不充分
【分析】将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解
【详解】因为，为真命题等价于不等式在上恒成立，
当时，显然不成立；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为，
所以，
又因为，
所以p是q的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
7．（2023·宁夏中卫·统考二模）命题，命题，则是的____________条件.
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】先解，然后根据条件判断即可.
【详解】因为或，
而，
所以是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
8．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）“”是“”的_________条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充分不必要．
【分析】利用弦化切得，将整体代入即可证明其充分性成立，令，解得，必要性不成立.
【详解】若，则，
反之，若，则，则，则，
则”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
三、解答题
9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）由题意知若“”是“”的充分不必要条件则集合是集合的真子集，求出m的取值范围，再讨论即可.
【详解】（1）由，可得，
所以，所以集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以，
当时，满足题意，
当时，满足题意，
故，即m的取值范围为.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求证：数列为等差数列的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】先证明必要性，再证明充分性.
【详解】必要性：数列为等差数列，公差为，
则，，
所以
满足恒成立，
所以，解得；
充分性：
因为时，①，②，
①－②得：时，．
即的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列．
因为，，所以．
所以，，
所以，数列为等差数列．
综上，数列为等差数列的充要条件是．
题型二 根据充分必要条件求参数的取值范围
策略方法
1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)
先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．
2．利用充要条件求参数的两个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
【典例1】若关于的不等式 成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由化简得到，根据不等式 成立的充分条件是，列出不等式组，求得答案.
【详解】当时，不成立，故 ，此时由得，
因为不等式 成立的充分条件是，即，
故，解得，
故选:D
【典例2】已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由p、q分别定义集合和，用集合法求解.
【详解】由选项可判断出m≥0.
由q：“”可得：.
由p：“”可得：.
因为p是q的必要不充分条件，所以A.
若m=0时，，A不满足，舍去；
若m>0时，.
要使A，只需m>1.
综上所述：实数m的取值范围是.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2022秋·河南安阳·高三校联考阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】解方程得或-3，再将“”是“”的必要不充分条件转化为且，然后根据集合间的包含关系求即可.
【详解】解的或-3，设集合，方程的解集为集合，则且，所以或，
当时，，所以；
当时，不成立；
故选：B.
2．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知，若是的必要不充分条件，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件，解得范围．根据是的必要不充分条件，即可得出的取值范围．
【详解】条件，解得或．
条件，
是的必要不充分条件，
是的真子集，
．
故选：A．
3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若“”是“”的充分不必要条件，则，列出不等式组求解即可.
【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：B.
4．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）使得不等式对恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由不等式对恒成立得，再由充分不必要条件的概念即可求解
【详解】由不等式对恒成立，得，即，解得，
从选项可知是的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分三种情况求出使不等式恒成立的的取值范围，从而可求出使其成立的一个必要不充分条件
【详解】当时，不等式恒成立，
当时，不等式恒成立，等价于，
当时，不等式恒成立，等价于，
令，
，令，
则， ，
可知函数在上递增，在上递减，
所以当，即时，当时，，即，所以，
当时，即时，函数在递减，在上递增，所以当时，，所以，
综上，当时，不等式恒成立的充要条件为，
所以是“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件，
故选：B
6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题设条件转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求得单调性和最小值，结合题意，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且，
因为函数在上单调递增，即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以，
结合选项，可得时函数在上单调递增的一个充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
7．（2021秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用p是q的必要不充分条件,转化为集合与集合之间的关系求解即可.
【详解】由已知得命题为，
由是q的必要不充分条件可知，且，
设集合，集合，
则集合是集合的真子集，即，解得，经检验满足题意
则a的取值范围是，
故答案为：.
8．（2023·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
9．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知集合A={x|-10}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知，当B为空集时，1-m≥1+2m，解得m≤0，与m>0矛盾，故舍去；
当B不是空集时，需满足1-m<1+2m，且1-m≥-1，或1-m<1+2m，且1-m>-1，且1+2m≤2，解得0故答案为：
10．（2022秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】命题对应的集合为，命题对应的集合为，由p是q的充分非必要条件，可得是的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可.
【详解】解：由不等式，解得，
设命题对应的集合为，则，
由不等式，解得，
设命题对应的集合为，则，
因为p是q的充分非必要条件，
所以是的真子集，
则（不同时取等号），解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定
策略方法
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否结论：对原命题的结论进行否定．
【典例1】命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得B．都有
C．，使得D．，都有
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.
【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题
故否定形式是，都有.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）若命题，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题改写即可.
【详解】因为命题，
所以为，故选：C.
2．（2023·重庆·统考模拟预测）命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为，.
故选：C
3．（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，，，则（ ）
A．p是假命题，p否定是，，
B．p是假命题，p否定是，，
C．p是真命题，p否定是，，
D．p是真命题，p否定是，，
【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】由于是整数，是偶数，所以是假命题.
原命题是存在量词命题，
其否定是全称量词，注意到要否定结论，
所以的否定是“，，”.
故选：A
5．（2022秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知命题，．下列说法正确的是（ ）
A．p为真命题，：，
B．p为假命题，：，
C．p为真命题，：，
D．p为假命题，：，
【答案】C
【分析】根据方程与函数的关系结合零点存在性定理判断命题，再由含存在量词的命题的否定方法求其否定，由此确定正确选项.
【详解】方程可化为，设，则方程的根就是函数的零点，又当时，，当时，，由零点存在性定理知函数在区间内存在零点，故方程在上有解，故p为真命题，根据存在量词的命题的否定方法可得命题为，，所以C正确，
故选：C．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）给出如下几个结论:
①命题“”的否定是“”;
②命题“”的否定是“”;
③对于;
④，使.
其中正确的是（ ）
A．③B．③④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，
知①不正确，
命题“”的否定是“或 ”,故②不正确；
因为，
当且仅当即 时取等号，③正确；
由，比如时,,
故，使，④正确，
故选：B
题型四 根据命题的真假求参数的取值范围
策略方法
1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.
2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.
【典例1】已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，．
易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为．
故选：D．
【典例2】已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.
【详解】由题意可知，命题“”是假命题
则该命题的否定“”是真命题，
所以，解得；
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2022秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3B．-1【答案】C
【分析】先写出命题的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】命题是假命题，
命题的否定是：，且为真命题，
所以，
解得.
故选：C
2．（2023·江西九江·统考二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数a的取值范围．
【详解】因为命题：，，
所以：，，
又因为为假命题，所以为真命题，
即，恒成立，
所以，即，
解得，
故选：D．
3．（2023·陕西安康·统考二模）下列命题正确的是（ ）
A．“，”的否定为假命题
B．若“，”为真命题，则
C．若，，且，则
D．的必要不充分条件是
【答案】C
【分析】A选项，由题可知“，”的否定，后可判断选项正误；
B选项，利用全称命题定义可判断选项正误；
C选项，由基本不等式可判断选项正误；
D选项，由充分条件，必要条件定义可判断选项正误.
【详解】对于A：，∴恒成立，则，为假命题，故A错误；
对于B：当时，不恒成立，故B错误；
对于C：∵，∴，∴，解得，故C正确；
对于D：当时，得不到，但当时，必有，所以是的充分不必要条件，故D错误．
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中是真命题的个数是（ ）
（1）
（2）
（3）若为真命题，则
（4）为真命题，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】对（1）（2），由二次函数图象即可判断；
对（3），对称轴为，图象开口向上，命题为真等价于，求解即可；
对（4），，由均值不等式得，故命题为真等价于
【详解】对（1），由得与x轴有两个交点，故命题（1）为假命题；
对（2），图象开口向上，故命题（2）为真命题；
对（3），对称轴为，图象开口向上，故为真命题等价于，故命题（3）为真命题；
对（4），，∵，故命题（4）为真命题；
故选：C
5．（2021秋·吉林长春·高三校考期中）若命题“，”是假命题，则（ ）
A．的最小值B．的最小值
C．的最大值D．无最大值
【答案】A
【分析】根据命题的真假，找到真命题的形式，再根据二次函数的恒成立问题列式即可求解.
【详解】因为“，”是假命题，
所以“，”是真命题，
所以，
所以，
所以，
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的真假，转化为可求解.
【详解】命题“”是真命题，
则，
又因为，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A.
7．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
二、填空题
8．（2023·吉林·统考二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分析可知命题“，”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
当时，由可得，不合乎题意；
当时，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
9．（2023·高三课时练习）已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据条件进行转化，由等式得到函数，求出值域，再取补集即可.
【详解】由，可得：.
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上的值域为.
若命题“存在，使等式成立”是真命题，则.
所以命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数m的取值范围是或.
即实数m的取值范围是.
故答案为：.
10．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知命题：，，使得方程成立，命题：，不等式恒成立.若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】先求出命题和命题为真时对应的的取值范围，即可求出.
【详解】对于命题，当时，，当时，，
若命题为真，则，即，解得.
对于命题，当时，，，
若命题为真，则，则，
若命题为真命题，命题为假命题，则，所以，
综上可得的取值范围为.
故答案为：.充分、必要条件的判断
根据充分必要条件求参数的取值范围
全称量词命题与存在量词命题的否定
根据命题的真假求参数的取值范围
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有