2023-2024学年河北省石家庄市高二（上）期末数学质检试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市高二（上）期末数学质检试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3−5t2，则汽车在t=2时的瞬时速度为( )
A. 10B. 14C. 4D. 6
2.将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是( )
A. 6B. 24C. 60D. 120
3.设离散型随机变量X的分布列为：则q=( )
A. 12B. 1− 22C. 1+ 22D. 1± 22
4.已知一组观测值(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)满足yi=a+bxi+ei(i=1,2,⋯,n)，若ei恒为0，则R2=( )
A. 0B. 0.5C. 0.9D. 1
5.(x y−y x)4的展开式中x3y3的系数为( )
A. −4B. 4C. −6D. 6
6.李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数f(x)=1 2πσe(x−μ)22σ2的图像如图所示，其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差，且P(|X−μ|≤σ)=0.6827，P(|X−μ|≤2σ)=0.9545，P(|X−μ|≤2σ)=0.9545，P(|X−μ|≤3σ)=0.9973.关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是( )
A. 甲班的平均分比乙班的平均分高
B. 相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散
C. 甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D. 乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等
7.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有( )
A. 51种B. 45种C. 48种D. 42种
8.已知函数f(x)=(x−1)ex−kx3+1，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，则实数k的取值范围是( )
A. (0,e3]B. (−∞,e3]C. (0,13)D. (−∞,13)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 对于独立性检验，χ2的值越大，说明两事件的相关程度越大
B. 以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，若其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3(e为自然对数的底数)
C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y =a +b x中，b =2,x−=1,y−=3，则a =1
D. 通过回归直线y​=b​x+a​及回归系数b​，来精确反映变量的取值和变化趋势
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A. C32+C42+C52+⋯+C112=220
B. 记第n行的第i个数为ai，则i=1n+13i−1ai=4n
C. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
D. 第30行中第12个数与第13个数之比为12：19
11.某大学文学院有A、B两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A的概率为13；他第二天去自习室B的概率为14；如果他第一天去自习室A，则第二天去自习室B的概率为12.下列说法正确的是( )
A. 小王两天都去自习室A的概率为14 B. 小王两天都去自习室B的概率为112
C. 小王两天去不同自习室的概率为34 D. 如果他第二天去自习室B，则第一天去自习室A的概率为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则E(ζ)= ______．
13.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0,1,2,3,⋯,n}(n∈N∗)，则X，Y的散度D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i).若X，Y的概率分布如下表所示，其中014.若二次函数f(x)=2x2+3的图象与曲线C：g(x)=aex+3(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=x3−3x2−9x+8．
(1)求f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)在[−2,4]上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
已知f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x−3)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+an(x−1)n．
(Ⅰ)求a2的值；
(Ⅱ)求a1+a2+a3+⋯⋯+an的值；
(Ⅲ)求a1+2a2+3a3+⋯+nan的值．
17.(本小题15分)
在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人.经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
(Ⅰ)请完成下列2×2列联表.并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；(结果均保留到小数点后三位)
(Ⅱ)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(Ⅲ)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为P(k)，当P(k)取最大值时，求k的值．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题17分)
一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下：
时间t与答对人数y和lgy的散点图如图：

附：i=110ti2=38500,i=110yi=342,i=110lgyi=13.52,i=110tiyi=10960,i=110tilgyi=621.7，对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，⋯，(un,vn)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线方程v =α +β u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β​=i=1nuivi−nu−v−i=1nui2−nu−2，α =v−−β u−.请根据表格数据回答下列问题：
(Ⅰ)根据散点图判断，y=at+b与lgy=ct+d哪个更适宜作为线性回归模型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果，建立y关于t的回归方程；(a,b或c，d的计算结果均保留到小数点后三位)
(Ⅲ)根据(Ⅱ)请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍.(结果四舍五入保留整数)(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg3≈0.48)．
19.(本小题17分)
对于正实数a，b(a>b)，我们熟知基本不等式：G(a,b)(1)设x>1，求证：2lnx(2)若不等式G(a,b)+A(a,b)>m⋅L(a,b)对任意正实数a，b(a>b)恒成立，求正实数m的取值范围．
答案解析
1.C
【解析】解：∵s(t)=2t3−5t2，
∴汽车的速度为v(t)=s′(t)=6t2−10t，
∴v(2)=s′(2)=6×22−10×2=4．
故选：C．
2.B
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，
②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有A33=6种分法，
则有4×6=24种不同的分法；
故选B．
3.B
【解析】解：由题意可得：1−2q+q2+12=1，且1>1−2q>0，q2+12<1，解得：q=1− 22，
故选：B．
4.D
【解析】解：若ei恒为0，则残差平方和i=1n(yi−yi)2=i=1nei2=0，
所以R2=1−i=1n(yi−y1)2i=1n(yi−y−)2=1−0=1．
故选：D．
5.D
【解析】解：(x y−y x)4的展开式中，通项公式为Tr+1=C4r(x y)4−r(−y x)r=(−1)rC4rx4−r2y2+r2，r=0，1，2，3，4，
令r2=1，得r=2，
故(x y−y x)4的展开式中x3y3的系数为(−1)2C42=6．
故选：D．
6.D
【解析】解：选项A：甲班的平均分98分，乙班的平均分100分，
则甲班的平均分比乙班的平均分低，A错误；
选项B：乙班的图象比甲班的图象更“矮胖”，
则相对于甲班，乙班学生的数学成绩更分散，B错误；
选项C：甲班f(x)=1 2πσe(x−μ)22σ2的最大值为15 2π，σ=5，
则P(X>108)=12×[1−P(|X−μ|≤2σ)]=0.02275≠4.55%，C错误；
选项D：乙班f(x)=1 2πσe(x−μ)22σ2的最大值为16 2π，σ=6，
则P(X>112)=12[1−P(|X−μ|≤2σ)]=0.02275，
又甲班和乙班两个班的人数相等，
则乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，D正确．
故选：D．
7.A
【解析】解：若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有C32C31种情况，
若这两个人选报的另外的学科不同，则共有C32C32A22C21种情况，
若三个人全部都报名数学竞赛，则共有A33种情况，
所以不同的参赛方案有：C32C31+C32C32A22C21+A33=51种情况，
故选：A．
8.B
【解析】解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)得(x1−x2)f(x1)>(x1−x2)f(x2)，
不妨设x1，x2∈(0,+∞)，且x1>x2，则f(x1)>f(x2)，
故问题等价于函数f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立，
f′(x)=xex−3kx2≥0⇒3k≤exx在(0,+∞)恒成立，
令g(x)=exx，
所以g′(x)=(x−1)exx2，
则当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当0所以g(x)在x=1极小值也是最小值，
所以3k≤g(1)=e⇒k≤e3．
故选：B．
9.ABC
【解析】解：对于独立性检验，χ2的值越大，说明两事件的相关程度越大，故A正确；
y=cekx，
则lny=lnc+kx，
设z=lny，若其变换后得到线性方程z=0.3x+4，
则lnc=4，k=0.3，即c=e4，故B正确；
回归直线方程y =a +b x中，b =2,x−=1,y−=3，
则3=2×1+a ，解得a =1，故C正确；
回归直线y​=b​x+a​及回归系数b​，
可以大致反映变量的取值和变化趋势，故D错误．
故选：ABC．
10.BD
【解析】解：根据题意，分析可得第n行的第r个数为Cnr−1，
依次分析选项：
对于A，C32+C42+C52+……+C112=C33+C32+C42+C52+……+C112−1=C123−1=219，A错误；
对于B，由二项式定理：i=1n+13i−1ai=(1+3)n=4n，B正确；
对于C，第2023行中从左往右第1011个数为C20231010，第1012个数为C20231011，两个数不相等，C错误；
对于D，第30行中第12个数为C3011，第13个数为C3012，两者之比为12：19，D正确．
故选：BD．
11.BC
【解析】解：设小王第一天去自习室A的事件为A1，第二天去自习室A的事件为A2，
设小王第一天去自习室B的事件为B1，第二天去自习室B的事件为B2，
故P(A1)=13，P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=14，
又P(B2|A1)=P(A1B2)P(A1)=12，故P(A1B2)=12×13=16，
则P(B1B2)=P(B2)−P(A1B2)=14−13×12=112，故B正确；
∵P(A2|A1)=P(A1A2)P(A1)=12，∴P(A1A2)=12×13=16，故A错误；
设小王两天去不同自习室的事件为C，
则P(C)=1−P(A1A2)−P(B1B2)=1−16−112=34，故C正确；
P(A1|B2)=P(A1B2)P(B2)=13×1214=23，故D错误．
故选：BC．
12.1
【解析】解：ξ的所有可能取值为0，1，3，
ξ=0表示三位同学全坐错了，有2种情况，
即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，
则P(ξ=0)=2A33=13，
ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ=1)=C31A33=12，
ξ=3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ=3)=1A33=16，
所以ξ的分布列为：
E(ξ)=0×13+1×12+3×16=1．
故答案为：1．
13.[0,+∞)
【解析】解：根据已知公式D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)，
得D(X||Y)=12ln12(1−p)+12ln12p=12ln14p(1−p)，4p(1−p)=−4p2+4p，
令y=−4p2+4p，开口向下，对称轴为p=12，
∴−4p2+4p在0则14p(1−p)≥1，
则D(X||Y)=12ln14p(1−p)≥0，
故答案为：[0,+∞)．
14.(0,8e2]
【解析】解：由f(x)=2x2+3，可得f′(x)=4x，
由g(x)=aex+3，可得g′(x)=aex，
设公切线与f(x)=2x2+3的图象相切于点(x1,2x12+3)，
与g(x)=aex+3的图象相切于点(x2,aex2+3)，
所以4x1=aex2=aex2+3−(2x12+3)x2−x1=aex2−2x12x2−x1，即2x1=2x1−x12x2−x1，
可得x1=0或2x2=x1+2，
因为4x1=aex2，a>0，则x1>0，2x2=x1+2>2，即x2>1，
a=4x1ex2=4(2x2−2)ex2=8(x2−1)ex2，x2>1，
令ℎ(x)=8(x−1)ex,x>1，可得ℎ′(x)=8ex−8ex(x−1)e2x=16−8xex，
由ℎ′(x)>0可得12，
所以ℎ(x)=8(x−1)ex在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
所以ℎ(x)max=ℎ(2)=8×(2−1)e2=8e2，
所以实数a的取值范围是(0,8e2],
故答案为：(0,8e2]．
15.解：(1)函数f(x)=x3−3x2−9x+8，函数的导数为f′(x)=3x2−6x−9．
f′(1)=−12，f(1)=−3，
f(x)在x=1处的切线方程：y+3=−12(x−1)，
即12x+y−9=0．
(2)令f′(x)=0，3x2−6x−9=0，解得x1=3，x2=−1．
当−1即f(x)的单调递减区间(−1,3)，
x<−1或x>3，可得f′(x)>0，
∴函数单调递增区间(−∞,−1)，(3,+∞)．
∴f(x)的极大值点x=−1，f(−1)=13，
∵f(−2)=(−2)3−3(−2)2−9(−2)+8=6，
f(4)=43−3×42−9×4+8=−12，
∴函数的最大值为：13，最小值为−12．
【解析】(1)求出函数的导数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
(2)求解极值点，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
16.解：(Ⅰ)∵2n=512，
∴n=9．
又(2x−3)9=[2(x−1)−1]9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+...+a9(x−1)9，①
∴a2=C9222(−1)7=−144；
(Ⅱ)在①中，令x=1，得a0=−1，
令x=2，得a0+a1+a2+...+a9=1，
∴a1+a2+a3+⋯⋯+a9=2；
(Ⅲ)对①式等号两端求导，
得2×9(2x−3)8=a1+2a2(x−1)+3a3(x−2)2+...+9a9(x−1)8，
令x=2，得a1+2a2+3a3+...+9a9=18．
【解析】(Ⅰ)由(2x−3)9=[2(x−1)−1]9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+...+a9(x−1)9，可求a2的值；
(Ⅱ)令x=1，2可求得a1+a2+a3+⋯⋯+an的值；
(Ⅲ)对已知等式等号两端求导后赋值x=2，可求a1+2a2+3a3+⋯+9a9的值．
17.解：(Ⅰ)2×2列联表如下：
零假设H0：成绩是否优秀与上课是否转笔无关，
χ2=100(25×10−45×20)270×30×45×55=169002079≈8.129>6.635，
根据小概率值k=0.01的独立性检验，推断H0不成立，
所以有99%的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．
(Ⅱ)根据频率分布直方图大于600分的频率为(0.0125+0.0025)×20=0.3，
小于600分的频率为1−0.3=0.7，
故由分层抽样知，抽取的10人中合格有10×0.7=7人，优秀的为10×0.3=3人，
则从这10人中随机抽取5人，合格人数X服从超几何分布，
由题意X的可能值为2，3，4，5，
故P(X=2)=C72C33C105=21252=112，
P(X=3)=C73C32C105=512，
P(X=4)=c74C31C105=512，
P(X=5)=C75C30C105=112，
故X的分布列为：
E(X)=2×112+3×512+4×512+5×112=72．
(Ⅲ)由题意随机抽取1人则其上课转笔的概率为45100=0.45，
故根据题意k～B(20,0.45)，则P(k)=C20k×0.45k×(1−0.45)20−k，
若上课转笔的人数为k时，P(k)最大，
则C20k×0.45k×(1−0.45)20−k≥C20k+1×0.45k+1×(1−0.45)19−kC20×0.45k×(1−0.45)20−k≥C20k−1×0.45k−1×(1−0.45)21−k，
解得16920≤k≤18920，故k=9，
所以当P(k)最大时，k=9．
【解析】(Ⅰ)由卡方独立性检验计算可得；
(Ⅱ)由超几何分布的概率计算公式可得；
(Ⅲ)由二项分布的概率公式，结合求概率最大的方法P(k)≥P(k+1)P(k)≥P(k−1)可得．
18.解：(Ⅰ)根据散点图判断，lgy=ct+d更适作为线性回归类型；
(Ⅱ)根据(1)的判断结果，计算t−=110i=110ti=55，lgyi−=110i=110(lgyi)=1.35，
所以c =i=110tilgyi−10×t−lgyi−i=110ti2−10t−2=620.9−10×55×1.3538500−10×552=−0.0147≈0.015，
所以d =lgy−−c t−=1.35−(−0.015)×55=2.175，
所以lgy=−0.015t+2.175，
所以y与t的回归方程为y=10−0.015t+2.175；
(Ⅲ)回归方程y=10−0.015t+2.175中，令y=75，得10−0.015t+2.175=75，
即−0.015t+2.175=lg75，
又lg75=lg3+2lg5=lg3+2(1−lg2)=0.48+2×(1−0.3)=1.88，
所以−0.015t=1.88−2.175，
解得t≈19.7
所以估算要想答对人数不少于75人，至多间隔19.7分钟重新记忆一遍．
【解析】(Ⅰ)由散点图成线性分布，即可得出判断；
(Ⅱ)先建立lgy关于t的线性回归方程，再求y关于t的回归方程；
(Ⅲ)由(2)回归方程计算y=75时t的值即可．
19.证明：(1)令f(x)=lnx−12(x−1x)，有
f′(x)=1x−12−12x2=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2，
所以f′(x)≤0，得f(x)在1，+∞)上单调递减，
又f(1)=0，故当x>1时，f(x)<0，
因此，当x>1时，lnx<12(x−1x)；
要证G(a,b)只要证lnba令t= ab,(t>1)，由(1)有lnt<12(t−1t)，即得2lnt因此，2ln ab< ab− ba；
解：(2)由k⋅L(a,b)得k⋅a−blna−lnb< ab+a+b2恒成立，即得k⋅ab−1lnab< ab+12(ab+1)恒成立，
令t= ab,(t>1)，有k⋅t2−12lnt得k⋅t−12lnt<12(t+1)恒成立，所以k⋅t−1t+1−lnt<0恒成立，
令g(t)=k⋅t−1t+1−lnt，有
g′(t)=k⋅2(t+1)2−1t=2kt−(t+1)2(t+1)2⋅t=−t2+2(k−1)t−1(t+1)2⋅t，
(注：g(1)=0)
i当g′(1)>0时，即k>2时，
易知方程−t2+2(k−1)t−1=0有一根t1大于1，一根t2小于1，
所以g(t)在[1,t1)上单调递增，
故有g(t1)>g(1)=0，不符；
ii当0所以g′(t)≤0，从而g(t)在[1,+∞)上单调递减，
故当t>1时，恒有g(t)由i、ii可知，正实数k的取值范围为0因此，正实数k的最大值为2．
【解析】(1)令f(x)=lnx−12(x−1x)，由f′(x)≤0可证得f(x)在1，+∞)上单调递减，f(x)要证G(a,b)1)，由(1)有lnt<12(t−1t)，即可证得结论；
(2)由k⋅L(a,b)令t= ab，(t>1)，化简则有k⋅t−1t+1−lnt<0恒成立，令g(t)=k⋅t−1t+1−lnt，求导可得g′(t)=−t2+2(k−1)t−1(t+1)2⋅t，(注：g(1)=0)讨论可得g′(1)>0时，即k>2时，g(t)在[1,t1)上单调递增，及01
2
P
1−2q
q2+12
X
0
1
P
12
12
Y
0
1
P
1−p
p
上课转笔
上课不转笔
合计
优秀
合格
20
合计
55
100
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
时间t(分钟)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
答对人数y
98
70
52
36
30
20
15
11
5
5
lgy
1.99
1.85
1.72
1.56
1.48
1.30
1.18
1.04
0.7
0.7
ξ
0
1
3
P
13
12
16
上课转笔
上课不转笔
合计
合格
25
45
70
优秀
20
10
30
合计
45
55
100
X
2
3
4
5
P
112
512
512
112