天津市北仓二中九年级（上）第一次月考数学试卷 （含解析）

这是一份天津市北仓二中九年级（上）第一次月考数学试卷 （含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年天津市北仓二中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分．请将答案填在下列表格中）
1．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）下列方程属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）方程的根是　　
A． B． C． D．，
3．（3分）（2015秋•仙游县期末）已知是一元二次方程的一个解，则的值是　　
A． B．3 C．0 D．0或3
4．（3分）（2019秋•连城县期中）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为　　
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）二次函数的最小值是　　
A．2 B．1 C． D．
6．（3分）二次函数的图象可由的图象　　
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
7．（3分）（2011秋•宁城县期末）将方程化为的形式，则，的值分别是　　
A．3和5 B．和5 C．和14 D．3和14
8．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）已知二次函数的图象如图所示，则对应，的符号正确的是　　

A．， B．， C．， D．，
9．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．（3分）（2005•武汉）若有二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为　　
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　．
12．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）抛物线的开口向　　，对称轴　　，顶点坐标　　．
13．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）若二次函数的图象过点，则的值是　　，在对称轴左侧，随的增大而　　．
14．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）二次函数的图象开口向下，则　　．
15．（3分）（2009•永州）若实数满足，则的值为　 　．
16．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）抛物线的开口　　，对称轴　　，顶点坐标是　　．
17．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）抛物线与轴交点的坐标为　 　．
18．（3分）（2005•兰州）一条抛物线的对称轴是且与轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是　 　（任写一个）．
19．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）已知一元二次方程，则　　，　　．
20．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）长方形的长比宽多，面积为，则它的周长为　 　．
三、解答题
21．（8分）（2019秋•北辰区校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
22．（8分）如图．利用一面墙（墙的长度不限），用的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为．
（1）用含的式子表示；
（2）若面积，求的长；
（3）能围成的矩形吗？说明理由．

23．（6分）（2019秋•北辰区校级月考）已知二次函数的图象经过点
（1）求的值，并写出这个二次函数的解析式；
（2）求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标．
24．（10分）（2019秋•北辰区校级月考）根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点，，；
（2）已知抛物线顶点，且过点；
25．（8分）（2016•北京）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．

2019-2020学年天津市北仓二中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分．请将答案填在下列表格中）
1．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）下列方程属于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【考点】：一元二次方程的定义
【分析】根据是否为整式方程对进行判断；根据未知数的个数对、进行判断；根据一元二次方程的定义对进行判断．
【解答】解：、不是整式方程，所以选项错误；
、含有两个未知数，所以选项错误；
、是一元二次方程，所以选项正确；
、含有两个未知数，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程；一元二次方程的一般式为、、为常数，．
2．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）方程的根是　　
A． B． C． D．，
【考点】：解一元二次方程直接开平方法
【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3．（3分）（2015秋•仙游县期末）已知是一元二次方程的一个解，则的值是　　
A． B．3 C．0 D．0或3
【考点】：一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入得到关于的方程，然后解关于的方程即可．
【解答】解：把代入方程，得，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．（3分）（2019秋•连城县期中）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为　　
A． B．
C． D．
【考点】：二次函数图象与几何变换
【分析】根据抛物线的形状开口方向和抛物线的值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标，开口方向和大小与抛物线相同，
这个二次函数的解析式为．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．
5．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）二次函数的最小值是　　
A．2 B．1 C． D．
【考点】：二次函数的最值
【分析】根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【解答】解：由于，
所以当时，函数取得最小值为2，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
6．（3分）二次函数的图象可由的图象　　
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
【考点】：二次函数图象与几何变换
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【解答】解：的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到二次函数的图象．
故选：．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
7．（3分）（2011秋•宁城县期末）将方程化为的形式，则，的值分别是　　
A．3和5 B．和5 C．和14 D．3和14
【考点】：解一元二次方程配方法
【分析】利用配方法：先把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将原方程配成的形式．
【解答】解：，
，
，
，
，．
故选：．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意掌握掌握配方法的一般步骤．
8．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）已知二次函数的图象如图所示，则对应，的符号正确的是　　

A．， B．， C．， D．，
【考点】：二次函数图象与系数的关系
【专题】65：数据分析观念；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据二次函数的解析式和图象得出即可．
【解答】解：二次函数的图象开口向下，顶点在轴上，
，，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的图象与系数的关系等知识点，能根据图象得出正确的信息是解此题的关键．
9．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）关于的一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】：根的判别式
【专题】45：判别式法；523：一元二次方程及应用；66：运算能力
【分析】根据判别式公式，求这个一元二次方程的判别式，根据正负情况即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
△

，
该方程没有实数根，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
10．（3分）（2005•武汉）若有二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为　　
A． B． C． D．
【考点】：抛物线与轴的交点
【分析】先找出二次函数的对称轴是轴，再找时的函数值即可．
【解答】解：二次函数的对称轴是轴，当取，时，函数值相等，即以，为横坐标的点关于轴对称，则，此时函数值为．
故选：．
【点评】解答此题要熟悉二次函数的对称轴为轴，且据此求出时函数的值．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　．
【考点】：一元二次方程的定义
【专题】65：数据分析观念；523：一元二次方程及应用
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：由题意，得．
解得．
故答案是：．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）抛物线的开口向　下　，对称轴　　，顶点坐标　　．
【考点】：二次函数的性质
【专题】65：数据分析观念；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据二次函数的性质和函数的解析式得出答案即可．
【解答】解：抛物线中，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：下，直线，．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
13．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）若二次函数的图象过点，则的值是　　，在对称轴左侧，随的增大而　　．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的性质
【专题】69：应用意识；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据二次函数的图象过点，可以求得的值，然后根据二次函数的性质，可以得到在对称轴左侧，随的增大如何变化．
【解答】解：二次函数的图象过点，
，
解得，，
当时，随的增大而增大，
故答案为：，增大．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）二次函数的图象开口向下，则　　．
【考点】：二次函数图象与系数的关系
【专题】524：一元一次不等式（组及应用；65：数据分析观念；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据二次函数的性质得出，求出即可．
【解答】解：二次函数的图象开口向下，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，能根据二次函数的性质得出不等式是解此题的关键．
15．（3分）（2009•永州）若实数满足，则的值为　1　．
【考点】33：代数式求值
【专题】16：压轴题；36：整体思想
【分析】先对已知进行变形，所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法即可求解．
【解答】解：，，的值为1．
【点评】本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．要把看作一个整体，整体代入即可求出答案．
16．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）抛物线的开口　向下　，对称轴　　，顶点坐标是　　．
【考点】：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质；69：应用意识
【分析】根据抛物线，可将函数解析式化为顶点式，即可解答本题．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：向下，直线，．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）抛物线与轴交点的坐标为　　．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征
【分析】把代入解析式求出，根据轴上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：当时，，
则抛物线与轴交点的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握轴上点的横坐标为0是解题的关键．
18．（3分）（2005•兰州）一条抛物线的对称轴是且与轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是　　（任写一个）．
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点
【专题】26：开放型
【分析】本题是结论开放型题型，要根据对称轴且与轴有惟一的公共点，并且开口方向向下的要求，写出一个抛物线解析式．
【解答】解：设二次函数，
对称轴是且与轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，
，，△，即，满足这些特点即可．如．
【点评】主要考查了二次函数的性质，要了解性质与函数中，，的关系．
19．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）已知一元二次方程，则　　，　　．
【考点】：根与系数的关系
【专题】66：运算能力；523：一元二次方程及应用
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．、
【解答】解：由根与系数的关系可知：，，
故答案为：；
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是数量运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
20．（3分）（2019秋•北辰区校级月考）长方形的长比宽多，面积为，则它的周长为　32　．
【考点】：一元二次方程的应用
【专题】121：几何图形问题
【分析】长方形的面积长宽，周长（长宽）．设长方形的宽为，则长是，根据面积即可得到方程，从而求解．
【解答】解：设长方形的宽为，根据题意得
，
经解和检验后得，
那么周长就应该是．
答：它的周长为．
【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题的周长，要结合面积公式先求出长方形的长和宽．
三、解答题
21．（8分）（2019秋•北辰区校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【考点】：解一元二次方程公式法；：解一元二次方程因式分解法；：解一元二次方程配方法；：解一元二次方程直接开平方法
【专题】521：一次方程（组及应用；66：运算能力
【分析】（1）方程开方即可求出解；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用配方法求出解即可；
（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）开方得：，
解得：，；
（2）分解因式得：，
解得：，；
（3）配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（4）方程整理得：，
分解因式得：，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
22．（8分）如图．利用一面墙（墙的长度不限），用的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为．
（1）用含的式子表示；
（2）若面积，求的长；
（3）能围成的矩形吗？说明理由．

【考点】：一元二次方程的应用
【专题】69：应用意识；523：一元二次方程及应用
【分析】（1）靠墙的一面不需要篱笆，矩形养鸡场只需要一个长，两个宽用篱笆围成．设宽为，长就是，用矩形面积公式列表示出；
（2）令，求得的值即可；
（3）令，利用根的判别式判断即可；
【解答】解：（1）设矩形与墙垂直的一边，矩形的面积为，则长为；
依题意列方程：
根据题意得到：

（2），
解得或，
故的长为或．

（2）不能．
因为设矩形场地的宽为，则长为，
依题意列方程：，
即，
△，
方程无实数解，
故矩形场地的面积不能达到
【点评】考查了一元二次方程的应用，用一定长的篱笆围长方形，围成的面积是有限度的，能不能围成，就是看面积的值能不能使方程有解．
23．（6分）（2019秋•北辰区校级月考）已知二次函数的图象经过点
（1）求的值，并写出这个二次函数的解析式；
（2）求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的性质；：待定系数法求二次函数解析式
【专题】11：计算题；66：运算能力；535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点代入解析式得到关于的方程，然后解方程即可；
（2）把代入解析式求出的值即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点，
，
，
二次函数的解析式为；
（2）抛物线上点的纵坐标为3，
，
解得，
此抛物线上纵坐标为3的点的坐标为，．
【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与图象上的点之间的关系，点在图象上，则满足解析式；反之，满足解析式则在函数图象上．
24．（10分）（2019秋•北辰区校级月考）根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点，，；
（2）已知抛物线顶点，且过点；
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质；66：运算能力；11：计算题
【分析】（1）设二次函数解析式为一般式，然后把点、、三点的坐标代入得到关于、、的方程组，然后解方程组求出、、的值即可得到抛物线解析式；
（1）由于已知顶点坐标，则设顶点式，然后把代入求出即可；
【解答】解：（1）设抛物线解析式为，
根据题意得：，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
25．（8分）（2016•北京）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．
【考点】：解一元二次方程因式分解法；：根的判别式；：解一元一次不等式
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△，代入数据即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令，将代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
（2），此时原方程为，
即，
解得：，．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于的一元一次不等式；（2）选取的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．

考点卡片
1．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝﹣b±b2﹣4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
15．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
17．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．