2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课]

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题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)如图，在△ABC中，cs∠BAC＝eq \f(1,4)，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝eq \f(\r(15),2)，则△ABC的面积的最大值为________．
(2)(2022·天津)在△ABC中，eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中点，eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，试用a，b表示eq \(DE,\s\up6(→))为________，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，则∠ACB的最大值为________．
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思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，则BC的长为( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6) C．3eq \r(3) D．6
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 如图，在△ABC中，点P满足2eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( )
A．3 B．3eq \r(2) C．1 D.eq \f(1,3)
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命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))的最大值为________．
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命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] B．[eq \r(2)－1，eq \r(2)]
C．[eq \r(2)，eq \r(2)＋1] D．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
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思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)已知平行四边形ABCD的面积为9eq \r(3)，∠BAD＝eq \f(2π,3)，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))，则|eq \(AF,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(11) B．3 C.eq \r(7) D.eq \r(5)
(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1 B．2eq \r(2)－1 C．2eq \r(3)－1 D.eq \r(7)－1
(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]