新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-4抛物线练习课件

这是一份新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-4抛物线练习课件，共47页。
(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y -4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 (　     )A.l与☉A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
考点1　抛物线的定义和标准方程
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距 离为5,则|MF|= (　    )A.7　    B.6　    C.5　    D.4
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 ,则p=(　    )A.1　    B.2　    C.2 　    D.4
3.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离 为12,到y轴的距离为9,则p= (　    )A.2　    B.3　    C.6　    D.9
4.(2022全国乙,文6,理5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|= |BF|,则|AB|= (　    )A.2　    B.2 　    C.3　    D.3 
5.(2023全国乙,文13,理13,5分,易)已知点A(1, )在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　     　    .
6.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足 =9 ,求直线OQ斜率的最大值.
  解析    (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.设点P(4 ,4x0),Q(x1,y1),则 =(x1-4 ,y1-4x0),∵F(1,0),∴ =(1-x1,-y1),∵ =9 ,∴ 整理得 
第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.∴kOQ= = ,当kOQ最大时,x0>0,∴kOQ= ≤ = ,当且仅当4x0= 时取“=”,此时x0= ,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为 . 
考点2　抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ文,7,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两 点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 (　    )A. 　    B. 　    C.(1,0)　    D.(2,0)
2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一 点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 (　    )A.经过点O　    B.经过点PC.平行于直线OP　    D.垂直于直线OP
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=- (x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　    )A.p=2B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0) 上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　     )A.C的准线为y=-1　    B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2　    D.|BP|·|BQ|>|BA|2
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的 直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则     (　     )A.直线AB的斜率为2 　    B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|　    D.∠OAM+∠OBM0)的焦点为F,P为C 上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　    x=- 　    .
1.(2024山东潍坊一模,2)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离 为(　    )A.1　    B. 　    C. 　    D.2
2.(2024安徽黄山一模,2)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F ,则p的值为 (　    )A. 　    B. 　    C.1　    D.2
3.(2024浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中联考,4)抛物线y2=2px (p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为 (　    )A. 　    B.2　    C. 　    D.1
4.(2024 T8联盟联考一,3)若圆C:x2+y2-4x+3=0与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切,则抛物 线的焦点坐标为 (　    )A.(2,0)　    B.(0,2)　    C.(0,1)　    D.(1,0)
5.(2024湖北武汉二调,5)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,设 垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
6.(2024江西南昌一模,5)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上 一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为 (　    )A. x-y-3=0　    B.2x-y-1=0C.x-y-1=0　    D. x-y-2=0
7.(2024广东五粤名校第一次联考,3)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B 两点,则|AF|+4|BF|的最小值为 (　    )A.6　    B.7　    C.8　    D.9
8.(2024河北唐山一模,6)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于A,B两 点,与E的准线交于C、D两点,若|CD|=2 ,则|AB|= (　    )A.3　    B.4　    C.6　    D.8
9.(2024浙江金丽衢十二校联考,6)已知抛物线C1:x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C2交 C1于A,B两点,交C1的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆C2的方程为(　    )A.x2+(y-1)2=12　    B.x2+(y-1)2=16C.x2+ =3　    D.x2+ =4
10.(2024安徽阜阳一模,13)抛物线C1:y2=2px(p>0)绕其顶点逆时针旋转θ 之后,得到抛物线C2,其准线方程为 x+y+4=0,则抛物线C1的焦点坐标为　    (2,0)　    .
1.(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查,8)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F的直线交C 于A,B两点,M为AB中点,过M作准线的垂线,垂足为N,若|AF|=4,则|NF|= (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
2.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,P 为AB的中点,且 =2 ,则|FA|+|FB|的最大值为 (　    )A.4　    B.5　    C.3 　    D.4 
3.(多选)(2024山东临沂一模,11)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P 为W上一点. (　    )A.存在点P,使△PFC为等边三角形B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-12 
4.(多选)(2024湖南长沙雅礼中学月考七,10)抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成 的三角形称为阿基米德三角形,该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的 魅力.设A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点,以A(x1,y1),B(x2,y2)为切点的切线交于P点. 若弦AB过点F(0,1),则下列说法正确的有 (　     )A.x1x2=-4B.若x1=2,则A点处的切线方程为x-y-1=0C.存在点P,使得 · >0D.△PAB面积的最小值为4
5.(多选)(2024浙江杭州二模,11)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于A,B两点.抛物 线C在点A处的切线与直线x=-2交于点N,作NM⊥AP交AB于点M,则 (　    )A.直线NB与抛物线C有2个公共点B.直线MN恒过定点C.点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=1(x≠0)D. 的最小值为8 
6.(多选)(2024东北三省三校一模,10)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为 F,点P在抛物线C上,点Q在抛物线C的准线上,则以下命题正确的是 (　     )A.|PQ|+|PF|的最小值是2B.|PQ|≥|PF|C.当点P的纵坐标为4时,存在点Q,使得 =3 D.若△PQF是等边三角形,则点P的横坐标是3
7.(多选)(2024福建毕业班适应性练习,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线交x轴于 点D,过F的直线交C于A,B两点,AF的中点M在y轴上的射影为点N,|MN|=|NF|,则 (　    )A.|AF|=3|BF|　    B.∠ADB是锐角C.△BDN是锐角三角形　    D.四边形DFMN是菱形
8.(2024辽宁大连三校联考,13)已知抛物线C1:y2=2x,C2:y2=4x的焦点分别为F1,F2,点P,Q 分别在C1,C2上,且线段PQ平行于x轴.若△F2PQ是等腰三角形,则|PQ|=　     　    .
9.(2024湖南衡阳第二次联考,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛 物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|=　     　    .
10.(2024浙江金华十校模拟,18)设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=-1是抛物线C的准线,且 与x轴交于点B,过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,A(1,n)是不在直线l上的 一点,直线AM,AN分别与准线交于P,Q两点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:|BP|=|BQ|;(3)记△AMN,△APQ的面积分别为S1,S2,若S1=2S2,求直线l的方程.
  解析    (1)由题意知- =-1,则p=2,故抛物线C的方程为y2=4x. (3分)(2)证明:设l:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立 消去x得y2-4ty+4=0,则Δ=16(t2-1)>0,且  (5分)AM:y-n= (x-1),令x=-1,得P ,同理可得Q , (7分)
则|BP|=|yP|,|BQ|=|yQ|,因为yP+yQ=n- +n- =2n- =2n- =2n- =2n- =0,所以|yP|=|yQ|,故|BP|=BQ|. (10分)(3)解法一:设点A到直线PQ,MN的距离分别为d1,d2,易知d1=2.由(2)可得,d2= ,|MN|= =4 ,则S2= |PQ|d1=|PQ|= = , (13分)
S1= |MN|d2= ×4 · =2 ·|nt-2|, (15分)由S1=2S2得t2-1=2,解得t=± ,所以直线l的方程为x± y+1=0. (17分)解法二: = = = , (14分)所以 = = =t2-1. (15分)由S1=2S2得t2-1=2,解得t=± ,所以直线l的方程为x± y+1=0. (17分)
11.(2024湖北武汉四调,18)已知抛物线E:y=x2,过点T(1,2)的直线与抛物线E交于A,B两 点,设抛物线E在点A,B处的切线分别为l1和l2,已知l1与x轴交于点M,l2与x轴交于点N,设l1 与l2的交点为P.(1)证明:点P在定直线上;(2)若△PMN面积为 ,求点P的坐标;(3)若P,M,N,T四点共圆,求点P的坐标.
  解析    (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP).由y=x2,得y'=2x,所以l1的方程为y=2x1(x-x1)+y1,整理得y=2x1x- .同理,l2的方程为y=2x2x- .联立得 解得xP= ,yP=x1x2.设直线AB的方程为y=k(x-1)+2,联立得 消y得x2-kx+k-2=0,故x1+x2=k,x1x2=k-2,所以xP= ,yP=k-2,有yP=2xP-2.所以点P在定直线y=2x-2上. (6分)
(2)在l1,l2的方程中,令y=0,得M ,N ,所以△PMN的面积S= |MN|·|yP|= |(x1-x2)x1x2|= .故(x1-x2)2(x1x2)2=32,即[(x1+x2)2-4x1x2](x1x2)2=32,则(k2-4k+8)(k2-4k+4)=32.即[(k-2)2+8][(k-2)2-4]=0,解得k=0或k=4.所以点P的坐标为(0,-2)或(2,2). (11分)(3)抛物线的焦点坐标为F ,由M 得直线MF的斜率kMF=- =- ,所以MF⊥MP,同理NF⊥NP,所以PF是△PMN外接圆的直径.
若点T也在该圆上,则TF⊥TP.由kTF= ,得直线TP的方程为y=- (x-1)+2.又点P在定直线y=2x-2上.联立两直线方程,解得点P的坐标为 . (17分)
1. (多选)(2024河北联考,10)双曲抛物线又称马鞍面,因其形似马具中的 马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中, 将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动(两 条抛物线的顶点重合)所形成的就是马鞍面,其坐标原点被称为马鞍面的鞍点,其标准 方程为 - =2z(a>0,b>0),则下列说法正确的是 (　    ) 
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面,所得轨迹为双曲线B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线