[数学]宁夏回族自治区石嘴山市惠农区2024年中考模拟试题(解析版)

这是一份[数学]宁夏回族自治区石嘴山市惠农区2024年中考模拟试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的倒数是，
故选：D．
2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），
故选：C．
5. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约位数学家的《数学家传略辞典》中部分岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（ ）

A. 该小组共统计了100名数学家的年龄
B. 统计表中的值为5
C. 长寿数学家年龄在岁的人数最多
D. 《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有110人
【答案】D
【解析】A．年龄范围为的人数为10人，对应的百分比为，则可得（人），即该小组共统计了100名数学家的年龄，故选项正确，不符合题意；
B．由A选项可知该小组共统计了100名数学家的年龄，则，故选项正确，不符合题意；
C．由扇形统计图可知，长寿数学家年龄在岁的占的百分比最大，即长寿数学家年龄在岁的人数最多，故选项正确，不符合题意；
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有人，故选项错误，符合题意．
故选：D．
6. 若，则表示实数的点会落在如图所示数轴的（ ）
A. 段①上B. 段②上C. 段③上D. 段④上
【答案】B
【解析】，
∵
∴
∴
∴表示实数的点会落在如图所示数轴的段②上．
故选：B．
7. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ）

B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元，
由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，则可列方程为，故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】根据函数图象，可得当时，，故①正确；
∵在上，
∴是方程的一个解；故②正确；
∵，在抛物线上，
∴
解得：
∴
当时，
解得：
∴当时，，
当时，，
∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确；
∵，顶点坐标为，
∴对于抛物线，，当时，的取值范围是，故④错误．
故正确的有3个，
故选：B．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：___________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
10. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
【答案】5
【解析】根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
11. 如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为___________．
【答案】
【解析】∵
∴米落在阴影区域的概率为
故答案为：．
12. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______．

【答案】
【解析】方法一∶ 解：如图：连接，
由题意可得：，，，
∴，，
∴．
故答案为．

方法二∶解∶ 连接，
由题意可得：，
根据圆周角定理，知．
故答案为．

13. 如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将绕着点A顺时针旋转得到，则点B的对应点D的坐标是____________．
【答案】
【解析】当时，，则B点坐标为；
当时，，解得，则A点坐标为，
∴，
∵绕点A顺时针旋转后得到，
∴，，，，
∴轴，轴，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
14. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为___________（结果保留整数）
【答案】
【解析】如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
15. “人人关心节水，时时注意节水”，善于探究的小新同学观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小新同学用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的几组数据：
结合表中数据的规律请你估算在分钟时测量量筒的总水量是__________毫升．
【答案】
【解析】观察表格，可发现前一分钟比后一分钟多5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
把，代入，
可得，解得，
∴y关于t的表达式；
当时，，
故答案为：．
16. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为_____________米．（结果保留根号）

【答案】
【解析】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，

由题意可得，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵博雅楼顶部E的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
由题意可得四边形是矩形，
∴，
∵尚美楼顶部F的俯角为，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式，请写出单项式，并将该例题的解答过程补充完整．
解：由题意，第一步进行的是通分，
∴，
∴，
原式，
当时，原式．
18. 解不等式组：
解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
19. 如图，在中，．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
解：（1）依题意作图如下，则即为所求作的高：

（2）∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
20. 如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为．已知格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在方格纸中画一个等腰三角形，使底边长为，点在上，点在上；
（2）画出绕矩形的中心旋转后的．
解：（1）画法不唯一，如图，
（2）如图所示，
21. “道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份月销售量的增长率相同．
（1）求该品牌头盔月份的销售量；
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得
乙：，解得，
则甲所列方程中的表示__________，乙所列方程中的表示__________；
（2）若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润最大，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个?
解：（1）甲所列方程中的表示月份到月份月销售量的增长率；
乙所列方程中的表示月份月销售量；
故答案为：月份月销售量的增长率，份月销售量．
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元个，则每个的销售利润为元，月销售量为个，设总利润为，根据题意得，
∵，
∴当时，最大，最大值为
答：为使月销售利润最大，则该品牌头盔的售价应定为元/个
22. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)
数据统计表
数据折线统计图

根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：__________；___________；___________；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
解：（1）将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20，
∴A线路所用时间的中位数为：，
由题意可知B线路所用时间得平均数为： ，
∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次，
∴B线路所用时间的众数为：
故答案为：19，26.8，25；
（2）根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线．
因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线．
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
图象如图所示：

（2）由图象可知：不等式的解集为或；
（3）当点在轴正半轴上时：

设直线与轴交于点，
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴；
当点在轴负半轴上时：

，
∴
解得：或（不合题意，舍去）；∴．
综上：或．
24. 如图，为的直径，点是的中点，，垂足为，、的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
（1）证明：连接，如图所示，
∵点是的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵点C是的中点，
∴
∴
∵是直径，则，
又，则
∴
∴
∵，，
∴
（3）解：如图所示，连接，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∵，则，
∴．
25. 阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
解：（1）
当，时，
原式；
当，时，
原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
26. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
解：（1）延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案为：．
（2）在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．

（3）过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
年龄范围（岁）
人数（人）
25
11
10
时间（单位：分钟）
总水量（单位：毫升）
例：先化简，再求值：，其中
解：原式
……
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
632
B线路所用时间
b
26.5
c
6.36