专题03 一元二次方程的实际应用（原卷版讲义）

这是一份专题03 一元二次方程的实际应用（原卷版讲义），共13页。试卷主要包含了 简称， 注意事项，03万元，年人均是7， 构建数学模型等内容，欢迎下载使用。

知识点1：列方程解应用题的一般步骤
1. 简称：审、设、列、解、验、答.
2. 注意事项：第1步“审”一般不写出来,但它是最重要的一步，只有审清题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系，才能准确地列出方程,第5步“验”一般只写出验根后的结果即可，过程不必详述，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去.
知识点2：解决几何问题
解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题，并根据条件列方程计算,注意检验解出的结果是否符合实际.
知识点3：解决增长(降低)率问题
解决此类问题有两个关键点:（1）增长(降低)率是不变的,每次都一样;（2）要注意增长(降低)次数，每次的增长(降低)基数是不同的，每一次的增长(降低)量也不同.
知识点4：解决数字问题
解决此类题的关键是厘清数量关系，若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x，则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解.
知识点5：解决销售问题
解决此类问题的关键是熟练掌握等量关系:“每件利润－售价＝进价”“每件利润×销售量＝总利润”.
知识点6：解决动点问题
解决这类问题的关键是先设出未知数，再根据题意和图形表示出有关的量，最后由几何图形面积公式构造方程求解.
题型归纳
【题型1 传播问题】
1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了( )
A．12人B．12人C．13人D．14人
【题型2 增长率问题】
4．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）安徽省年人均是7.03万元，年人均是7.68万元．设人均年平均增长率是，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走，正月初一票房约为4.23亿，因受到同期其他电影的影响，票房走低，正月初三票房约为亿，若每天票房的下降率相同，设为，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）某市2023年的生产总值比2022年增长了，预计2024年比2023年增长．若这两年年平均增长率为x，则满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ．
【题型3 与图形有关的问题】
9．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（ ）

A．B．C．D．
10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成．
(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长；
(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践．
(1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）；
(2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米；
(3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由．
12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．

(1)______；
(2)的长度为______m（用含有的代数式表示）；
(3)当长方形区域的面积为时，求的长度．
13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
图1 图2
(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【题型4 数字问题】
14．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是
15．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为 ，这两个数分别为 ．
16．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．
【题型5 营销问题】
17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每周的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少元？
18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元．
(1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；
(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利)
19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？
20．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【题型6 动态几何问题】
21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于
22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为
(1) cm， cm；(用含x的式子表示)
(2)若的面积为，求x的值．
23．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为．
(1)当t为何值时，四边形的面积为？
(2)当t为何值时，线段的长为？
24．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？
25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为．
(1)当点在射线上时，，求的值．
(2)求出关于的函数关系式．
(3)当点运动多少秒时，．
【题型7 图表信息题】
26．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．

过关检测
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某城市美术馆今年1月份接待游客10万人，3月份接待游客12.1万人，则这两个月接待游客人数的月平均增长率为（ ）．
A．B．C．D．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，第一季度共销售该品牌电动自行车662辆，设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，则x满足的关系式是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24八年级下·安徽·期中）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为 ．
7．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为 ．

8．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元．
9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．

10．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题：
（1） ．
（2）关于x的方程（其中）的解为 ．
11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．
(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？
(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．
12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某电商在某短视频平台上直播带货，已知该电商销售的生活用品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商承诺直播间价格不高于110元件．根据之前的市场调研，商家发现当售价为110元件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当日销售量为30件时，该生活用品的售价为______元/件；
(2)求出该生活用品日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式；
(3)若要尽可能多的让利于顾客，同时销售该生活用品每天获利1200元，则该生活用品每件售价应定为多少元？
满分技法
传播问题要认真审题，找到题目的基准量和比较量，利用“基准量×（1±百分率）2=比较量”进行列方程求解.
满分技法
(1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1+x)2.依此类推,n 次增长后的值为a(1+x)n
(2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2.依此类推,n次降低后的值为a(1-x)n
满分技法
图形问题要定位清晰未知数，并利用等量关系列方程并求出所求数值.
满分技法
数字问题不算难，巧妙设元是关键
正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法:
(1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是工,则其余两个数分别为x-1,x+1.
(2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示:①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为 x-2,x,x十2.②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x，2x十2;三个连续奇数可以表示为2x-3,2x-1,2x+1.
(3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a十b.
(4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为100a十10b+c
满分技法
销售问题常用公式：
(1)利润＝售价－进价，利润率＝；
(2)打折后的价格=原价×打折数×；
(3)单位利润×数量＝总利润，单位售价×数量＝总售价;
(4)售价=进价×(1＋利润率);
(5)总利润=每件利润×销售量=总收入－总支出.
满分技法
解决动点问题的通用策略：
动点问题是动态几何问题最常见的形式之一，解决动点问题要先分析出动点的运动特点，包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间，再结合具体的几何图形，运用相关知识列方程求解,注意对所求结果要进行检验，看是否符合题意。
满分技法
解决图表信息题策略：
1. 仔细阅读题目，理解题目要求和所给图表的内容。
2. 提取关键信息并分析数据关系.分析不同数据之间的关联和差异，理解它们之间的因果关系或相关性。对于复杂的图表，可以尝试将数据转化为表格形式，以便更清晰地分析数据关系。
3. 构建数学模型.根据题目要求和所提取的信息，构建合适的数学模型或公式。使用数学模型进行计算或推理，得出题目的答案。