中考数学一轮复习专题3.3函数的实际应用(91题)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习专题3.3函数的实际应用(91题)(原卷版+解析)，共196页。试卷主要包含了一次函数的营销问题，二次函数营销问题，反比例函数与几何图形问题等内容，欢迎下载使用。

一、一次函数的营销问题
例1．5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力网络经济发展，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，经调查，用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，一部A型手机的进价比一部B型手机的进价高800元．
(1)求一部A、B两种型号手机的进价分别是多少元？
(2)若手机店购进A、B两种型号手机共30部进行销售，其中A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，已知A型手机的售价为每部4200元，B型手机的售价为每部2800元，且全部售出，设购进A型手机m部，全部售完两种手机后获得的利润为w元，求w与m之间的函数关系式，并求出销售这批5G手机获得的最大利润．
题型训练
1．2022年北京承办了第24届冬季奥林匹克运动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买，两种冬奥会纪念品，若购进种纪念品20件，种纪念品10件，需要2000元．若购进种纪念品10件，种纪念品8件，需要1150元．
(1)求购进，两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店购进这两种纪念品共1000件，总费用不超过60000元，销售每件种纪念品可获利润30元，每件种纪念品可获利润20元．设购进种纪念品件，请求出总利润最高时的进货方案．
2．新冠抗疫物资供应至关重要，某药店销售，两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元．
(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的进货量的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．
①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
②药店购进型，型口罩各多少只，才能使销售总利润最大?
3．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
4．某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．
(1)A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
5．某商店销售A，B两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的平板共100台，其中B型平板的进货量不超过A型平板的3倍．设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元．
(1)购进A型平板至少多少台？
(2)该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？
6．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
7．某电商平台销售神舟十三号飞船模型，进价每个80元，物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的60%．经试销发现，每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)请直接写出每天的销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元？
(3)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是多少元？
8．某便利店老板购进了A，B两种口罩各包供甲、乙两个便利店进行销售，预计两个店每包口罩的利润（单位：元）如下表：
(1)若甲店销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元；销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元，求甲店这两种口罩每包的利润各是多少元．
(2)若甲、乙两个便利店各配货包口罩，设给甲店配送A种口罩x包，两店总利润为w元，求w与x的函数关系．
(3)在（2）的条件下，且要保证乙店总利润不小于元的条件下，请你设计出使便利店老板盈利最大的配货方案，并求出最大利润．
9．我区应国家号召，认真贯彻落实党的二十大精神，全面推进乡村振兴，把富民政策一项一项落实好，特将农户种植的农产品包装成A、B两种大礼包，某超市预购进两种大礼包共400个，两种大礼包的进价和预售价如表．设购进A种大礼包x个，且所购进的两种大礼包能全部卖完时获得的总利润为W元．
(1)求W关于x的函数表达式（不要求写x的取值范围）；
(2)如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
10．受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？
二、二次函数营销问题
例2．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？
(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？
题型训练
1．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进两种类型的头盔，已知购进3个类头盔和4个类头盔共需288元；购进6个类头盔和2个类头盔共需306元．
(1)两类头盔每个的进价各是多少元？
(2)在销售中，该商场发现类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设类头盔每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．
2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元，每个月的销售量为件．
(1)则与的函数关系式为：______，自变量的取值范围是：______；
(2)每件商品的售价定为多少元时（为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，请直接写出的取值范围：______．
3．星星服装厂生产A品牌服装，每件成本为68元，零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，服装厂的利润为w元，问x为何值时，w最大？最大值是多少？
(3)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装x件，若星星服装厂欲获利不低于4320元，请直接写出x的取值范围．
4．为提高市民就餐质量，某快餐店试销一种套餐后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日纯收入．（日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出）
(1)填空：
①当时，y与x的函数关系式是_______________；
②当时，y与x的函数关系式是_______________．
(2)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？
5．红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为元，每月销售量为万件．
(1)请写出与之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润最大？最大利润是多少万元？
(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，请直接写出每月的售价的范围．
6．某公司销售一种商品，成本为元件，公司规定售价不能低于元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如表：
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)若该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是多少元？
7．东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
(3)若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
8．某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
9．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用天时间销售一种成本为元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n（株）与第x天（x为整数）满足关系式：，销售单价m（元/株）与x之间的函数关系为
(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?
(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y（元）关于第x（天）的函数关系式．
(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?
10．某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系．当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元．
(1)求，的值．
(2)当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？
(3)从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，从城运往城15件产品，直接写出，两城总运费的和（用含有的式子表示）．
题型2：函数与几何图形
一、一次函数与几何图形问题
例3综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点.直线与轴交于点，若点是线段上的一个动点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）.设点的运动时间为.
(1)求点和点的坐标；
(2)当的面积为12时，求的值；
(3)试探究，在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.
题型训练
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)设一次函数的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，则在y轴上是否存在一点P，使得，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
(3)若一次函数的图像与一次函数的图象交于点C，与x轴交于点D，当时，求m的值．
2．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点．
(1)求的值及点、的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，交直线于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)在直线上存在点D（不与C点重合），使，求点D的坐标．
4．如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为．
(1)请直接写出：
①___________；
②直线的函数关系式___________；
(2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标；
(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
(1)填空：线段的长为___________；
(2)折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交于点D，交于点E，连接，如图2．
①求线段的长___________．
②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，矩形的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点．
(1)求的值；
(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．
8．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．
(1)当点的坐标为时，求的值．
(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．
(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．
点的坐标为_____．
当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
9．如图1，在边长为的正方形中，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点从点出发，沿路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时点、点同时改变速度，点的速度为每秒，点的速度为每秒，图2是点出发秒后的面积与关关系的图象．
(1)根据图象得_______；
(2)设点P已行的路程为，点还剩的路程为，试分别求出改变速度后，，和出发后的运动时间x（秒）的关系式；
(3)若点P、点Q在运动路线上相距的路程为，求x的值．
10．如图，直线分别与轴、轴交于A、B两点．
(1)A点的坐标______、B点的坐标______．
(2)已知点坐标为，设点关于直线的对称点为，请直接写出点的坐标；
(3)请在直线上找一点，使的周长最短，求出点的坐标．
(4)请在直线和y轴上分别找一点M、N使的周长最短，直接写出最短周长．
二、二次函数与几何图形问题
例5.如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为、，二次函数的图象为．
(1)向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A，求抛物线的表达式；
(2)平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A、两点，抛物线与轴交于点，求抛物线的表达式以及点的坐标；
(3)在（2）的条件下，记中点为，点为抛物线对称轴上一点，当与相似时，求点的坐标．
题型训练
1．如图，抛物线：与y轴交于点A，抛物线：与y轴交于点B，抛物线与相交于点C，点C的横坐标为－1，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，交抛物线于点E．
(1)求抛物线和的对称轴；
(2)求线段的长；
(3)直线与抛物线和分别交于，两点．若，请直接写出的值．
2．如图，二次函数的图象交x轴于，，交y轴于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标；
(3)若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形面积的最大值．
3．若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分．求直线的表达式；
(3)如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，．
①当时，求点P的坐标；
②求m的最大值
4．已知抛物线的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当△ACE的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过点，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标；
(3)将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围_______．
6．二次函数的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若，求点P的坐标．
7．已知二次函数的解析式为．
(1)若该二次函数过点，求m的值；
(2)若该二次函数的图象过点，，且，结合图像，求n的取值范围；
(3)直线与x轴交于，与y轴交于B点，过B点作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于P、Q点（点P在点Q的左侧），若和中有且仅有一个为钝角三角形，求m的取值范围．
8．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于点E，B．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点N的坐标．
11．已知：二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点坐标为______；
(3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______
(4)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离最大值时点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点为，连接．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)依题补图1：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的值；
(3)如图2，过点作直线，和轴交点为，在点沿着抛物线从点到点运动过程中，当与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．
三、反比例函数与几何图形问题
例5. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图像交于点，．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的左侧）．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)考察反比函数的图像，当时，请直接写出自变量的取值范围．
题型训练
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是线段上的动点，且反比例函数（）的图象经过点C．
（1）在反比例函数（）的图象中，y随x的增大而_____________；（填“增大”或“减小”）
（2）当C为的中点时，k的值为_____________；
（3）当点C在线段上运动时，k的取值范围是_____________．
3．如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，点是中点，反比例函数的图像经过点，并交于点．
(1)求的值；
(2)求五边形的面积．
4．如图，已知点A在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，过点A作轴，垂足为B，且．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点在x轴的正半轴上，将线段绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数在第一象限的图象上，求m的值．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，．
(1)求a的值和反比例函数的解析式．
(2)若，直接写出自变量x的取值范围．
(3)若点D在x轴正半轴上，且，连接，，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与轴交于点，第一象限内点在反比例函数的图像上，且以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点．
(1)求的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)当时，直接写出的取值范围．
7．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B、D，连接．点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，．设直线的解析式为．
(1)请结合图像直接写出不等式的解集；
(2)求直线的解析式；
(3)平行于y轴的直线与交于点E，与反比例函数图像交于点F，当这条直线左右平移时，线段的长为，求n的值．
8．如图，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与x轴交于点E，与y轴交于点C，轴，垂足为D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
9．已知函数的图象与函数的图象在同一平面直角坐标系内，函数的图象与坐标轴交于，两点，点是直线上一点，点与点关于轴对称，线段交轴于点．
(1) ， ．
(2)如果线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，求的值．
题型3：二次函数建模问题
例6. 某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离为______米（精确到0.1）；
(3)在（2）的条件下，喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，请结合图象判断，此时喷泉______（填“会”或“不会”）喷到水池外；
(4)在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
题型训练
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是，宽是．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．
(1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是___________．
2．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到 处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？
3．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，她对此展开研究：测得喷水头距地面m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式（结果化为一般式）；
(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离．
4．一座桥如图，桥下水面宽度是米，高是米．要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；
②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
5．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度，跨度．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥改造为圆弧，跨度不变，且（2）中“脚手架”矩形仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度（结果精确到，参考数据：）．
6．上体育课时，阿进在某次试投铅球时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．建立如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，且点B是该函数图象上的一点．
(1)请你画出该函数的大致图象；
(2)若铅球推出的距离不小于的成绩为优秀，请通过计算，试求铅球落地的最远距离，并判断阿进此次试投的成绩是否能达到优秀．
7．如图，这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有，两个观测点，分别测得目标点火炬的仰角为，，米，，．可用位于点正上方2米处的发射装置（点），向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中点）．
(1)求火球运行轨迹的抛物线对应的函数表达式．
(2)说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标．
8．北京冬奥会跳台滑雪项目竞赛场地巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图的平面直角坐标系是跳台滑雪的截面示意图，运动员沿滑道下滑．在y轴上的点A起跳，点A距落地水平面x轴，运动员落地的雪面开始是一段曲线m，到达点B后变为水平面．点B距y轴的水平距离为．运动员（看成点）从点A起跳后的水平速度为，点G是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明G、A的竖直距离与飞出时间的平方成正比，且时；G、A的水平距离是米．
(1)求h与t的关系式（不写t的取值范围）；
(2)直接写出点G的坐标；（用含v、t、h的代数式表示）
(3)求运动员刚好落地的时间；
(4)奥运组委会规定，运动员落地点距起跳点的水平距离为运动员本次跳跃的成绩，并且参赛的达标成绩为，在运动员跳跃的过程中，点处有一个摄像头，记录运动员的空中姿态，当运动员飞过点C时，在点C上方可被摄像头抓拍到．
①当时，判断运动员成绩能否达标，并且能被C处摄像头抓拍；
②直接写出运动员成绩达标，并且能被C处摄像头抓拍，从点A起跳后的水平速度v的取值范围．
9．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形箱子示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且抛物线经过．已知，，．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子．
(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与拋物线形状相同的拋物线运动，且无阻挡时最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．
10．小张在学校进行定点处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为米时，球心距离地面的高度为米，现测量第一次投篮数据如下：
请你解决以下问题：
(1)根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
(3)第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
11．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________．
12．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
13．如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；
(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值；
(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
题型4：一次函数行程问题
例7．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2800米．甲从小区步行去学校，出发11分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知乙步行的速度比甲步行的速度每分钟慢20米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像；图2表示甲、乙两人之间的距离S（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像（不完整）．
根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
(1)甲步行的速度 米/分，乙出发时甲离开小区的路程 米；
(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
(3)当时，
①请直接写出S关于x的函数表达式；
②在图2中，画出当时S关于x的函数的大致图像．
题型训练
1．过年期间，小明和小华从居住的小区到距离小区 米的广场去看社火表演．小明步行，小华骑电动车，小明先出发6分钟，小华骑车行至一半时返回小区取相机．已知两人的速度保持不变，最后同时到达广场．如图是两人与小区之间的距离y（米）与小明出发时间x（分）函数关系的图象，
根据图中的信息，解决下列问题：
(1)求小明和小华出发后第一次相遇的时间；
(2)请指出小华取到相机后离开小区前往广场的图象，并求出该部分的函数表达式与自变量的取值范围．
2．甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地匀速行驶前往B地，甲到达B地立即沿原路匀速返回A地，图中的折线表示甲乘冲锋舟离A地的距离y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系：图中的线段表示乙乘冲锋舟离A地的距离y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系．根据图象解答问题：
(1)A，B两地之间的距离为 千米，线段对应的函数关系式为 ，线段对应的函数关系式为 ，线段对应的函数关系式为 ；
(2)求图中线段和的交点D的坐标．
(3)直接写出整个行驶过程中，甲、乙两人所乘坐的冲锋舟之间的距离为5千米时，对应的行驶时间x的值．
3．甲、乙两车从地到480千米的地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段、折线分别表示甲、乙两车所行路程（千米）与时间（小时）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，解决如下问题：
(1)甲车的速度是______千米/小时，乙车停车检修后再出发的速度是______千米/小时．
(2)求出乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式
(3)点的坐标是______．
(4)在乙车出发4.5小时至到达目的地这段时间内，当______时，两车相距60千米．
4．A、B两城相距千米，甲、乙两车从A城出发驶向B城，乙车的速度为千米/时，甲车先走千米乙车才出发，甲车到达B卸完货后立即返回A城，如图它们离A城的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求两车相遇时两车距B城多远？
(3)甲车从B城返回A城的过程中，再经过几小时与乙车相距千米？
5．如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，沿轨道向C匀速行驶，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为（秒），两车之间的距离为（米），则与的关系如图2所示，根据图象解决下列问题：
(1)甲车经过______秒追上乙车，______．
(2)设相遇前两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______；
设相遇后两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______．
(3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米?
6．小华从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像；图2中线段AB表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
(1)填空：妈妈骑车的速度是______米/分钟，小华步行的速度是______米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是______分钟，点M的坐标是______；
(2)在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数图像；
(3)求t为何值时，两人相距360米．
7．小颖和小明两人分别从甲、乙两地出发骑自行车沿相同的路线相向而行，图中折线和线段分别表示小颖和小明离甲地的距离（单位：米）与小颖行驶的时间（单位：分）之间的函数关系图象，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)小明骑车的速度为___________米/分，点的坐标为___________；
(2)求线段对应的函数关系式；
(3)请直接写出小颖出发多长时间和小明相距750米．
8．如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机 P的正下方．2号机从原点O处爬升到处便立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求后到达处．
(1)求的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
(2)求的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
9．我国边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部迅速派出快艇B追赶如图（1），图（2）中，中，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．
根据图象回答问题：
(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？
(2)A、B哪个速度快？
(3)15分钟内B能否追上A？为什么？
(4)如果一直追下去，那么B能否追上A？
(5)当A逃离海岸12海里时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？为什么？
(6)与对应的两个一次函数与中，、的实际意义各是什么？可疑船只与快艇的速度各是多少？
10．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为，，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
(1)图中的______，点坐标为_____；
(2)当何值时两车相遇？
(3)当何值时两车相距千米？
11．甲、乙两人在相邻的直跑道上进行了一次折返跑（即跑后马上折返跑回起点）训练．甲完成一次折返跑用时，乙完成一次折返跑用时．假设两人同时从同一起跑线出发，且跑步过程中保持匀速．设甲、乙两人离起点的距离为，跑步时间为．
(1)请在下面的直角坐标系中分别画出在本次折返跑过程中表示两人离起点的距离与跑步时间之间关系的图象；
(2)分别写出甲折返后和乙折返前与之间的关系式；
(3)在出发多少后，两人到起点的距离相等？
(4)当为何值时，两人之间相距5米？（直接写出的值即可）
题型5：反比例函数实际应用
例8．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______；
（2）当水温为时，______；
（3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______．
题型训练
1．已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表．
(1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ；
(2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象；
(3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ．
2．某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求与的函数关系式；
(2)求点的坐标；
(3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
3．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．
(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
4．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度微克毫升与服药时间小时之间函数关系如图所示当时，与成反比例．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式．
(2)问血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间多少小时？
5．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与轴的距离为8，与轴交于点，与滑道交于，且，轴，测得，到轴的距离为4，设．
(1)的值为______，点的坐标是______，______．
(2)一小球从点出发沿抛物线运动，落在滑道上点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线运动，若它的最高点的坐标为．
①求的解析式，并说明抛物线与滑道是否还能相交；
②在轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离的最大值和最小值各是多少？
6．如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)把上表中的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？
(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．
7．如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表．
(1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式；
(2)经过多少秒时，路程为0.225米？
(3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度）
8．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高米，宽米，出口点到的距离为米，求：
(1)段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)C点到轴的距离长是多少？
(3)若滑梯上有一个小球，的高度不高于米，则到的距离至少多少米？
A种口罩
B种口罩
甲店
a
b
乙店
0.8
1
大礼包类型
进价/（元/个）
售价/（元/个）
A
47
65
B
37
50
销售单价（元）
日销售量（件）
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…
0
2
4
6
…
1.8
3
3.4
3
…
（单位：Ω）
5
10
15
20
25
（单位：A）
0．4
10
15
20
25
30
30
20
15
12
10
t（秒）
0
0.4
0.8
1
1.2
1.6
…
s（米）
0
0.016
0.064
0.1
0.144
0.256
…
专题3.3 函数的实际应用（91题）
题型1：营销问题
一、一次函数的营销问题
例1．5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力网络经济发展，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，经调查，用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，一部A型手机的进价比一部B型手机的进价高800元．
(1)求一部A、B两种型号手机的进价分别是多少元？
(2)若手机店购进A、B两种型号手机共30部进行销售，其中A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，已知A型手机的售价为每部4200元，B型手机的售价为每部2800元，且全部售出，设购进A型手机m部，全部售完两种手机后获得的利润为w元，求w与m之间的函数关系式，并求出销售这批5G手机获得的最大利润．
【答案】(1)一部A、B两种型号手机的进价分别是3200元、2400元
(2)；销售这批5G手机获得的最大利润为21000元
【分析】（1）设A型手机进价为x元，则B型手机进价为元，由用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，再建立方程求解即可；
（2）根据利润等于销售两种手机的利润之和列函数关系式，再利用一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设A型手机进价为x元，则B型手机进价为元，
由题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
答：一部A、B两种型号手机的进价分别是3200元、2400元；
（2）根据题意得：

，
∵A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，
∴，
解得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为，
∴w与m之间的函数关系式为；销售这批5G手机获得的最大利润为21000元．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，一次函数的实际应用，理解题意，确定相等关系列方程与函数关系式是解本题的关键．
知识点训练
1．2022年北京承办了第24届冬季奥林匹克运动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买，两种冬奥会纪念品，若购进种纪念品20件，种纪念品10件，需要2000元．若购进种纪念品10件，种纪念品8件，需要1150元．
(1)求购进，两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店购进这两种纪念品共1000件，总费用不超过60000元，销售每件种纪念品可获利润30元，每件种纪念品可获利润20元．设购进种纪念品件，请求出总利润最高时的进货方案．
【答案】(1)购进A种纪念品每件需要75元，B种纪念品每件需要50元
(2)当购进A种纪念品400件，B种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元
【分析】（1）根据题意列出方程组解答即可得出；
（2）设购进A种纪念品a件，根据题意列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组得出a的取值范围，即可得出结论，找出总利润关于购买A种纪念品a件的函数关系式，由函数的性质确定总利润取最值时a的值，从而得出结论．
【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，
根据题意可知：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要75元，B种纪念品每件需要50元．
（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，
根据题意可得：，
解得：．
销售总利润．
∵
∴w随a的增大而增大
∴当时，获得利润最大，最大利润（元）．
答：当购进A种纪念品400件，B种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）列出关于两种纪念品单价的二元一次方程组；（2）列出关于购买A种纪念品件数x的一元一次不等式组，根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题．
2．新冠抗疫物资供应至关重要，某药店销售，两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元．
(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的进货量的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．
①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
②药店购进型，型口罩各多少只，才能使销售总利润最大?
【答案】(1)每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元
(2)①；②药店购进型口罩只，型口罩只，才能使销售总利润最大
【分析】（1）题目中明确给出两个等量关系，根据等量关系列出方程从而求出两种口罩的销售利润；
（2）①根据题意列出一次函数的解析式，并且确定一次函数的取值范围；根据一次函数的性质即可求得最大的销售总利润．
【详解】（1）解：设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元
根据题意得：
解得
答：每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元
（2）解：①根据题意得，
化简得：；
根据题意得
解得
∴
②∵，
∴随的增大而减小
∵为正整数
∴当时，取最大值，则，
∴药店购进型口罩只，型口罩只，才能使销售总利润最大
【点睛】本题是一元二次方程与一次函数的综合题，注意审清题意，明确一次函数性质是解题的关键．
3．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【答案】(1)
(2)2240元
(3)12元
【分析】(1)运用待定系数法求解即可．
(2)先计算每千克菠萝蜜的利润，乘以销售量即可．
(3)列方程求解，且取较大值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）（元）．
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元．
（3）依题意，得，
整理，得，
解得，．
∵要让顾客获得更大实惠，∴．
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式及其应用，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
4．某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．
(1)A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；
(2)有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三种：进A商品16件，B商品24件；
(3)购买A商品16件，购买B商品24件利润最大，最大利润840元．
【分析】（1）根据题意，找等量关系式，设未知数，列方程求解即可；
（2）根据题意，列不等式组，根据解集找整数解即可；
（3）根据一次函数的增减性求最值．
【详解】（1）解：设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为元，
由题意，得，
解得，
∴A商品每件的进价为(元) ，
答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；
（2）解：设A种商品的数量a件，B种商品的数量件，由题意，得
，
解得，
∵a为正整数，
∴a为14，15，16，
∴B种商品的数量为26，25，24，
所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；
第二种：进A商品15件，B商品25件；
第三种：进A商品16件，B商品24件；
（3）解：令所获利润为W元，则
，
∴，
∵，
W随a的增大而增大，
∴时，即A购买16件，B购买24件利润最大，
W最大元，
答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
5．某商店销售A，B两种型号的平板，销售一台A型平板可获利120元，销售一台B型平板可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的平板共100台，其中B型平板的进货量不超过A型平板的3倍．设购进A型平板x台，这100台平板的销售总利润为y元．
(1)购进A型平板至少多少台？
(2)该商店购进A型、B型平板各多少台，才能使销售利润最大？
【答案】(1)购进A型平板至少25台
(2)该商店购进A型平板25台、B型平板75台，销售利润最大
【分析】（1）根据B型平板的进货量不超过A型平板的3倍列出不等式，求解即可；
（2）先求出y与x的函数解析式，然后再根据x的取值范围和函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）解：设购进A型平板x台，则购进B型平板台，根据题意得：
，
解得：，
答：购进A型平板至少25台．
（2）解：该商店获得的利润为：
，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，获利最大，（台），
答：该商店购进A型平板25台、B型平板75台，销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和不等式的应用，根据题目中的不等关系列出不等式，是解题的关键．
6．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，当售价为30元时销量为200件，每涨1元少卖10件，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
(3)想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
【分析】（1）由每涨1元少卖10件，每月销售的数量（件）与销售单价（元）之间的关系为一次函数，即：，求之，再根据利润＝（售价－进价）×销售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%列出即为其自变量的取值范围；
（2）首先将二次函数化为顶点式，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（3）（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
【详解】（1）解：由每涨1元少卖10件，可知：
每月销售的数量（件）与销售单价（元）之间的关系为一次函数，即：，
当时，，∴，即：，
∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%
∴，即
则小明每月获得利润为：
即：每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；
（2）由（1）知
又∵，抛物线开口向下．
∴当时，随着的增大而增大，
∴当时，
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取得，
解这个方程得：，．
∵，抛物线开口向下．
∴当时，．
∵
∴当时，．
设每月的成本为（元），由题意，得：
∵，
∴随的增大而减小．
∴当时，的值最小，．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
【点睛】此题考查二次函数和一次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
7．某电商平台销售神舟十三号飞船模型，进价每个80元，物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的60%．经试销发现，每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)请直接写出每天的销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元？
(3)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)110元
(3)销售单价为120元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是4000元
【分析】（1）设销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出自变量的取值范围即可；
（2）根据每个神舟十三号飞船模型的利润销售量，列出一元二次方程，解方程取在范围内的值即可；
（3）根据销售利润每个神舟十三号飞船模型的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，
根据题意得，
，
解得：，
，
进价每个80元，物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的，
，
自变量的取值范围为，
每天的销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为；
（2）由（1）可知，，
根据题意可得，
，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
销售单价为110元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元；
（3）设该电商平台每天销售飞船模型的利润为，
由题意可得，，
整理得：，
，
该抛物线开口向下，有最大值，
当时，，
当销售单价为120元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是4000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
8．某便利店老板购进了A，B两种口罩各包供甲、乙两个便利店进行销售，预计两个店每包口罩的利润（单位：元）如下表：
(1)若甲店销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元；销售A种口罩包，B种口罩包，可以盈利元，求甲店这两种口罩每包的利润各是多少元．
(2)若甲、乙两个便利店各配货包口罩，设给甲店配送A种口罩x包，两店总利润为w元，求w与x的函数关系．
(3)在（2）的条件下，且要保证乙店总利润不小于元的条件下，请你设计出使便利店老板盈利最大的配货方案，并求出最大利润．
【答案】(1)甲店这两种口罩每包的利润A种元，B种元；
(2)（，且取整数）；
(3)甲店配送A种口罩包，得到甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为包，时利润最大，最大为元．
【分析】（1）根据销售金额列方程组直接求解即可得到答案；
（2）根据甲店配送A种口罩x包，得到甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为x包，最后根据利润等于利润单价与数量之积即可得到答案；
（3）根据乙店总利润不小于元列不等式，结合（2）函数性质即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得：，
答：甲店这两种口罩每包的利润A种元，B种元；
（2）解：由题意可得，设给甲店配送A种口罩x包，则有甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为x包，
（，且取整数）；
（3）解：由题意可得，
，
解得：，
∵，且，
∴随x增大而减小，
∴当时，最大，
，
∴甲店配送A种口罩包，得到甲店的B种口罩为包，乙店的A种口罩包，乙店的B种口罩为包，时利润最大，最大为元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解决销售利润问题，一次函数解决销售利润问题，一次函数择优方案选取，解题的关键是求出甲的两个利润，根据题意得到两种口罩的数量．
9．我区应国家号召，认真贯彻落实党的二十大精神，全面推进乡村振兴，把富民政策一项一项落实好，特将农户种植的农产品包装成A、B两种大礼包，某超市预购进两种大礼包共400个，两种大礼包的进价和预售价如表．设购进A种大礼包x个，且所购进的两种大礼包能全部卖完时获得的总利润为W元．
(1)求W关于x的函数表达式（不要求写x的取值范围）；
(2)如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)进货方案是：A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润；最大利润为6800元．
【分析】（1）利用总利润=（售价-进价）×数量这个公式计算总利润即可．
（2）根据一次函数的性质可得W随x的增大而增大，再利用两种大礼包的总费用不超过18000元，列不等式求出x的最大值即可．
【详解】（1）解：由表可知：
．
∴W关于x的函数关系式：；
（2）由题意得，
，
解得：．
∵，
∴，
∴W随x的增大而增大，
∴当时，．
∴进货方案是：A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润；最大利润为6800元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用及性质，能够通过条件写出一次函数关系式是解题关键．
10．受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？
【答案】(1)2，8
(2)共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个；购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少．
【分析】（1）设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元，根据1个型口罩和2个型口罩共需18元；2个型口罩和1个型口罩共需12元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设型口罩购进个，则型口罩购进个，根据其中型口罩数量不少于64个，且不多于型口罩的2倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案，设购进总费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：一个型口罩的进价为2元，一个型口罩的进价为8元．
（2）设型口罩购进个，则型口罩购进个，
依题意，得：，
解得：，
为整数，
可以取64，65，66，
共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个．
设购进总费用为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，
购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
二、二次函数营销问题
例2．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？
(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？
【答案】(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；
(2)当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；
(3)当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．
【分析】（1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题；
（2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．
（3）设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
【详解】（1）解∶设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得，
，
解得∶，
答∶甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；
（2）解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，由题意得，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∵费用不超过1000元，
∴，
解得∶，
∴（根），
∴当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；
（3）解：设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，由题意得，
，
∴当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数等知识，解题的关键是学会设未知数构建方程或不等式或二次函数解决问题，属于中考常考题型．
题型训练
1．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进两种类型的头盔，已知购进3个类头盔和4个类头盔共需288元；购进6个类头盔和2个类头盔共需306元．
(1)两类头盔每个的进价各是多少元？
(2)在销售中，该商场发现类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设类头盔每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．
【答案】(1)类头盔每个的进价是36元，类头盔每个的进价是45元
(2)，最大利润为2048元
【分析】（1）根据解决实际应用题的步骤，设、列、解、答，列出二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）根据题意，得到关于的函数解析式，从而利用二次函数的图像与性质得到，即当时，有最大值，最大值为2048，即可得到答案．
【详解】（1）解：设类头盔每个的进价是元，类头盔每个的进价是元，
根据题意得：，解得，
答：类头盔每个的进价是36元，类头盔每个的进价是45元；
（2）解：根据题意得：
∵，
∴当时，有最大值，最大值为2048，
∴关于的函数解析式为，最大利润为2048元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数的实际应用，读懂题意，根据相应关系得到方程组及函数表达式是解决问题的关键．
2．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元，每个月的销售量为件．
(1)则与的函数关系式为：______，自变量的取值范围是：______；
(2)每件商品的售价定为多少元时（为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，请直接写出的取值范围：______．
【答案】(1)，
(2)当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元
(3)
【分析】（1）设每件商品的售价上涨元，则每个月销量在210件的基础上减少，由此可得与的函数关系式，根据每件售价不能高于65元可确定自变量的取值范围；
（2）月利润等于销量乘以单件利润，据此列出二次函数，化为顶点式即可求出最值；
（3）月利润，函数图象的对称轴为，根据“售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，与的函数关系式为，
每件售价不能高于65元，
，
解得，
，
故答案为：，；
（2）解：设月利润为w，
，（且为正整数），
，
当时，w有最大值，
且为正整数，
当时，，（元），
当时，，（元），
当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）解：由题意得：，
函数图象的对称轴为：，
售价每件不低于58元时，即，又且为整数，
，且为整数，w随的增大而减小，
，
解得，
的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的在实际生活中的应用．最大销售利润的问题利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题关键．
3．星星服装厂生产A品牌服装，每件成本为68元，零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，服装厂的利润为w元，问x为何值时，w最大？最大值是多少？
(3)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装x件，若星星服装厂欲获利不低于4320元，请直接写出x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)零售商一次性批发A品牌服装件，当x为210件时，w最大，最大值是4410元；
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润单售价成本数量，分两种情况：当以及当，分别求出利润的最大值，再进行比较即可；
（3）根据题意结合函数性质解不等式即可求出答案．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为：，根据题意得：
解得：，
∴，
当时，由图象可知：，
∴y与x的函数关系式为：；
（2）解：分两种情况：
①当时，
，
∵，图象开口向下，
∴w有最大值，
∴当时，w最大，w最大值为4410元；
②当时，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，w最大（元），
∵，
∴x为210时，w最大，
答：零售商一次性批发A品牌服装件，当x为210件时，w最大，最大值是4410元；
（3）解：①当时，，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴函数图象开口向下，
∵获利不低于4320元，
∴；
②当时，，
∴，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式以及解不等式，根据题意找出关系式是解决本题的关键．
4．为提高市民就餐质量，某快餐店试销一种套餐后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日纯收入．（日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出）
(1)填空：
①当时，y与x的函数关系式是_______________；
②当时，y与x的函数关系式是_______________．
(2)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？
【答案】(1)①；②
(2)每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元
【分析】（1）①利用日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出得出函数关系式即可；②利用日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出得出函数关系式即可．
（2）根据（1）中y与x的函数关系式，结合一次函数和二次函数的性质即可得到每份套餐的售价应定为多少元，并且此时日纯收入的钱数可计算得出．
【详解】（1）解：①当时，y与x的函数关系式是
，
故答案为：；
②当时，y与x的函数关系式是
；
故答案为：
（2）解：当时，．
此时y随x的增大而增大，
∴当时，元，销量为400份，
当时，．
∴当时，y取得最大值，
∵x为正整数，
∴当时，，销量为：320份，
当时，，销量为，280份．
∵要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，
∴每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用以及分段函数的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
5．红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为元，每月销售量为万件．
(1)请写出与之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润最大？最大利润是多少万元？
(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，请直接写出每月的售价的范围．
【答案】(1)与之间的函数关系式为：
(2)当销售单价定为57元时，该公司每月销售利润最大，最大为2890万元
(3)每月的售价的范围
【分析】（1）根据题意可得与的函数关系式；
（2）计算利润＝销量×每件的利润，化为顶点式，即可得出答案；
（3）根据题意不等式，再结合的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
与之间的函数关系式为：；
（2）解：设当销售单价定为元时，该公司每月销售利润为万元，
则，
当销售单价定为57元时，该公司每月销售利润最大，最大为2890万元；
（3）解：由题意得：，
解得，
，
每月的售价的范围．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和二次函数的性质及不等式的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
6．某公司销售一种商品，成本为元件，公司规定售价不能低于元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如表：
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)若该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)该商品的销售单价定为元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是元
(3)该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是元
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数解析式，根据函数的性质和自变量的取值范围求函数最值；
（3）根据售价不能低于元件和该商品的日销售量不少于件求出的取值范围，再根据（2）中函数解析式，由函数的性质最值．
【详解】（1）设与的解析式为，
将和代入，
可得，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）设公司销售该商品获得的日利润为元，
，
，且，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：该商品的销售单价定为元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是元；
（3）当时，
解得，
，
由（2）知，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，最大，最大值为，
答：该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是元．
【点睛】本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
7．东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
(3)若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【答案】(1)每次下降的百分率是；
(2)每千克应涨价5元；
(3)应涨价元，此时每天的最大盈利是6125元．
【分析】（1）设每次下降的百分率是x，找出等量条件列方程求解即可；
（2）设每千克应涨价a元，利润为W，找出等量条件列方程求解即可；
（3）根据（2）中的，求二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率是x，则由题意列方程得：
解之得：（舍去），，
故每次下降的百分率是；
（2）解：设每千克应涨价a元，利润为W，则由题意列方程得：
令，解方程得：或，
∵要尽快减少库存，
∴取，即每千克应涨价5元；
（3）解：由（2）可得，
当时，W取最大值为6125元，
∴应涨价元，此时每天的最大盈利是6125元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题，二次函数的实际应用：销售问题，解该类题的关键是找出等量条件列方程求解，将销售问题中的最大利润问题转化成求二次函数最值问题．
8．某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
(1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y与x之间的函数表达式为．
(2)该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．
(3)当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，再在表中任选两组数据代入计算出k和b的值即可．
（2）依题意列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可．
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为，将表中数据（55，70）、（60，60）代入，得：，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为．
（2）由题意得：，
解得．
答：该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
，
∵，
∴当时，．
答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题目中的数量关系．
9．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用天时间销售一种成本为元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n（株）与第x天（x为整数）满足关系式：，销售单价m（元/株）与x之间的函数关系为
(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?
(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y（元）关于第x（天）的函数关系式．
(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?
【答案】(1)25元
(2)
(3)元
【分析】(1)根据x的值确定其范围，后选择准确的解析式代入计算即可．
(2)根据x的值确定其范围，后选择准确的解析式代入计算即可．
(3)分两种情况，分别确定最值，比较最值，确定计算即可．
【详解】（1）∵，
∴（元）．
（2）∵，
∴（元）．
∴．
（3）当时，
∴（元）．
∴．
∴，
∵，
∴，
即第15天时，利润最大，最大利润为元；
当时，
∴（元）．
∴．
∴y随x的增大而减小，
∴当时，
∴，
即第21天时，利润最大，最大利润为元；
∵，
∴，
∴基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠元．
【点睛】本题考查了分段函数的计算，函数的应用，二次函数的最值，反比例函数的性质，熟练掌握二次函数的最值，反比例函数的性质是解题的关键．
10．某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系．当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元．
(1)求，的值．
(2)当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？
(3)从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，从城运往城15件产品，直接写出，两城总运费的和（用含有的式子表示）．
【答案】(1)，
(2)城生产20件，城生产80件
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求出，的值；
（2）先根据（1）的结论得出与之间的函数关系，从而可得出，两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）设从城运往C地的产品数量为件，， 两城总运费的和为，则从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从而可得关于的不等式组，解得的范围，然后根据运费信息可得关于的一次函数，将的数值代入即可求得．
【详解】（1）由题意得：
，
解得，
∴，
（2）由（1）得：，
设， 两城生产这批产品的总成本为万元，
则，
，
，
∵，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为6600元，此时
答：城生产20件，城生产80件；
（3）设从城运往C地的产品数量为件，， 两城总运费的和为，则从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，
由题意得：，
解得：，
∴，
整理得：，
∵，
∴
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
题型2：函数与几何图形
一、一次函数与几何图形问题
例3综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点.直线与轴交于点，若点是线段上的一个动点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）.设点的运动时间为.
(1)求点和点的坐标；
(2)当的面积为12时，求的值；
(3)试探究，在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)4或6．
【分析】（1）在中，令得，即可求出，在中，令得，故；
（2）过C作轴于H，连接，由，解得，从而，由可得，故，又，可得，根据的面积为12，列方程，即可解得；
（3）①当时，过C作轴于H，求出，，表示出，，由，可得，即可解得；②当时，，即可得．
【详解】（1）解：在中，令得，
解得，
∴，
在中，令得，
∴；
（2）过C作轴于H，连接，如图：
在中，令得：，
解得，
∴，
∴，
由，得：，
∴，
∴，
∵点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，即，
解得；
（3）存在，理由如下：
①当时，过C作轴于H，如图：
∵，，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得；
②当时，如图：
此时，
∴，
∴ ，
综上所述，t的值为4或6．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，直角三角形的判定等知识，解题的关键是用含t的代数式表示的边长．
题型训练
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)设一次函数的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，则在y轴上是否存在一点P，使得，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
(3)若一次函数的图像与一次函数的图象交于点C，与x轴交于点D，当时，求m的值．
【答案】(1)
(2)或．
(3)m的值为或
【分析】（1）根据一次函数平移特点求出一次函数解析式即可；
（2）先根据题意画出图形，求出，，得出，，求出，然后分两种情况求出点P的坐标即可；
（3）根据题意画出图形，过点D作于点H，过点C作轴于点G，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质求出，得出，根据相似三角形的性质，求出，，求出点C的坐标，将点C的坐标代入函数解析式即可求出m的值；求出直线与y轴的交点E，作点E关于x轴的对称点F，连接，交直线于点，此时直线，关于x轴对称，根据对称性得出，证明，得出点也满足题意，将代入求出此时m的值即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图像向下平移2个单位长度得到，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：存在；理由如下：
∵一次函数的与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
∴，，
∴，
当点P在点B下方时，
∵，
，
∴，
∴，
∴点；
当点在点B上方时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
（3）解：直线与x轴，y轴的两个交点坐标分别为：，，
∵
∴当时，，
∴一次函数的图像一定经过点，
∴，
过点D作于点H，过点C作轴于点G，
∵，，
∴，
∴，
即，
即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，，
∴，
∴点C的坐标为，
把代入得：，
解得：；
∴直线解析式为，
把代入得：，
∴点E的坐标为，
则点E关于x轴的对称点，
连接，交直线于点，
此时直线，关于x轴对称，
∴，
∴此时，
∴点也满足题意，
把代入得：，解得：；
综上分析可知，m的值为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，数形结合．
2．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点．
(1)求的值及点、的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)2
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，
得，
解得，
一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，
当时，，
解得，即，
当时，，即，
，，；
（2）解：把点一次函数，得，解得，
，
当时，，即．
，
；
（3）解：点是轴上的一个动点，设，
，
，
，
或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，掌握一次函数的性质是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，交直线于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)在直线上存在点D（不与C点重合），使，求点D的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据直线的交点是二元一次方程组的解，建立方程组求解即可；
（2）求出B点坐标，依据，所以B是中点，设利用中点坐标公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：依题意得，
解得：
；
（2）B在直线上，
当时，，
，
，
所以B是中点，
则有，
解得：，
．
【点睛】本题考查了直线的交点坐标、与坐标轴交点坐标以及中点坐标公式；根据直线解析式求点的坐标是解题的关键．
4．如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为．
(1)请直接写出：
①___________；
②直线的函数关系式___________；
(2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①，②
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据点P的横坐标求解其纵坐标，根据对称性求出点B的坐标，并利用B、P两点的坐标写出直线的函数关系式；
（2）设出点Q的坐标，根据三角形的面积等于底乘以高以及题设中给出的条件，列方程求解点Q的坐标；
（3）设出点C的坐标，根据对称性求解点C关于直线的对称点D的坐标（用点C的坐标表示），再根据求解点C的坐标．
【详解】（1）将代入得：
令，则
∴点的坐标为：
∵点和点关于直线对称
∴点的坐标为：
设直线的函数关系式为：
将，代入得
∴，
∴直线的函数关系式为：
（2）设点的坐标为
，，
若点在轴的上方
点的坐标为
若点在轴的下方
点的坐标为
综上所述，点的坐标为或
（3）如图，
设y轴上一点C的坐标为，做出点C关于直线的对称点D，连接、，和交于点E，根据对称性易知点E是的中点，且，
设点D的坐标为，根据直线斜率和相应的正切值的关系容易证明，两条相互垂直的直线的斜率乘积为1，因此有，
因为点E是的中点，所以点E的坐标是，根据点E在直线上有
联立式①，②可以
所以点D的坐标为
根据对称性可知，，
所以，直线和直线的斜率乘积等于，可列出方程
代入
化简得，
，
解得：或
综上所述，点的坐标为，
【点睛】本题考查一次函数的关系式，一次函数与三角形面积的问题，一次函数的动点问题，解题的关键是能够根据题目的条件，分情况讨论．
5．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标；
(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用解析式中，，求出点A、C的坐标，即可得到点B的坐标；
（2）根据折叠得到．设，则，由勾股定理得，求出x即可．
（3）先求出直线解析式，由得，则点P在直线上．过P作于点Q，在中，，由面积法得到，
求出，代入，得到点P的坐标．
【详解】（1）解：令中，得，解得；
令，得，
∴，
∵以为边在第一象限内作长方形．
∴轴，轴，
∴,
故答案为：；
（2）由折叠知：．
设，则，
根据题意得：，
解得：．
此时，，
∴；
（3）存在点P，
设直线为，把代入，得
，
解得：．
∴直线解析式为．
由得，则点P在直线上．
过P作于点Q，
在中，
由得：
∴．
∴，
把代入，得．
此时．
【点睛】此题考查了一次函数图像的应用，勾股定理，等腰三角形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
(1)填空：线段的长为___________；
(2)折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交于点D，交于点E，连接，如图2．
①求线段的长___________．
②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①线段的长为5；②或或
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，利用矩形的性质及勾股定理，可得出的长；
（2）①设，则，在中，利用勾股定理可求出a的值，进而可得出线段的长；
②设点P的坐标为，利用两点间的距离公式可求出 的值，分及二种情况，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，进而可得出点P的坐标．
【详解】（1）当时，，
∴点C的坐标为；
当时，，解得：，
∴点A的坐标为．
由已知可得：四边形为矩形，
∴．
故答案为： ．
（2）①设，则．
在中，，即，
解得：，
∴线段的长为5．
②存在，设点P的坐标为．
∵点A的坐标为，点D的坐标为，
∴ ．
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为或；
当AP＝DP时，
解得：，
∴点P的坐标为．
综上所述：在y轴上存在点P，使得为以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、两点间的距离以及解解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）①通过解直角三角形，求出的长；②分及二种情况，找出关于t的一元一次方程．
7．如图，矩形的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点．
(1)求的值；
(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．
【答案】(1)
(2)点N的坐标为或
【分析】（1）根据矩形的性质得出 轴， 轴，可得点，将E代入解析式，即可求解；
（2）分当若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，M和N关于y轴对称，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，分别求出点N的坐标．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴ 轴， 轴，
∵一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，点E的横坐标为6，
∴，
∴点E，将点E代入，得：
，
解得： ；
（2）如图（1），若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，M和N关于y轴对称，
∵，
∴点M的纵坐标均是 ，
将 代入，
得： ，
解得： ，
∴点M ，
∴点N；
如图（2），若以为对角线，得到菱形，
则，
线段与线段的中点重合，
设点M的横坐标为a，则纵坐标为，
∴，
即 ，
解得： 或（舍去） ，
∴点，设点N ，
由（1）知： ，
∴ ，
解得： ，
∴点N ，
综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为或．
【点睛】此题考查一次函数的性质与菱形的判定与性质，矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得M的坐标是解决本题的关键．
8．点为平面直角坐标系中的任意一点，记（分别为点的横、纵坐标），把称为点的特征数．
(1)当点的坐标为时，求的值．
(2)若点的特征数是5，点的特征数是6，求点的坐标．
(3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为、、．
点的坐标为_____．
当且点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
当点在内部（不包含边界）时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)2
(2)点的坐标为
(3)；；
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据题意可得，解方程组即可得到点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质，对角线的性质，利用中点公式求解即可；由题意可知，再分别求出直线与直线的交点，两交点之间的部分即为的取值范围；由题意可得，再分别求出直线经过点和点时的值，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：点坐标为，
，
；
（2）解：点的特征数是5，点的特征数是6，
，
解得，
点的坐标为；
（3）解：，，
的中点为，
设，
，
解得：，
，
故答案为：；
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
直线与直线的交点为，
同理可求得直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
直线与直线的交点为，
在内部（不包含边界）时，的取值范围为；
，
，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
当，点在内部（不包含边界）．
【点睛】本题考查一次函数的性质和图象，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，直线交点的求法是解题的关键．
9．如图1，在边长为的正方形中，点从点出发，沿路线运动，到点停止；点从点出发，沿路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时点、点同时改变速度，点的速度为每秒，点的速度为每秒，图2是点出发秒后的面积与关关系的图象．
(1)根据图象得_______；
(2)设点P已行的路程为，点还剩的路程为，试分别求出改变速度后，，和出发后的运动时间x（秒）的关系式；
(3)若点P、点Q在运动路线上相距的路程为，求x的值．
【答案】(1)6；
(2)y1＝2x﹣6，y2＝24﹣x；
(3)4或24．
【分析】（1）根据题意和求出的值；
（2）求出，关于的等量关系即可；
（3）当点出发17秒时，点到达点停止运动，点还需运动2秒，即共运动19秒时，可使、这两点在运动路线上相距的路程为．
【详解】（1）解：观察图2，得，
解得．
（2）解：，动点、改变速度后、与出发后的运动时间（秒的函数关系式为：
，
；
（3）解：设点出发秒，点、点相距，
则，
解得．
即当点出发4秒，则点，相距
当点到达终点，点运动24秒，点、点在运动路线上相距的路程为，
综上所述当点出发4或24秒时，点、点在运动路线上相距的路程为．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，直线分别与轴、轴交于A、B两点．
(1)A点的坐标______、B点的坐标______．
(2)已知点坐标为，设点关于直线的对称点为，请直接写出点的坐标；
(3)请在直线上找一点，使的周长最短，求出点的坐标．
(4)请在直线和y轴上分别找一点M、N使的周长最短，直接写出最短周长．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
(4)最短周长为
【分析】（1）令，则；令，则，即可求得；
（2）过A作直线轴，作交直线l于D，根据垂直平分线的判定和性质得出垂直平分，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；
（3）连接交于点P，点P即为所求；由待定系数法确定直线的解析式，然后联立即可确定点的坐标；
（4）作点C关于轴的对称点，则的坐标为，连接交于点M，交轴于点N，根据轴对称的性质及两点之间的距离公式即可求解．
【详解】（1）∵直线分别与轴、轴交于A、B两点
令，则；令，则
∴点A坐标为、点B 坐标为；
故答案为：；；
（2）如图：过A作直线轴，作交直线l于D，
∵，
∴，
∵，直线轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴D即是C关于的对称点，
∵A，
∴，
∴ 点C 关于直线的对称点D的坐标为；
（3）如图所示：连接交于点P，
由（2）得点关于直线的对称点为，
∴，
∴的周长为：，此时周长最短，点P即为所求；
设直线的解析式为，
将点D代入得：，
解得：，
∴，
联立两个一次函数为：
解得：，
∴；
（4）作点C关于轴的对称点，则的坐标为
连接交于点M，交轴于点N，
∵点C、关于轴对称
∴，
∵点C、D关于直线对称，
∴，
此时，的周长周长最短；
∵D的坐标为，的坐标为，
∴
最短周长为
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是由轴对称的知识，结合图形，得出关于直线轴对称的两点坐标关系，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，
二、二次函数与几何图形问题
例5.如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为、，二次函数的图象为．
(1)向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A，求抛物线的表达式；
(2)平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A、两点，抛物线与轴交于点，求抛物线的表达式以及点的坐标；
(3)在（2）的条件下，记中点为，点为抛物线对称轴上一点，当与相似时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线的解析式为，点的坐标为
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，根据平移后的抛物线经过点A，进行求解即可；
（2）根据题意设抛物线的解析式为，根据平移后的抛物线经过点A、两点，进而求解即可；
（3）根据三角形内角和证明点在点A的上方，再根据相似三角形的性质进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）设抛物线的解析式为，
抛物线经过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为．
当时，，故点的坐标为；
（3）过点作轴于点，则有，
，．
的坐标为，
．
点为中点，
．
在中，
，，
，，
，，
若点在点A的下方，则，
由与相似可得或为，与三角形内角和矛盾，该情况不存在．
点必在点A的上方．
①若，如图1，
则，
，
点的坐标为；
②若，如图2，
则，
，
点的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的平移、二次函数的图象和性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
题型训练
1．如图，抛物线：与y轴交于点A，抛物线：与y轴交于点B，抛物线与相交于点C，点C的横坐标为－1，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，交抛物线于点E．
(1)求抛物线和的对称轴；
(2)求线段的长；
(3)直线与抛物线和分别交于，两点．若，请直接写出的值．
【答案】(1)的对称轴为直线；的对称轴为直线
(2)
(3)或
【分析】（1）将函数的一般式化为顶点式即可求函数的对称轴；
（2）利用函数的对称性确定、点的横坐标，再求的长即可；
（3）求出、点坐标，再由建立方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：点的横坐标为，点与点关于直线对称，
点的横坐标为，
点的横坐标为，点与点关于直线对称，
点的横坐标为3，
；
（3）解：当时，，
，
当时，点坐标为，，
，
，
，
解得或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求点、的横坐标是解题的关键．
2．如图，二次函数的图象交x轴于，，交y轴于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标；
(3)若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，4
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先根据线段的和差关系得到最大时点P，A，C三点共线，然后求出直线的解析式，代入求解即可；
（3）如图所示，连接，作轴交与点N，首先求出直线的解析式，然后设，，然后表示出的长度，根据题意表示出四边形的面积，最后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象交x轴于，，交y轴于
∴
∴解得，
∴；
（2）如图所示，
∵点A和点B关于对称轴对称，
∴ 对称轴为，
∴
∴，
∴当点P，A，C三点共线时，最大，为的长度，
∴延长交二次函数对称轴于点
设直线的解析式为，
∴，解得
∴
∴当时，
∴点P的坐标为；
（3）如图所示，连接，作轴交与点N，
设直线的解析式为
将点B和点C代入得，
解得
∴，
∴设点M坐标为，
∴
∴
，
∴当时，，
∴当点M的坐标为时，四边形的面积最大为4．
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数几何综合题，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分．求直线的表达式；
(3)如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，．
①当时，求点P的坐标；
②求m的最大值
【答案】(1)
(2)
(3)①或，②
【分析】（1）一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，求得点，，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设直线交y轴于点M，证明，得到，则点，待定系数法求出直线的表达式即可；
（3）过点P作轴交于点N，则，由，则，得，即可求解．
【详解】（1）一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，
当时，，
当时，，解得，
∴点，，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为：；
（2）设直线交y轴于点M，
从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，
∵轴交抛物线于点D，
∴点D的横坐标是2，当时，，
∴，
由点B、C的坐标知，直线与的夹角为，即，
∵恰好平分，故，
而，，
故，
∴，故，故点，
设直线的表达式为： ，则，解得，
故直线BE的表达式为：；
（3）过点P作轴交于点N，
则，则，
而，则
，解得：，
①当时，则，
设点，
设直线的表达式为，
则则，解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，故点，
故，
解得：或2，
∴或，
故点或；
②，
∵，故m的最大值为．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了全等三角形和相似三角的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键．
4．已知抛物线的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当△ACE的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的值最大为，
(3)存在，当Q点为或或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）求出直线AC的解析式，可得，从而得到，进而得到，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，即可求解．
【详解】（1）解： 将，代入，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大为，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴，
设，
①当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴；
综上所述：当Q点为或或时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握利用待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
5．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过点，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标；
(3)将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围_______．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）求出点的坐标，再由待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点的坐标，根据的面积列出函数解析式，再根据函数最大值求出坐标；
（3）用表示出点的坐标，根据与抛物线有一个交点，进而可以得出取值范围．
【详解】（1）解：∵将代入
∴
解得
∴
令，则
∴
将代入
∴
解得
∴
令，则
解得或
∴
故答案为：，
（2）解：设，则
∴
∴
∴当时，面积最大，
此时；
故答案为：
（3）解：∵
∴抛物线的顶点
∵点横坐标，
∴则
如图1，当经过抛物线的顶点时
解得
此时线段与抛物线有一个交点；
如图2，当点与点重合时，，
解得
当点与点重合时，
∴时，此时线段与抛物线有一个交点；
综上所述：或时，此时线段与抛物线有一个交点，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质，用待定系数法求函数的解析，数形结合是解题的关键．
6．二次函数的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点A作轴，过点M作轴，交点为D，过点A作，使交延长线于点E，作轴，垂足为F，可得为等腰直角三角形，再求出点M的坐标，然后证明，可得从而得到，的解析式，再联立的解析式与抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，
，
解得： ，
所以二次函数的解析式为：．
（2）解：如图：过点A作轴，过点M作轴，交点为D，过点A作，使交延长线于点E，作轴，垂足为F，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
将代入抛物线的解析式得：，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
∴．
∴．
设的解析式为，将点M和点E的坐标代入得：
，解得
∴直线EM的解析式为．
联立得：
解得： 或 ，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E的坐标是解题的关键．
7．已知二次函数的解析式为．
(1)若该二次函数过点，求m的值；
(2)若该二次函数的图象过点，，且，结合图像，求n的取值范围；
(3)直线与x轴交于，与y轴交于B点，过B点作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于P、Q点（点P在点Q的左侧），若和中有且仅有一个为钝角三角形，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入，求出的值即可；
（2）根据函数开口向上，点与对称轴的距离越远，对应的值就越大，由此得到，求出的取值范围即可；
（3）求出，以和为直角三角形时的临界值，则时，是锐角三角形或直角三角形，是钝角三角形；时，是钝角三角形，是锐角三角形或直角三角形．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
解得；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线,
∵抛物线开口向上，，
∴，
∴，
∴；
（3）将代入,
∴，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
当时，，
解得或，
∵点在点的左侧，
∴，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴时，是锐角三角形或直角三角形，是钝角三角形；
当时，，解得，
当时，，解得，
∴时，是锐角三角形或直角三角形，是钝角三角形；
综上所述：或时，和中有且仅有一个为钝角三角形．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，以和为直角三角形时的临界值是解题的关键．
8．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)①；②存在点或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，则，， 进而推出，由此求解即可；
（3）①先由，得到， 进而证明，得到，则，证明是等腰直角三角，得到，再由，推出，由，求出，则；②设，则，，，然后分别讨论、、为直角顶点时，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把、代入得
∴，即，
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令得，
∴
设直线BC的解析式为，
∴
∴，
∴直线BC的解析式为：
∵P的横坐标为t，轴，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值2，此时；
（3）解：①∵、，
∴，
∵，
∴，
∵轴
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴；
②设，则，，，
（Ⅰ）当时，，
解得：（舍去）或，
∴；
（Ⅱ）当时，，
解得：，
∴
（Ⅲ）当时
解得：（舍去）
综上所述，存在点或使得为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知二次函数的相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，：或或
【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）设直线的解析式为，将点A和点B的坐标代入可求得直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，然后列出关于t的函数关系式，最后利用配方法求得的最大值即可；
（3）分两种情况讨论：若点为直角顶点，若点F为直角顶点，即可求解．
【详解】（1）解：∵A，C的坐标分别为，，
∴．
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴．
将点A和点B的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标是，则点的坐标是，
，
∴当时，线段取得最大值9，此时点的坐标为；
（3）解：存在点，使是以为直角边的直角三角形．
如图，过点作直线交抛物线于点．
①若点为直角顶点，
设点的坐标为，由（2）可知，则有，解得，
∴此时点P的坐标为或；
②若点为直角顶点，
设点的坐标为，由（2）可知，则有，
解得：（舍去），
∴此时点P的坐标为；
综上所述，符合条件的点的坐标有：或或，使得是以为直角边的直角三角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，列出的长关于t的函数关系式是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于点E，B．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为时，
(3)当点的坐标为时，点坐标为，当点的坐标为时，点坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）求出直线的解析式，设，求出的长度，列函数关系式，根据函数的性质解答即可；
（3）先判断出，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，将点代入，得
，
解得，
∴；
（2）∵，对称轴为直线，
∴，
当时，，
得或，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴四边形的面积为
，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，
∴点的坐标为时，；
（3）当点M在对称轴左侧时，如图，过M作垂直于对称轴，垂足为H，
∵，
∴,
∴，
∴M点的横坐标为，
∴ M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为，点N的坐标为；
当点M在对称轴右侧时，如图，过M作垂直于对称轴，垂足为H，
∵，
∴,
∴，
∴M点的横坐标为，
∴ M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为，点N的坐标为；
综上，当点的坐标为时，点坐标为；
当点的坐标为时，点坐标为．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值的确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．
11．已知：二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点坐标为______；
(3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______
(4)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离最大值时点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或；
(4)
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据，即可得出顶点坐标；
（3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可；
（4）设，如图1，过点D作轴交于点E，作于点F，则，运用待定系数法求得直线的解析式为，则，可得，再由轴，可得，得出，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设，把代入得：
，
解得：，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：；
（3）解：存在．如图2中，当是平行四边形的边时，，，可得或，
当为对角线时，点的横坐标为2，
时，，
∴，
综上所述，满足条件的点N的坐标为或或；
（4）解：设，如图1，过点D作轴交于点E，作于点F，
则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点为，连接．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)依题补图1：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的值；
(3)如图2，过点作直线，和轴交点为，在点沿着抛物线从点到点运动过程中，当与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)的值为或
(3)
【分析】（1）直接将，两点代入即可求解；
（2）可设，由，则分两种情况：和分别求出与的关系即可；
（3）求出直线解析式为，当直线与的图象只有一个交点时，联立，由，求出，直线的解析式为，此时．
【详解】（1）把，代入得，
，解得，
该二次函数的表达为；
（2）如图：
设，
由，分两种情况：
当时，，
，
，
即，解得，或（舍去）；
当时，，
，
即，解或（舍去），
综上所述，的值为或；
（3）如图，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
，
设直线的解析式为，
当直线与的图象只有一个交点时，
联立，
整理得，
，
解得，
当时，直线的解析式为，
此时直线与的图象只有一个交点，
令，则，解得，
此时．
【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质，根的判别式，解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
三、反比例函数与几何图形问题
例5. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图像交于点，．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的左侧）．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)考察反比函数的图像，当时，请直接写出自变量的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，分别令、为0，即可求得、的坐标，即可求得，再根据矩形的性质和线段的等量关系即可求得点的坐标；
（2）过作轴于点，根据矩形的性质，易得，利用全等三角形的性质得，求得点的坐标，代入反比例函数，即可求解；
（3）结合图像，即可得出自变量的取值范围．
【详解】（1）解：，
令，则，
令，则，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：过作轴于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
点在反比例函数的图像上，
，
反比例函数的表达式为；
（3）解：对于，令，
，
由图像可知，当时，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，两点间的距离，解题的关键在于熟练掌握知识点，数形结合．
题型训练
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)6
(3)点的坐标为：或或或
【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）解方程组得到，根据勾股定理得到 ，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵交轴于点，
∴，
∵与交于点，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是线段上的动点，且反比例函数（）的图象经过点C．
（1）在反比例函数（）的图象中，y随x的增大而_____________；（填“增大”或“减小”）
（2）当C为的中点时，k的值为_____________；
（3）当点C在线段上运动时，k的取值范围是_____________．
【答案】 增大
【分析】（1）根据反比例函数的性质可直接得到答案；
（2）先计算出C的坐标，再利用待定系数法即可求出答案；
（3）先求出直线的解析式，设可得，将带入反比例函数即可得到是关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出k的取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数（）的图象在第二象限，
∴y随x的增大而增大，
∴故答案为：增大；
（2）∵C为的中点时，
∴点C的坐标为 ，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，
得
∵反比例函数（）的图象经过点C，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是关于m的二次函数，对称轴为，，
∴当时，为最大值，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数，解题的关键是求出直线的解析式，得到是关于m的二次函数．
3．如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，点是中点，反比例函数的图像经过点，并交于点．
(1)求的值；
(2)求五边形的面积．
【答案】(1)4
(2)7
【分析】（1）直接将点坐标代入函数解析式得出答案；
（2）首先求出点坐标，进而得出的面积，进而得出答案．
【详解】（1）把
代入得，
；
（2）∵四边形是矩形，点是中点，
∴，
∴点坐标为：，
∵，
∴，
把代入得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的面积为：7．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义，正确得出点坐标是解题关键．
4．如图，已知点A在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，过点A作轴，垂足为B，且．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点在x轴的正半轴上，将线段绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数在第一象限的图象上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）点A的横坐标为， 轴，且，可得，由此得出点A的坐标，进而求出k的值，从而可求出反比例函数的解析式；
（2）证明，确定点C的坐标为，由反比例函数解析式得到方程，求解方程再进行判断即可．
【详解】（1）∵轴，且点A的横坐标为，
∴
∵，
∴，
∵点在第三象限，
∴
把代入反比例函数得，，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点C作轴于点D，如图，
∴，
∴
∴，
在和中，
∴
∴
∴
∴点C的坐标为，
∴
整理得，
解得，，，
∵，
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合运用，涉及到全等三角形的判定与性质，一元二次方程的运用等知识，解题的关键是求出点A的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，．
(1)求a的值和反比例函数的解析式．
(2)若，直接写出自变量x的取值范围．
(3)若点D在x轴正半轴上，且，连接，，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)x的取值范围是或
(3)存在，P的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3），设点的坐标为，则，即可求解．
【详解】（1）（1）将点A的坐标代入得：，
解得，
故一次函数的表达式为①，
令，则，故点；
在中，，，则，
而，则，
则点M的坐标为，则点C的纵坐标为3，
将点M的坐标代入并解得，
故反比例函数表达式为②
（2）联立①②得：，解得或，
故点N、E的横坐标分别为2，，
从函数图象看，，自变量x的取值范围是或；
（3）∵，则，
则，
设点P的坐标为，
则，
解得，
故点P的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查的是反比例函数与一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
6．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与轴交于点，第一象限内点在反比例函数的图像上，且以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点．
(1)求的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点A的坐标代入到反比例函数解析式中进行求解即可；
（2）如图所示，连接，先根据切线的性质和圆的性质可以设点C的坐标为，把点C坐标代入反比例函数解析式求出点C的坐标进而求出点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）先求出一次函数与x轴的交点横坐标，再根据图像法求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴（负值舍去），
∴点B的坐标为，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）解：当时，，
∴由函数图像可知当时，．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，切线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
7．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B、D，连接．点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，．设直线的解析式为．
(1)请结合图像直接写出不等式的解集；
(2)求直线的解析式；
(3)平行于y轴的直线与交于点E，与反比例函数图像交于点F，当这条直线左右平移时，线段的长为，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或3
【分析】（1）先求出点A的坐标和点C的横坐标，再结合函数图象进行求解即可；
（2）把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式进而求出点C的坐标，再把A、C坐标代入一次函数中求解即可；
（3）分别求出点E的纵坐标为，点F的纵坐标为，再根据线段的长为建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得点A的坐标为，点C的横坐标为4，
∴由函数图象可知，当时，；
（2）解：将A点坐标代入，得：，
∴反比例函数解析式为，
又∵，
∴，
将和分别代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：当时，点E的纵坐标为，点F的纵坐标为，
依题意，得：，
解得：或，
∴n的值为或3．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，图象法求不等式的解集，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．
8．如图，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与x轴交于点E，与y轴交于点C，轴，垂足为D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，①当时，；②当时，
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，即可得到结论；
（2）过点作于，把代入得，得到，求得，得到，于是得到结论；
（3）如图，①当轴时，，②当时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为．
（2）解：过点作于，把代入得，
．
（3）解：存在．理由如下：
①当轴时，，则
②当时，
，
．
综上所述，满足条件点的坐标为，．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是正确的作出辅助线．
9．已知函数的图象与函数的图象在同一平面直角坐标系内，函数的图象与坐标轴交于，两点，点是直线上一点，点与点关于轴对称，线段交轴于点．
(1) ， ．
(2)如果线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，求的值．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）利用点在函数图象上的特点求出，以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法（利用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底）;
（2）利用点的对称点的坐标特点求出点的坐标，线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，且交点为，分两种情况或计算即可．
【详解】（1）解：在直线的图象上，
，
函数的图象与坐标轴交于、两点，
，，
，，
．
故答案为，．
（2），
，
点与点关于轴对称，
，
，
线段被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为，且交点为，
①当时，即：，
，
，
，
②当时，即：，
，
，
．
故的值为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．
题型3：二次函数建模问题
例6. 某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离为______米（精确到0.1）；
(3)在（2）的条件下，喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，请结合图象判断，此时喷泉______（填“会”或“不会”）喷到水池外；
(4)在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)会
(4)有被喷泉淋到的危险
【分析】（1）由表格中的数据描出点并画出图象即可；
（2）根据所画的图象，根据图象与x轴的交点横坐标即可作出估计；
（3）把（2）中的d值代入中，求得的值是否等于0，则可作出判断；
（4）由表中数据可求得函数解析式，计算出当d=5时的函数值，与进行比较即可．
【详解】（1）解：描点、连线得到下列图象．
（2）解：由图象知，喷泉落水点的位置约为米；
故答案为：．
（3）解：由（2）知，当时，，
结合图象知，表明喷泉落水点的位置大于米，
故答案为：会．
（4）解：由表知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
由表知，抛物线过点，则有，解得，
即抛物线解析式为：；
根据抛物线的对称性，当时，，
而游船顶棚到水面高度为4.2米，表明游船有被喷泉淋到的危险．
【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了画二次函数图象，二次函数的性质，待定系数法求解析式，求函数值等知识，正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是关键．
题型训练
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是，宽是．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．
(1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是___________．
【答案】(1)，拱顶到地面的距离为米
(2)这辆货车不能安全通过，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得出,,待定系数法求解析式，进而化为顶点式，求得顶点坐标即可求解；
（2）根据抛物线对称轴为，根据题意货运汽车最外侧与地面的交点为或，令或，求得函数值，与车高进行比较即可求解；
（3）将代入解析式，结合抛物线的对称性即可求解．
【详解】（1）解：∵长方形的长是，宽是，
∴,,
代入，
得：，
解得：，
∴抛物线解析为，
∴顶点的坐标为；
∴拱顶到地面的距离为米；
（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
∴货运汽车最外侧与地面的交点为或，
令或，得，
∴这辆货车不能安全通过；
（3）解：依题意，当时，，
解得：
∴
∴两排灯的水平距离最小是米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
2．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到 处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)水面宽是，它能安全通过此桥
【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可；
（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为不等于，桥拱最高点到水面的距离为米．
则，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，得
船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：米．
设此时水面宽为 ，
，
由（1）知：，
∴F纵坐标为，
把代入，得
，
解得：，，
∴，
．
船的速度不变，它能安全通过此桥．
答：该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是，它能安全通过此桥．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
3．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，她对此展开研究：测得喷水头距地面m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式（结果化为一般式）；
(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离．
【答案】(1)
(2)小红与哥哥的水平距离是3m或5m
【分析】（1）由题意可知，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为：，将代入抛物线解析式中，用待定系数法求解即可；
（2）当时，将其代入抛物线解析式中求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为：，将代入得，
，
解得：，
∴，
答：抛物线的表达式为；
（2）解：当时，
，
解得：或，
∴她与哥哥的水平距离为（m），或（m），
答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是3m或5m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
4．一座桥如图，桥下水面宽度是米，高是米．要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；
②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【答案】(1)①②米
(2)①米②米
【分析】（1）①直接利用待定系数法求解即可；
②令，求出x的值，即可求解．
（2）①构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解即可；
②令，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）设抛物线解析式为：，
∵桥下水面宽度是米，高是米，
∴，，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
要使高为米的船通过，
∴，则，
解得：，
∴米，
∴宽度须不超过米；
（2）设圆半径米，圆心为，
，
∴，
解得：，
∴圆的半径为；
令，
在中，
由题可知，，，
根据勾股定理知：，
即，
所以，
此时宽度米，
∴其宽度须不超过米．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，以及垂径定理，勾股定理，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键．
5．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度，跨度．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥改造为圆弧，跨度不变，且（2）中“脚手架”矩形仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度（结果精确到，参考数据：）．
【答案】(1)
(2)“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为
(3)改造后拱桥的高度为
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把，代入计算即可求解；
（2）设点G的坐标为，根据题意得，，又∵，∴，解之求得，（不合题意，舍去），即可得，，则，由即可求解；
（3）取中点K，在延长线上取圆心M，连接，，设长为，由勾股定理得，即，解得，所以，，然后由，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，经过，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设点G的坐标为，
根据题意得，，
∵，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴，，
∴，
∴．
答：“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为．
（3）解：如图，取中点K，在延长线上取圆心M，连接，，
设长为，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得，
∴，，
∴，
答：改造后拱桥的高度为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，勾股定理，圆的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象性质是解题的关键．
6．上体育课时，阿进在某次试投铅球时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．建立如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，且点B是该函数图象上的一点．
(1)请你画出该函数的大致图象；
(2)若铅球推出的距离不小于的成绩为优秀，请通过计算，试求铅球落地的最远距离，并判断阿进此次试投的成绩是否能达到优秀．
【答案】(1)见解析
(2)，能达到，理由见解析
【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）根据题意解方程即可得到结论．
【详解】（1）函数图象如图所示．
（2）解：令，得，
解得，（舍去），
∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标为．
∴铅球推出的距离为．
∴铅球推出的距离不小于的成绩为优秀，
∴阿进此次试投的成绩达到优秀．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
7．如图，这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有，两个观测点，分别测得目标点火炬的仰角为，，米，，．可用位于点正上方2米处的发射装置（点），向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中点）．
(1)求火球运行轨迹的抛物线对应的函数表达式．
(2)说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标．
【答案】(1)
(2)按（1）中轨迹运行的火球能点燃目标
【分析】（1）由已知抛物线的顶点及经过一点，可设抛物线解析式的顶点式，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）根据已知条件作轴，垂足为，把问题转化到直角三角形中解决，利用已知的三角形函数值求出的坐标，代入抛物线的解析式检验是否符合就可以做出判断．
【详解】（1）∵顶点的坐标为，
∴设函数的解析式为，
将，代入得：，
∴
（2）设，作轴，垂足为，则，
在Rt中，
，
解得：，，
即，
代入适合，
所以点在抛物线上，故能点燃目标．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．
8．北京冬奥会跳台滑雪项目竞赛场地巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图的平面直角坐标系是跳台滑雪的截面示意图，运动员沿滑道下滑．在y轴上的点A起跳，点A距落地水平面x轴，运动员落地的雪面开始是一段曲线m，到达点B后变为水平面．点B距y轴的水平距离为．运动员（看成点）从点A起跳后的水平速度为，点G是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明G、A的竖直距离与飞出时间的平方成正比，且时；G、A的水平距离是米．
(1)求h与t的关系式（不写t的取值范围）；
(2)直接写出点G的坐标；（用含v、t、h的代数式表示）
(3)求运动员刚好落地的时间；
(4)奥运组委会规定，运动员落地点距起跳点的水平距离为运动员本次跳跃的成绩，并且参赛的达标成绩为，在运动员跳跃的过程中，点处有一个摄像头，记录运动员的空中姿态，当运动员飞过点C时，在点C上方可被摄像头抓拍到．
①当时，判断运动员成绩能否达标，并且能被C处摄像头抓拍；
②直接写出运动员成绩达标，并且能被C处摄像头抓拍，从点A起跳后的水平速度v的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)5秒
(4)①能达标，②
【分析】（1）先设出解析式，再利用待定系数法求解；
（2）分别求出水平距离以及G点到x轴的距离即可；
（3）令G点纵坐标为0即可求解；
（4）①求出落地点的水平距离以及当水平距离为100米时的高度即可判断；
②根据水平距离以及水平距离为100米时的高度两个限定条件列出不等式求解即可．
【详解】（1）设，
∵时，，
∴，
∴，
（2）;
理由：∵G、A的水平距离是米，
∴t秒后G点的横坐标为为，
∵，
∴G点到x轴的距离为米，
∴；
（3）令，
解得，（舍去），
故落地时间为5秒；
（4）①当时，
；
又时，
，
，
此时，，
∴时，能达标，并且能被C处摄像头抓拍．
②的范围是；
理由：∵，
∴，
当时，，
此时，
解得：，
由实际情况得，
∴．
∴，
综上可得：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系、待定系数法、一元二次方程和不等式的应用等问题，解题关键是读懂题意，利用方程或不等式求解．
9．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形箱子示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且抛物线经过．已知，，．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子．
(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与拋物线形状相同的拋物线运动，且无阻挡时最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)弹珠不能弹出箱子，理由见解析
【分析】（1）把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得点点坐标，即可求解；
（2）根据题意求出点，，再由当时， 可得，即可求解；
（3）先求出抛物线L与x轴的两一个交点为，再根据题意可设抛物线M的解析式为，然后把代入，求出抛物线M的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即点，
∵，，
∴，
∴点，，
当时， ，
解得：，
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子；
（3）解：弹珠不能弹出箱子，理由如下：
当时， ，
解得：，
∴抛物线L与x轴的两一个交点为，
根据题意可设抛物线M的解析式为，
把点代入，得：，
解得：或，
∵抛物线M的对称轴在直线的左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为，
∵当时，，
∴弹珠不能弹出箱子．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．小张在学校进行定点处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为米时，球心距离地面的高度为米，现测量第一次投篮数据如下：
请你解决以下问题：
(1)根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
(3)第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
【答案】(1)见解析
(2)小昊不能阻止此次投篮
(3)0.275米
【分析】（1）先描出点，，，，再用平滑曲线连接即可；
（2）先求出抛物线解析式，再求出当的y值与2.4比较即可；
（3）求出当时的y值，再用即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：小昊不能阻止此次投篮．
理由：设抛物线解析式为，把，，代入，得
，解得：，
∴，
当时，则，
∵，
∴小昊不能阻止此次投篮．
（3）解：对于抛物线，
当时，，
(米)，
∵第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，
∴小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象性质是解题的关键．
11．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________．
【答案】(1)6
(2)2
(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标，根据上下边缘抛物线的增减性可得结果；
（3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
喷出水的最大射程为；
（2）对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为，
∵上边缘抛物线在时，y随x的增大而增大，
下边缘抛物线在时，y随x的增大而减小，
∴当时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2；
（3），
点的纵坐标为0.5，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
12．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】(1)；6m
(2)
(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；
（3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为6m；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为；
（3）解：∵，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，解得，
∵，
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则 ，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
13．如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；
(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值；
(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
【答案】(1)能浇灌到小树后面的草坪；
(2)的最大值为；
(3)喷射架应向后移动2米．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求得解析式；
（2）先求出直线的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
（3）设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为，将点的坐标代入可得答案．
【详解】（1）解：（1）由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
∴抛物线为，
当时，，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）由题可知点坐标为，
则直线为，
∴，
答：的最大值为；
（3）设喷射架向后平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：或（舍去），
答：喷射架应向后移动2米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
题型4：一次函数行程问题
例7．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2800米．甲从小区步行去学校，出发11分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知乙步行的速度比甲步行的速度每分钟慢20米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像；图2表示甲、乙两人之间的距离S（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图像（不完整）．
根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
(1)甲步行的速度 米/分，乙出发时甲离开小区的路程 米；
(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
(3)当时，
①请直接写出S关于x的函数表达式；
②在图2中，画出当时S关于x的函数的大致图像．
【答案】(1)80米/分，880米
(2)乙骑自行车的速度是160米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是640米
(3)①当时，，当时，；②图见解析
【分析】（1）根据函数图像中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）根据函数图像中的数据可以求得的函数解析式，然后将代入的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）①根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而用待定系数法分两种情况求解解析式；②描出①中两个函数解析式的分界点，再补全函数图像即可．
【详解】（1）解：由图可得， 甲步行的速度为：（米/分），
乙出发时甲离开小区的路程是（米），
（2）设直线的解析式为， 则，得，
∴直线的解析式为， 当时，，
∴乙骑自行车的速度为：（米/分），
∵乙骑自行车的时间为：（分钟），
∴乙骑自行车的路程为：（米），
当时，甲走过的路程为：（米），
∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：（米），
答：乙骑自行车的速度是160米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是640米；
（3）①乙步行的速度为：（米/分），
乙到达学校用的时间为：（分），
此时甲还要1分钟到学校，即甲离学校80米，
∴当时，分两种情况如下：
当时，
设，将，代入得：
，
解得 ，
∴；
当时，
设，将，代入得：
，
解得： ，
∴，
∴．
②补全函数图形如下：
【点睛】本题考查从函数图像中获取信息，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
题型训练
1．过年期间，小明和小华从居住的小区到距离小区 米的广场去看社火表演．小明步行，小华骑电动车，小明先出发6分钟，小华骑车行至一半时返回小区取相机．已知两人的速度保持不变，最后同时到达广场．如图是两人与小区之间的距离y（米）与小明出发时间x（分）函数关系的图象，
根据图中的信息，解决下列问题：
(1)求小明和小华出发后第一次相遇的时间；
(2)请指出小华取到相机后离开小区前往广场的图象，并求出该部分的函数表达式与自变量的取值范围．
【答案】(1)小明出发9分钟后，小明和小华两人第一次相遇
(2)线段 表示小华取到相机后再离开小区前往广场，线段 的表达式（）
【分析】（1）由函数图象可得小明步行的速度和小华骑车的速度，设线段的表达式
将点A，B代入求出线段的表达式，同理求出线段 的表达式即可求解；
（2）求出点D的坐标，设线段DE的表达式，将点，代入，即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象可知，小明与小华出发后第一次相遇是在线段 与 的交点处，小明步行的速度为（米/分）
小华骑车的速度为（米/分）
由图象可知，点，设线段的表达式
将点A，B代入，得，解得
∴线段的表达式（）
同理可得线段 的表达式（）
根据题意，得，解得
小明出发9分钟后，小明和小华两人第一次相遇．
（2）线段表示小华取到相机后再离开小区前往广场；
由（1）知小华骑车的速度300米/分
∴小华取到相机后离开小区前往广场所用的时间为（分）
点D的坐标为
设线段的表达式，将点，代入，得，解得
线段 的表达式（）
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地匀速行驶前往B地，甲到达B地立即沿原路匀速返回A地，图中的折线表示甲乘冲锋舟离A地的距离y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系：图中的线段表示乙乘冲锋舟离A地的距离y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系．根据图象解答问题：
(1)A，B两地之间的距离为 千米，线段对应的函数关系式为 ，线段对应的函数关系式为 ，线段对应的函数关系式为 ；
(2)求图中线段和的交点D的坐标．
(3)直接写出整个行驶过程中，甲、乙两人所乘坐的冲锋舟之间的距离为5千米时，对应的行驶时间x的值．
【答案】(1)20，，，
(2)
(3)15或或
【分析】（1）根据图象信息，利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用方程组解决问题即可．
（3）分三种情形，列方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由图可知，A，B两地之间的距离为20千米，
设线段对应的函数关系式为，把代入得：
，解得，
∴线段对应的函数关系式为；
设线段对应的函数关系式为，把，代入得：
，解得，
∴线段对应的函数关系式为；
线段对应的函数关系式为，把代入得：
，解得，
∴线段对应的函数关系式为；
（2）由得，
∴D的坐标为；
（3）当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴甲、乙两人所乘坐的冲锋舟之间的距离为5千米时，对应的行驶时间x的值为15或或．
【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数图象的交点，属于中考常考题型．
3．甲、乙两车从地到480千米的地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段、折线分别表示甲、乙两车所行路程（千米）与时间（小时）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，解决如下问题：
(1)甲车的速度是______千米/小时，乙车停车检修后再出发的速度是______千米/小时．
(2)求出乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式
(3)点的坐标是______．
(4)在乙车出发4.5小时至到达目的地这段时间内，当______时，两车相距60千米．
【答案】(1)60；120
(2)
(3)
(4)5、7、9
【分析】（1）设甲车所行驶路程与时间的函数关系式为，求出对应的函数解析式，然后再求出点坐标即可正确解答；
（2）乙车停车检修后再出发的对应的路程与时间的函数关系式为，求出对应的函数关系式即可正确解答；
（3）由（2）可知，根据求出的段的函数解析式，先求出点坐标，根据点和点纵坐标相等即可求出点的坐标；
（4）由（1）和（2）求出的函数解析式分类讨论：①甲车在前，乙车在后，两车相距60千米；②乙车在前，甲车在后，两车相距60千米；③乙车到达终点而甲车未达到终点，两车相距60千米；即可正确解答．
【详解】（1）设甲车所行驶路程与时间的函数关系式为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴甲车的速度是60千米/小时，
当时，，
∴，
∴乙车停车检修后再出发的速度是千米/小时，
故答案为：60；120
（2）乙车停车检修后再出发的对应的路程与时间的函数关系式为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式为：
（3）∵，
将代入得：，
∴，
∵
将代入得：
，
解得：，
∴，
故答案为：
（4）∵，，则：
甲车在前，乙车在后，两车相距60千米，
，
解得：，
∴当时，两车相距60千米．
乙车在前，甲车在后，两车相距60千米，
，
解得：，
∴当时，两车相距60千米．
乙车到达终点而甲车未达到终点，两车相距60千米，
，
解得：，
∴当时，两车相距60千米．
故答案为：5、7、9
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求相关函数的关系式是解答本题的关键．
4．A、B两城相距千米，甲、乙两车从A城出发驶向B城，乙车的速度为千米/时，甲车先走千米乙车才出发，甲车到达B卸完货后立即返回A城，如图它们离A城的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求两车相遇时两车距B城多远？
(3)甲车从B城返回A城的过程中，再经过几小时与乙车相距千米？
【答案】(1)；
(2)两车相遇时两车距B城千米；
(3)再经过小时或小时与乙车相距千米．
【分析】（1）结合图形，找到、、、的坐标；然后分段设函数解析式，用代入法求解即可；
（2）用与函数解析式联立方程组即可求解；
（3）用与函数解析式作差，当绝对值等于时解方程即可．
【详解】（1）设的解析式为：，
把、，
代入得：，
解得：，
∴的解析式为：，
的解析式为：，
设的解析式为：，
把、代入得：，
解得，
∴的解析式为：，
∴甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为：
y
（2）,
，
同理求得的解析式为：，
则，
解得：，
，
答：两车相遇时两车距B城千米；
（3）∵的解析式为：，
的解析式为：，
或
解得或，
，，
答：再经过小时或小时与乙车相距千米．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用——行程问题；找到关键点的坐标，用代入法求解函数解析式是解题的关键．
5．如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，沿轨道向C匀速行驶，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为（秒），两车之间的距离为（米），则与的关系如图2所示，根据图象解决下列问题：
(1)甲车经过______秒追上乙车，______．
(2)设相遇前两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______；
设相遇后两车之间的距离为，直接写出与的函数关系式：______．
(3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米?
【答案】(1)3；8
(2)；
(3)5秒．
【分析】（1）由图2得3秒时，两车之间的距离为0，甲乙速度差为2．由追击问题公式可列方程得出甲乙速度，进而求出7s时甲乙的距离．
（2）根据两点式可求出的解析式，又因为甲乙速度差不变，所以可得斜率，代入进而求得解析式．
（3）求出两段函数函数解析式为4时的x的值即可．
【详解】（1）由图2得3秒时，两车之间的距离为0，速度差为
设乙速度为xm/s,则甲速度为x+2m/s
由题得，
所以7秒后，甲行驶了28m，乙行驶了14m，再加上一开始相距的6m，．
（2）设，把带入得
∴，
因为速度差不变，所以斜率为2，代入得
（3）
，所以出发后1s和5s时，它们之间的距离为4米．
【点睛】本题考查了一次函数与行程问题，解题的关键在于数形结合．
6．小华从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像；图2中线段AB表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
(1)填空：妈妈骑车的速度是______米/分钟，小华步行的速度是______米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是______分钟，点M的坐标是______；
(2)在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数图像；
(3)求t为何值时，两人相距360米．
【答案】(1)120，60，5，；
(2)作图见解析；
(3)当t为8，12或32分钟时，两人相距360米．
【分析】（1）先求出小华步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，然后即可求出M的坐标；
（2）分①当时，②当时，③当时三段求出解析式即可，根据解析式画图即可；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，分①相遇前，②相遇后，③在小华到达以后三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由题意可得：小华步行的速度为：（米/分钟），
妈妈骑车的速度为：（米/分钟）；
妈妈回家用的时间为：（分钟），
∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，
∴可知妈妈在35分钟时返回商店，
∴装货时间为：（分钟），
即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；
由题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，
∴M点的横坐标为：（分钟），
此时纵坐标为：（米），
∴点M的坐标为；
故答案为： 120，60，5，；
（2）解：①当时，
②当时，
③当时，设此段函数解析式为，
将，，代入得，
解得，
∴此段的解析式为，
综上：；
其函数图象如图，
；
（3）解：由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，
①相遇前，依题意有，解得（分钟）；
②相遇后，依题意有，解得（分钟）；
③依题意，当分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店为（米），只需10分钟，
即分钟时，小华到达商店，
而此时妈妈距离商店为（米）（米），
∴，解得（分钟），
∴当t为8，12或32分钟时，两人相距360米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，由图像获取正确的信息以及待定系数法求解一次函数是解题关键．
7．小颖和小明两人分别从甲、乙两地出发骑自行车沿相同的路线相向而行，图中折线和线段分别表示小颖和小明离甲地的距离（单位：米）与小颖行驶的时间（单位：分）之间的函数关系图象，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)小明骑车的速度为___________米/分，点的坐标为___________；
(2)求线段对应的函数关系式；
(3)请直接写出小颖出发多长时间和小明相距750米．
【答案】(1)300；
(2)
(3)10分或分
【分析】（1）根据图象可知小明从15分钟到20分钟共骑行1500米，即可得到小明骑车的速度，求出小明骑车的总时间，即可得到点C的坐标；
（2）设线段对应的函数关系式为（，为常数，），由待定系数法即可求得线段对应的函数关系式；
（3）分相遇前和相遇后两种情况列方程求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，小明骑车的速度为米/分，
∴小明骑车的总时间为分，
则由知小明比小颖晚出发5分钟，
∴点的坐标为；
故答案为：300；
（2）由（1）可得点A的坐标为，
设线段对应的函数关系式为（，为常数，），把A和B代入，得：
解得：，
线段对应的函数关系式为：；
（3）设小颖出发t分钟后和小明相距750米，
在小颖和小明相遇前，
由题意可得，，
解得，
在小颖和小明相遇后，
，
解得，
即小颖出发10分钟或分钟后和小明相距750米．
【点睛】此题主要考查了一次函数和一元一方程的应用，读懂题意，数形结合和分类讨论是解题的关键．
8．如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机 P的正下方．2号机从原点O处爬升到处便立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求后到达处．
(1)求的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
(2)求的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】(1)由点A的坐标，用待定系数法即可求得h关于s的函数解析式；利用2号飞机一直保持在1号机的正下方，可知它们飞行的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度；
(2)设的解析式为，由题意将B，C的坐标分别代入解析式，即可求得解析式；再令，求得s，即可得到2号机着陆点的坐标；
(3)不超过，得到，利用(1)(2)中的解析式得出关于s的不等式组，确定s的取值范围，得出两机距离不超过的飞行的水平距离，再除以1号飞机的飞行速度，结论可得．
【详解】（1）解：设的解析式为：，
把代入解析式，
得：，
解得：，
的解析式为：；
号试飞机一直保持在1号机的正下方，
它们飞行的时间和飞行的水平距离相同，
号机的爬升到A处时，水平方向上移动了，飞行的距离为，又1号机的飞行速度为，,
号机的爬升速度为：；
（2）解：设的解析式为，
由题意知：B点的横坐标为：，
，
又，
将B，C的坐标分别代入解析式，
得：
解得：，
的解析式为，
令，则，
故预计2号机看陆点的坐标为；
（3）解：不超过，
，
,
解得：，
两机距离不超过的时长为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象与坐标轴的交点，解不等式组．待定系数法是确定解析式的重要方法，也是解题的关键．
9．我国边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部迅速派出快艇B追赶如图（1），图（2）中，中，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．
根据图象回答问题：
(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？
(2)A、B哪个速度快？
(3)15分钟内B能否追上A？为什么？
(4)如果一直追下去，那么B能否追上A？
(5)当A逃离海岸12海里时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？为什么？
(6)与对应的两个一次函数与中，、的实际意义各是什么？可疑船只与快艇的速度各是多少？
【答案】(1)表示快艇是从海岸开始去追击可疑船只的
(2)B的速度比A快
(3)快艇B在15分钟内追不上可疑船A
(4)B能够追上A
(5)A逃入公海前快艇可以将其拦截
(6)表示A、B的速度，可疑船只的速度＝0.2（海里/分钟），快艇的速度＝0.5（海里/分钟）
【分析】（1）根据图2中的图象可以得到可疑船只和快艇的起始位置和行驶速度，再用这些量可解决问题；
（2）根据倾斜程度即可判断；
（3）分别计算15分钟时，、离海岸的距离即可判断；
（4）通过图像有交点即可判断；
（5）设追上所用时间为，可得，求解后，看距离是否在公海方向即可判断；
（6）根据一次函数在题中的应用，两个一次函数与中，、的实际意义就是和的速度，从而即可求解．
【详解】（1）解：从图2中不难看出，表示快艇是从海岸开始去追击可疑船只的；
（2）解：根据一次函数的图象可知，的倾斜度大于，所以的速度比快；
（3）解：分别计算15分钟时，、离海岸的距离：
根据一次函数图象在本题中的意义，可得的速度为0.2海里分钟，的速度为0.5海里分钟，
则15分钟各行驶的距离：（海里），（海里），
，所以快艇在15分钟内追不上可疑船；
（4）解：从图2中两条线相交可知是能够追上的；
（5）解：设追上所用时间为，可得：
，解得（分钟），可见经过分钟时，追上．
此时可疑船离海岸的距离（海里），
可见在逃离海岸海里时，快艇就追上了，也就是说在逃入公海前快艇可以将其拦截；
（6）解：根据一次函数在题中的应用，两个一次函数与中，、的实际意义就是和的速度，
由图2可知，可疑船只的速度（海里分钟），快艇的速度（海里分钟）．
【点睛】本题考查一次函数在行程中的应用，理解表达式中、的实际含义是关键．
10．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为，，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
(1)图中的______，点坐标为_____；
(2)当何值时两车相遇？
(3)当何值时两车相距千米？
【答案】(1)3，
(2)
(3)或
【分析】(1)由S与x之间的函数的图象可知，即得快车的速度为，由慢车行驶，知慢车的速度为，即可得快车到达乙地时，慢车行驶了，据此即可求得点C的坐标；
(2)由，可得当x为时两车相遇；
(3)分两种情况：①当两车行驶的路程之和为时；②当两车行驶的路程和为时，分别计算即可求得
【详解】（1）解：由与之间的函数的图象可知：当位于点时，两车之间的距离增加变缓，
由此可以得到，
快车的速度为，
由图可得，慢车行驶，
慢车的速度为，
，
快车到达乙地时，慢车行驶了，即两车相距，
，
故答案为：3，；
（2）解：由(1)可知，快车的速度为，慢车的速度为，
两车相遇所需时间为，
当为时两车相遇；
（3）解：①当两车行驶的路程之和为时，两车相距，
此时；
②当两车行驶的路程和为时，两车相距，
时，快车到达乙地，即快车行驶了，
当慢车行驶时，两车相距，此时，
综上所述，为或时，两车相距．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图象准确获取信息是解题的关键，要注意要分情况讨论．
11．甲、乙两人在相邻的直跑道上进行了一次折返跑（即跑后马上折返跑回起点）训练．甲完成一次折返跑用时，乙完成一次折返跑用时．假设两人同时从同一起跑线出发，且跑步过程中保持匀速．设甲、乙两人离起点的距离为，跑步时间为．
(1)请在下面的直角坐标系中分别画出在本次折返跑过程中表示两人离起点的距离与跑步时间之间关系的图象；
(2)分别写出甲折返后和乙折返前与之间的关系式；
(3)在出发多少后，两人到起点的距离相等？
(4)当为何值时，两人之间相距5米？（直接写出的值即可）
【答案】(1)画图见解析
(2)甲折返后的解析式为：，乙折返前与之间的关系式．
(3)出发后，两人到起点的距离相等．
(4)当或或或时，两人之间相距5米．
【分析】（1）根据甲乙两人折返跑的速度始终不变，所以时间各半，再根据离起点的最远距离为，再画出函数图象即可；
（2）设甲折返后的解析式为：，把，代入可得答案，设乙折返前与之间的关系式，把代入可得答案；
（3）由两人到起点的距离相等，则两人相遇，所以把（2）中的两个函数解析式联立，解方程组即可得到答案；
（4）分四种情况讨论：当时，可得，当时，可得，当时，可得， 当时，可得，再解方程可得答案．
【详解】（1）解：如图，甲乙两人离起点的距离与跑步时间之间关系的图象如下：
（2）设甲折返后的解析式为：，把，代入可得：
，解得：，
∴甲折返后的解析式为：，
设乙折返前与之间的关系式，把代入得：
，解得：，
∴乙折返前与之间的关系式．
（3）由两人到起点的距离相等，则两人相遇，
∴，
解得：，
∴出发后，两人到起点的距离相等．
（4）当时，
，解得：，
当时，
，解得：，
当时，
，解得：，
当时，
，解得：．
∴当或或或时，两人之间相距5米．
【点睛】本题考查的是画函数图象，一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意，熟练求解一次函数的解析式，清晰的分情况讨论是解本题的关键．
题型5：反比例函数实际应用
例8．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式______；
（2）当水温为时，______；
（3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为______．
【答案】
【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案；
（2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案；
（3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案．
【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得，
，解得，
故答案为：；
（2）设反比例函数解析式为，将点代入可得，
，
∴，
当时，
，解得，
故答案为；
（3）当时，，解得，
∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得．
【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间．
题型训练
1．已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表．
(1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ；
(2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象；
(3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)，函数图象见解析
(3)
【分析】（1）根据欧姆定律进行求解即可；
（2）根据（1）所求的关系式代值计算，再画出对应的图形即可；
（3）分别求出通过滑动变阻器的最大电流和最小电流，根据（1）所求关系求出对应的电阻即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，电压表的度数为，
∴由欧姆定律得，
故答案为：；
（2）解：当时，，当时，，
函数图象如下所示；
（3）解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴；
又∵定值电阻的电压固定为，
∴电流的最小值为，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
2．某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求与的函数关系式；
(2)求点的坐标；
(3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于4mg的时间超过20分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
【答案】(1)与的解析式为
(2)点的坐标为
(3)超过20分钟，故是有效消毒
【分析】（1）该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量（mg）与燃烧时间（min）之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，将数据代入，使用待定系数法可得与的函数关系式；
（2）将代入反比例函数解析式即可求出点的坐标；
（3）求出线段的函数解析式，再把分别代入两个解析式求出计算即可．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式，
将代入得，
，
解得：，
与的函数关系式为：，
当时，，
当时，设与的解析式为：，
将点代入得，
，
解得：，
与的的解析式为，
与的解析式为；
（2）解：当时，，
点的坐标为；
（3）解：由（1）得，直线解析式为，
将代入中得，
，解得：，
将代入中得，
，解得：，
，
超过20分钟，故是有效消毒．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
3．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．
(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)100
(3)不少于
【分析】(1) 设反比例函数的表达式为，将代入计算即可．
(2)代入解析式计算即可．
(3)代入解析式计算即可．
【详解】（1）设反比例函数的表达式为，
将代入，得，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）∵，
∴当时，，
故答案为：100．
（3）当时，，
∴为了安全起见，气体的体积应不少于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
4．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度微克毫升与服药时间小时之间函数关系如图所示当时，与成反比例．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式．
(2)问血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间多少小时？
【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为
(2)血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时
【分析】（1）分别利用待定系数法求出正比例函数以及反比例函数解析式即可；
（2）利用分别得出的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故直线解析式为：，
当时，设反比例函数解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故反比例函数解析式为：；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，
下降阶段的函数关系式为．
（2）解：当，则，
解得：，
当，则，
解得：，
小时，
血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
5．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与轴的距离为8，与轴交于点，与滑道交于，且，轴，测得，到轴的距离为4，设．
(1)的值为______，点的坐标是______，______．
(2)一小球从点出发沿抛物线运动，落在滑道上点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线运动，若它的最高点的坐标为．
①求的解析式，并说明抛物线与滑道是否还能相交；
②在轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离的最大值和最小值各是多少？
【答案】(1)24；；12
(2)①；抛物线G与滑道不能相交；②向上平移距离d的最大值为5.5，最小值是4
【分析】（1）先求出A的坐标，即可求得函数解析式，再由y的值求x的值即可求得b的值，由点P的纵坐标即可求得其横坐标，进而得到点P的坐标；
（2）①设抛物线的顶点式，再用待定系数法求解；
②分别求出抛物线过点N，C时的值即可．
【详解】（1）解：∵，（水平）与x轴的距离为8，
∴，
∴，
∴滑道：，
当时，，
∴，
当时，，
∴P点坐标为：；
故答案为：24；；12．
（2）解：①设G的解析式为：，
由题意得：，
解得：，
∴G的解析式为：，
当时，，
∵，
∴抛物线G与滑道不能相交；
②当时，
，
∴向上平移距离d的最大值为5.5，最小值是4．
【点睛】本题考查了函数的综合运用，求反比例函数和二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．
6．如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)把上表中的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？
(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．
【答案】(1)画图见解析
(2)
(3)活动托盘B与点O的距离是厘米．
(4)活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．
【分析】（1）先描点，再利用平滑的曲线连接即可；
（2）由给定的点的横纵坐标的积为常数，可得是的反比例函数，再求解解析式即可；
（3）把代入，求解的值即可得到答案；
（4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．．
【详解】（1）解：如图，画图如下：
（2）由横纵坐标的积为：，
∴设，
则，
∴函数解析式为：；
（3）当时，则，
即活动托盘B与点O的距离是厘米．
（4）∵，
当时，随的减小而增大，
∴活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
7．如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表．
(1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式；
(2)经过多少秒时，路程为0.225米？
(3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度）
【答案】(1)二次函数，
(2)1.5秒
(3)7秒
【分析】（1）先根据一次函数和反比例函数的性质排除不是这两种函数，即符合二次函数关系，然后用待定系数法求解即可；
（2）把代入解析式求解即可；
（3）根据两球滚过的路程差为1.6米列方程求解即可．
【详解】（1）∵，
∴s与t不是一次函数关系．
∵，
∴s与t不是反比例函数关系，
∴s与t是二次函数关系，
设，
把代入得
，
解得，
∴；
（2）把代入，得
，
解得（负值舍去），
答∶经过1.5秒．
（3）由题意得∶
，
解得．
答：总时间为7秒．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的应用，求出二次函数解析式是解答本题的关键．
8．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高米，宽米，出口点到的距离为米，求：
(1)段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)C点到轴的距离长是多少？
(3)若滑梯上有一个小球，的高度不高于米，则到的距离至少多少米？
【答案】(1)
(2)米；
(3)米
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，求得，设双曲线的解析式为，得到，于是得到结论；
（2）根据题意写出点的横坐标，然后代入中解析式求出即可；
（3）令，解出的取值范围即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
设双曲线的解析式为，
，
段所在的反比例函数关系式是；
（2），
点的横坐标为，
当时，，
长为米；
（3）的高度不高于米，即，
，
解得，
，
到的距离至少米，
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
A种口罩
B种口罩
甲店
a
b
乙店
0.8
1
大礼包类型
进价/（元/个）
售价/（元/个）
A
47
65
B
37
50
销售单价（元）
日销售量（件）
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…
0
2
4
6
…
1.8
3
3.4
3
…
（单位：Ω）
5
10
15
20
25
（单位：A）
0．4
10
15
20
25
30
30
20
15
12
10
t（秒）
0
0.4
0.8
1
1.2
1.6
…
s（米）
0
0.016
0.064
0.1
0.144
0.256
…