新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-3双曲线课件

这是一份新高考数学一轮复习专题八平面解析几何8-3双曲线课件，共19页。
题型一　双曲线定义的应用及双曲线标准方程的求法1.应用双曲线定义解题的主要方向:一是判断平面内与两定点有关的动点的轨迹是不 是双曲线;二是利用定义求焦点三角形的周长,面积等.2.求双曲线标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b,得出a2,b2,写 出双曲线方程.(2)待定系数法:先确定焦点是在x轴上还是在y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2 的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不确定,那么可将双曲线方程设为 - =λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.
例1　已知F1,F2分别为双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,∠AF1F2=30°,△AF1F2的面积为6 ,则C的方程为 (　    )A. - =1　    B. - =1C. - =1　    D. - =1
  解析    因为|F1A|=2|F2A|,所以|F1A|>|F2A|.又因为点A在C上,所以|F1A|-|F2A|=2a,即2|F2A|-|F2A|=2a,所以|F2A|=2a,|F1A|=4a.在△AF1F2中,由正弦定理得 = ,所以sin∠AF2F1= =1,
又0°0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若 = , · =0,则C的离心率为　　　    .
  解析    解法一:双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,∵ · =0,∴F1B⊥F2B,∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示, 
不妨设点B在第一象限,由 得点B(a,b),∵ = ,∴点A为线段F1B的中点,∴A ,将其代入y=- x得 = × .解得c=2a,故e= =2.
解法二:如图,由 = 知A为线段F1B的中点, ∵O为线段F1F2的中点,∴OA∥F2B,∵ · =0,∴F1B⊥F2B,∴OA⊥F1A且∠F1OA=∠OF2B,
∵∠BOF2=∠AOF1,∴∠BOF2=∠OF2B,又易知|OB|=|OF2|=c,∴△OBF2为正三角形,可知 =tan 60°= ,∴e= = =2.
例3　过双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点F作渐近线的垂线,垂足为H,点O为坐标原点,若sin∠HOF>sin∠HFO,且直线y=2x与双曲线无公共点,则双曲线C的离心率的取 值范围为 (　    )A.( , ]　    B.( ,+∞)　    C.(1, )　    D.( , )
  解析    如图,在△OFH中,|OF|=c,|FH|=b,|OH|=a,(双曲线的焦点到其渐近线的距离为b) 因为sin∠HOF>sin∠HFO,所以由正弦定理可知b>a,即b2>a2,所以c2-a2>a2,即c2>2a2,得e> .
又因为直线y=2x与双曲线无公共点,所以 ≤2(易错:易忽略等号的情况),即b≤2a,结合a2+b2=c2,得c2≤5a2,所以e≤ .综上, 0,b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”,其方程为 - =0,请利用该方程证明如下命题:若T(m,n)为双曲线C上一点,直线l: - =1与C的两条渐近线分别交于点P、Q,则T为线段PQ的中点.
  解析    (1)直线与双曲线只有1个公共点.理由:∵点M(x0,y0)在双曲线 -y2=1上,∴ - =1,①由 得 x2+x0x-(1+ )=0,将①式代入,整理得x2-2x0x+ =0,∵Δ=4 -4 =0,∴该直线与双曲线有且只有1个公共点.
(2)(i)过双曲线 - =1(a>0,b>0)上一点(x0,y0)的切线方程为 - =1.(ii)证明:当n=0时,直线l的斜率不存在,此时T为双曲线与x轴的交点,由对称性知,点T为线段PQ的中点,当n≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(t,s),由  得 x2+2mx-a2=0,由 - =1将上式整理得x2-2mx+a2=0,∴t= =m,
又∵ - =1,(注意:点N(t,s)在直线l上)∴s=  =n,则N(m,n),∴点T与点N重合,∴点T为线段PQ的中点.综上,点T为线段PQ的中点.