安徽省马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题

这是一份安徽省马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题，共15页。试卷主要包含了2B．0，考察下列问题等内容，欢迎下载使用。

总分：150分考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前填写好自己的班级、姓名、考号等信息
2.请将答案填写在答题卡上，写在试卷和草稿纸上无效
第Ⅰ卷（客观题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．48D．80
2.已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A．3B．4C．9D．10
3.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
4.中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌5枚，冰上项目金牌4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．35B．50C．70D．100
5.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率D．事件A、B同时发生的概率
6.考察下列问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记；则（ ）
A．B．C．D．
7.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ）
A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
10.下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．在点处有切线，不一定存在
11.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质监检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于等于的数量，则
12.2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ）
A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则
B．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中的系数为 .（用数字作答）
14.已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数a的取值范围是 .
15.某学校在2022年1月高三期末考试中有980人参加了数学考试，若数学成绩（满分为150分），统计结果显示数学考试成绩在70分以上的人数为总人数的，则此次高三期末考试中数学成绩在70分到120分之间的学生有 人.
16.对于三次函数（），给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：
（1）函数的对称中心为 ；
（2） .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.一个盒子里装有5张卡片，其中有红色卡片3张，白色卡片2张，从盒子中任取2张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的2张卡片中，至少有1张红色卡片的概率；
（2）在取出的2张卡片中，白色卡片数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
18.在二项式的展开式中， .给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于37：
②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7∶2；
③所有偶数项的二项式系数的和为128.
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中x的系数：
（2）写出展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）.
19.已知函数（）.
（1）当时，讨论的导函数的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围.
20.已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品.
（1）如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率：
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品.
（ⅰ）求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率：
（ⅱ）已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率.
21.已知函数的图象在处的切线为.
（1）若函数，求函数的单调区间：
（2）设函数图象上存在一点处的切线为直线l，若直线l也是曲线（）的切线，证明：实数存在且唯一.
22.浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化。现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.
（1）用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
（2）随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“9A20”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用A款包装盒，成本a（）元，且每盒出现坏果个数满足；若采用B款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足（m为常数）；请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润.
参考数据：
；；；；；.
马鞍山中加双语学校2022-2023学年高二下学期第二次月考
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A
【详解】展开式的通项公式，
令，解得，所以展开式中项的系数为
2.C
【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴，
则
3.B
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以
4.B
【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为：2＋4和3＋3两类，
（1）若为“2＋4”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有种分组方式；将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；
（2）若为“3＋3”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有种分组方式，将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；由分类加法计数原理，则不同的报名方式有种
5.A
【详解】由题意可知阴影部分面积为：
6.C
【详解】由，解得，，则，又，所以.
7.D
【详解】令，，则，
∵，∴，∴函数在上单调递减，
∵，，∴，
即
∴且，解得，
∴实数m的取值范围为
8.D
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为，
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则；
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为，
则；
则，
；
即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大，选项D判断正确；选项BC判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ACD
【详解】五个球投入四个不同的盒子里共有种放法，A选项对，
若要放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，B选项错，D选项对，
将其中的4个球投入4个盒子里的一个，共有种放法，C选项对
10.AD
【详解】曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，如曲线在处的切线与曲线有另外一个交点，故A正确，B不正确；
不存在，曲线在点处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为，故C不正确；D选项正确。
11.ABC
【详解】由题意可知，，.
对于A，因为，所以，，故A正确；
对于B，因为，，
所以根据正态密度曲线的特点可知，故B正确；
对于C，因为，且，
所以，故C正确；
对于D，一只医用口罩过滤率小于的概率约为，
所以，故D错误.
12.BD
【详解】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有（种），其中恰有1名女志愿者的情况有（种），故，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
所以，故C错误.
对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
则，
，
则，故D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
【详解】展开式的通项公式为.当时，的展开式中的系数为；当时的展开式中的系数为.故的展开式中的系数为.
14.
【详解】对任意都存在使成立，
所以得到，而，所以，
即存在，使，此时，，所以，
因此将问题转化为存在，使成立，设，则，
，当，，单调递增，所以，即，所以，所以实数a的取值范围是.
15.560
【详解】因为数学成绩，所以其正态分布曲线关于直线对称，又因为成绩在70分以上的人数为总人数的，
由对称性知成绩在70分到120分之间的人数为总人数的，
所以此次数学考试成绩在70分到120分之间的学生有（人）.
16.（1）；（2）2013
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：
（1）设“取出的2张卡片中，至少有1张红色卡片”为事件A，则；
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以X的分布列为
随机变量X的数学期望：.
18.解：
（1）因为展开式中第项的二项式系数为，
若选①，则，即，即，即.解得或（舍去）
若选②：则，解得；
若选③：则，解得；
综上可得即为则展开式的通项为，
令解得，所以，故展开式中x的系数为112；
（2）因为展开式中一共含有9项，故第5项二项式系数最大，
，即展开式中二项式系数最大的项为.
19.解：
（1）当时，，，
当时，，的单调递减区间为；
当时，，的单调递增区间为；
（2），
（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，.
（ⅱ）当时，，由，得，
①当时，，所以时，，在上单调递增，
又由，所以，即在上单调递增，所以有.
②当时，，当时，，在上单调递减，
又由，所以，所以在上单调递减，
所以有，故此时不满足，
综上，.
20.解：
（1）令事件“第i次从乙箱中取到次品”，，2，
则，，，
因此，
所以第2次取到次品的概率是；
（2）（ⅰ）令事件“从乙箱取一个正品”，事件“从甲箱中取出两个正品”，事件“从甲箱中取出一个正品一个次品”，
事件“从甲箱中取出两个次品”，，，互斥，且，
，，，
，，，
则，
所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是；
（ⅱ）依题意，从甲箱中取出的是2个正品的概率即是在事件A发生的条件下事件发生的概率，
则，
所以从甲箱中取出的是2个正品的概率是.
21.解：
（1）函数定义域为，求导得：，
因的图象在处的切线为，则有，解得，即，因此，，且，，所以函数的单调递增区间为和；
（2）由函数得，，，
则切线l的方程为，即，
设直线l与曲线相切于点（），由求导得：，
则直线l的方程也为，即，
因此有：，即，整理得：，
由（1）知，在区间上递增，
又，，
于是得方程必在区间上有唯一的根，即方程在上有唯一的根，因，，因此，方程在上唯一的根就是，而，所以存在且唯一.
22.解：
（1）由题意得：，所以，，
则，，所以，
设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A，则
；
（2）由，解得：，所以，，2，3，采用A款包装盒获得利润的数学期望
，
采用B款包装盒获得利润的数学期望
，
令，解得：；
由于，令，解得：；
令，解得：；
故当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
X
0
1
2
P