专题03 一元一次不等式组的应用（原卷版讲义）

这是一份专题03 一元一次不等式组的应用（原卷版讲义），共12页。

知识点1：由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
知识点2：一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
题型归纳
【题型1 排队等候时间问题】

1．春运期间，在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站等的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
A．2B．3C．4D．5
春运开始，婺源长途汽车站以服务乘客为宗旨，随时根据乘客流量，调整检票口的数量，尽量使乘客不在车站滞留．2月9日，车站开始检票时，有名乘客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有乘客继续前来排队检票进站．设乘客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候检票的乘客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的乘客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，以使后来到站的乘客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
3．在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能够随到随检，问需要同时开放几个检票口？
【题型2 根据实际问题列一元一次不等式(组)】
4．（2023春•萧县校级月考）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得
A．
B．
C．
D．
【题型3 盈亏问题】
5．（2023春•天长市校级月考）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为，则列式正确的是
A．B．
C．D．
6．（2023春•定远县校级期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生
A．11人B．12人C．11或12人D．13人
7．（2023春•金寨县期中）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到2本，这些书有多少本？共有多少人？
【题型4 采购方案问题】

8．（2023春•宣城期末）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买，两种笔记本作为奖品，种笔记本每本8元，种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有
A．7种B．8种C．9种D．10种
9．（2024春•庐阳区校级期中）今年3月份新能源汽车迎来一次降价潮，某店经销的某品牌款汽车、款汽车都进行了相应的降价，若按此价格月售20台款汽车和10台款汽车，销售额为230万元；月售10台款汽车和20台款汽车，销售额为220万元．
（1）求今年3月份款汽车和款汽车每辆的售价各是多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的、款汽车，已知款汽车每辆进价为6.5万元，款汽车每辆进价为5万元，公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进款汽车的数量不少于购进款汽车的数量，有哪几种进货方案？并求出最大利润．
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，为打开款汽车的销路，公司决定对款汽车进行打九八折出售，并给出每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元的利好政策，要使（2）中所有的方案获利相同，的值应是 万元．（不必提供求解过程，直接给出值即可）
10．（2023春•霍邱县期中）利用方程（组或不等式（组解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元．
（1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？
（2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？说明理由．
11．（2024春•埇桥区校级期中）学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
（2）学校准备用不超过2580元购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，其中乒乓球拍的数量不少于20副，求有哪几种购买方案？
12．（2024春•瑶海区校级期中）“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元．
（1）求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少；
（2）若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．问有几种购买方案？最低总费用是多少？
13．（2024春•长丰县期中）某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买，两种型号的垃圾处理设备，已知1台型设备和3台型设备的日处理能力为44吨；3台型设备和1台型设备的日处理能力为60吨．
（1）分别求1台型设备、1台型设备的日处理能力．
（2）根据实际情况，该乡镇需购买，两种型号的垃圾处理设备共8台，要求型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知型设备每台7万元，型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案．
14．（2024春•瑶海区期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
（2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？
15．（2023春•黄山期末）为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．
（1）求，的值；
（2）计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
16．（2022春•埇桥区期中）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：
（1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解）
（2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
17．（2023春•定远县校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市何时获得的利润最大？
18．（2023春•南陵县期末）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜1个，共需资金600元；若购买甲种书柜1个，乙种书柜2个，共需资金660元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
19．（2023春•长丰县期末）2023年4月23日是第28个“世界读书日”，长丰县图书馆举行了“阅来悦好书香长丰”阅读服务活动．为满足全县人民的读书需求，假设县图书馆计划采购社科图书和儿童读物两类图书．经了解，20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元（注：所采购的社科图书价格都一样，所采购的儿童读物价格都一样）．
（1）求每本社科图书和儿童读物各多少元．
（2）若县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，其中儿童读物要比社科图书多20本，且总费用不超过2000元，请列出所有符合条件的购书方案．
【题型5 程序框图问题】
20．（2024春•霍邱县月考）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则的取值范围为 ．
【题型6 租车方案问题】
21．（2024春•蚌山区月考）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
22．（2024春•大观区校级月考）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为
辆；
（3）在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
过关检测
1．（2024春•蜀山区校级期中）已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是
A．B．C．D．
2．（2024春•瑶海区校级期中）已知三个实数，，满足，，则
A．，B．，C．，D．，
3．（2024春•蜀山区校级期中）如图表示的是关于的不等式的解集，则的值是
A．0B．C．D．3
4．（2024春•蜀山区校级期中）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于 元才能避免亏本．
A．4.5B．4.8C．5D．6
5．（2024春•大观区校级期中）已知不等式组的解集为，则的值为
6．（2023春•大观区校级期末）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
7．（2023春•芜湖期末）将若干只鸡放入若干个笼内，若每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满，那么最多有 只鸡．
8．（2023春•凤台县期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题：
（1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 ；
（2）如果要使开始输入的的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为 ．
10．（2023春•谯城区校级期末）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，费用不超过365万元，且型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
11．（2023春•定远县期中）为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生．
满分技法
排队等候时间问题的解题步骤：
第1步:认真审题,找出题中的已知量和未知量，以及它们之间的关系；
第2步:列表表示出所有的排队顺序、每个个体等候时间及等候时间总和；
第3步:结合表格得出实际问题的答案,并写出.
满分技法
列一元一次不等式(组)解决实际问题，其关键是寻找题目中的不等关系.不等关系可分为两类:一是题目中的关键词语,如“大于”“小于”“至多”“至少”“超过”“不超过”等，直接根据关键词语表示不等关系;二是没有明显的关键词语，要在充分理解题意的基础上，提炼出具有不等关系意义的量,列出不等式.
满分技法
仔细阅读题目，理解问题的背景和具体情境。明确题目中涉及的各个元素，如分配的对象、分配的方式、分配的数量等.
满分技法
采购方案不等式解题技巧主要涉及根据采购条件设置不等式，然后通过求解这些不等式来找到满足条件的采购方案。具体步骤如下：
理解问题背景，理解采购的具体要求和限制条件，确定需要采购的商品种类、数量、单价以及总预算等关键信息；
根据题目要求，设立一个或多个不等式来表示采购的限制条件。
求解不等式，在求解过程中要特别注意不等号的方向，避免出错。
验证解的正确性，既要验证不等式计算的正确性，还要验证得到的解是否满足题目的所有条件和实际要求。
注意：在实际问题中，可能还需要考虑其他因素，如商品的可用性、运输成本等，这些因素也会影响到最终的采购方案。
型
型
价格（万元台）
年载客量（万人年）
60
100
甲
乙
进价（元件）
14
35
售价（元件）
20
43
满分技法
首先要正确理解程序表达的逻辑语言，然后列出符合程序逻辑语言的不等式，最后解不等式（组），并检验其结果的正确性.
满分技法
租车方案解题技巧：
1. 理解问题背景：（1）仔细阅读题目，明确问题的背景和条件（2）理解需要优化的目标（如最小化租金、最大化舒适度等）。
2. 列出不等式：根据问题的条件，列出与租车方案相关的不等式。注意不等式要能够准确反映问题的约束条件。
3. 解不等式（组）：运用不等式的解法，求出不等式（组）的解集。注意解集可能包括多个解，需要结合实际情况进行筛选。
4. 检验解的正确性：将求得的解代入原问题中，检验其是否满足所有条件。
甲型客车
乙型客车
载客量（人辆）
35
30
租金（元辆）
400
340