太原市第十二中学校2023届九年级上学期月考数学试卷(含解析)

这是一份太原市第十二中学校2023届九年级上学期月考数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（ ）
A. 2x2+5x﹣7＝0B. 2x2+5x+1＝0C. 2x2﹣5x+1＝0D. x2﹣7x﹣1＝0
答案：B
解析：
详解：解：（x+3）（2x﹣1）＝﹣4
故选B
2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：把代入方程
得，解得，，
而，
所以．
故选：A．
3. 用配方法解方程时，应将其变形（ ）
A. B.
C D.
答案：C
解析：
详解：解：，
，
，
，
故选：C．
4. 如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（ ）
A. B. ，，
C. D.
答案：C
解析：
详解：A. ，对角线相等，可以判定为矩形
B. ，，，可知△ABC为直角三角形，故∠ABC=90°，故可以判定为矩形
C. ，对角线垂直，不能判定为矩形
D. ，可得AO=BO,故AC=BD，可以判定为矩形
故选C.
5. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是（ ）
A. 一直增大B. 不变C. 先减小后增大D. 先增大后减小
答案：C
解析：
详解：解：如图所示，连接．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：如图，过A点作轴于D点，
的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．
，
，
为的中点，
，
，
，
则点的坐标为：，．
故选：．
7. 若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A. 6B. 12C. 12或D. 6或
答案：D
解析：
详解：解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
8. 如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：∵矩形中，
∴
∵：：，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故选C．
9. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）
A. 6B. C. D.
答案：B
解析：
详解：x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
10. 正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM：③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的是（ ）

A. ①②③B. ①③④C. ①②④⑤D. ①③④⑤
答案：D
解析：
详解：①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠EPF=∠BAP．
在△EPF和△BAP中，有，
∴△EPF≌△BAP（AAS），
∴EF=BP，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC=EF=BP，即①成立；
②无法证出AP=AM；
③∵FG∥EC，
∴∠GFP=∠EPF，
又∵∠EPF=∠BAP，
∴∠BAP=∠GFP，即③成立；
④由①可知EC=BP，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，
∵PA=PF，且∠APF=90°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF2=AP2+EP2=2AP2，
∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=AF2，即④成立；
⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤．
故选D．
11. 如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
答案：C
解析：
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB=4．
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16．
故选C．
二、填空题
12. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___．
答案：且
解析：
详解：由关于的方程有两个不相等的实数根
得，
解得
则且
故答案为且
13. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．
答案：45°
解析：
详解：
∵
∴
∴
故答案为：45°．
14. 如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，点P在上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为______
答案：或或
解析：
详解：解：∵四边形为矩形，，
∴，，
∵点D是的中点，
∴；
①当时，在中，，
∴；
②当，点P在点D的左侧时，过点作于点，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴此时点P坐标为；
当，点P在点D的右侧时，
同法可得：，
∴；
∴此时点P坐标为；
综上：或或．
故答案为：或或．
15. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，.若，则______．
答案：
解析：
详解：解：过点E作EM⊥AD垂足为M，EN⊥CD垂足为N，则∠DME=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=∠MDC =90°，，
∴四边形DMEN为矩形，
∵∠CDE=45°，
∴∠ADE=135°，
∴∠MDE=45°，
∴∠MED=45°，
∴DM=EM，
∴矩形DMEN为正方形，
设DM=EM=DN=EN=x，则AM=x+1，
在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，AE=BD，
∴2=（x+1）2+x2，
∴或（负值舍去），
∴，
∴，
∵正方形，∴EF=CE，
在Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，
∴
∴
三、解答题
16. 解下列方程；
（1）；（配方法）
（2）（因式分解法）
答案：（1），
（2）．
解析：
小问1详解：
解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
小问2详解：
解：，
，
，
，
，
．
17. 小明在解方程时发现了错误，解答过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）小明解答过程是从第_____步开始错误的，其错误原因是_____．
（2）第三步所使用的公式是______．
（3）写出此题正确的解答过程．
答案：（1）一，方程没有化成一般式
（2）
（3），正确的解答过程见解析
解析：
小问1详解：
解：小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式，
故答案为：一，方程没有化成一般式；
小问2详解：
解：第三步所使用的公式是，
故答案为：；
小问3详解：
解：方程化为：，
，
，
，
．
18. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
小问2详解：
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
19. 由多项式乘法：
，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解公式：．
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式：____________）
（2）应用：请用上述方法解方程：．
（3）拓展：请用上述方法解方程：．
答案：（1）2，4（或4，2）
（2），；
（3），．
解析：
小问1详解：
解：
故答案为：2，4（或4，2）；
小问2详解：
解：∵，
或，
解得：，；
小问3详解：
解：，
∴，
∴或，
∴，．
20. 如图①，在正方形中，点分别在上且．

（1）试探索线段的大小关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接，分别取的中点，顺次连接，得到四边形：
①请在图②中补全图形；
②四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．
答案：（1），说明理由见解析
（2）①请在图②中补全图形见解析；
②四边形是正边形，说明理由见解析
解析：
小问1详解：
解：．
∵是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
小问2详解：
解：①补全图形如图，

②四边形是正方形．
∵H、I、J、K分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
21. 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，…依此类推，若第次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图，中，若，，则为1阶准菱形：中，若，，则为3阶准菱形．
（1）判断与推理：
邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形；
（2）操作、探究、计算：
①已知的边长分别为1，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在下方写出的值．
②已知的邻边长分别为，，满足，，请写出是______阶准菱形．
答案：（1）2；（2）①画图见解析；，，，；②6．
解析：
详解：（1）邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
故答案为2．
（2）①如图
a=4×1=4；
a=2×1+1÷2=
a=1+1÷3=
；
②6阶准萎形．如图所示：
故答案为6．
22. (1)如图1，将矩形折叠，使落在对角线上，折痕，点落在点 处，若，则 º;
(2)小丽手中有一张矩形纸片，，.她准备按如下两种方式进行折叠:
①如图2，点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为，若，求的长;
②如图3，点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点，分别落在，处，若，求的长.
答案：（1）12；（2）①AG=;②
解析：
详解：解：（1）∵∠DAC＝66°，
∴∠CAB＝24°
∵将矩形ABCD折叠，使AB落在对角线AC上，
∴∠BAE＝∠CAE＝12°
故答案为12；
（2）如图2，过点F作FH⊥AB于H，
∵∠D＝∠A＝90°，FH⊥AB
∴四边形DFHA是矩形
∴AD＝FH＝4，
∵将纸片ABCD折叠
∴DF＝D1F＝5，DG＝D1G，
∴D1H＝，
∴AD1＝2
∵AG2＋D1A2＝D1G2，
∴AG2＋4＝（4−AG）2，
∴AG＝；
②∵DK＝，CD＝9，
∴CK＝9−＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠CKH＝∠AHK，
由翻折不变性可知，∠AHK＝∠CHK，
∴∠CKH＝∠CHK，
∴CK＝CH＝，
∵CB＝AD＝4，∠B＝90°，
∴在Rt△CDF中，BH＝，
∴AH＝AB−BH＝，
由翻折不变性可知，AH＝A1H＝，
∴A1C＝CH−A1H＝3．