山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（含详解）

这是一份山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（含详解），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）．
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
3．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法：①当时，它是矩形；②时，它是菱形；③当时，它是菱形；④当时，它是正方形．其中正确的有（ ）
A．①②B．②④C．③④D．②
5．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．5B．10C．12D．14
6．如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．2B．2C．2D．
7．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
8．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
9．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，点为的中点，则的最小值为（ ）
A．1.4B．2.4C．1.2D．1.3
10．如图，正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：①；②垂直平分；③；④，其中错误结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：（本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．）
11．若，则 ．
12．如果，则a的取值范围是
13．关于的方程有实数根，则m的取值范围是 ．
14．若是一元二次方程的两个实数根，则的值 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的表达式为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ．
17．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为 ．
18．如图，已知在中，，，在内作第一个内接正方形；然后取的中点P，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点Q，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2024个内接正方形的边长为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．按要求化简、求值或解方程．
(1)，为实数，且满足，求的算术平方根；
(2)先化简，再求值：，其中
(3)解方程：
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，
(1)画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的，并写出点的对应点的坐标；
(2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的面积比为，并写出点的对应点的坐标；
(3)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点的对应点的坐标（用含的代数式表示）．
21．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在市的正西方向的处，以的速度正向南偏东的方向移动，距沙尘暴中心的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．市是否会受到沙尘暴的影响，请说明理由；若受影响，求出受影响的时间．
22．在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下：
①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m；
②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度．
23．“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．

(1)求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元?
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8m，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
25．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
(1)尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明；
(2)基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长；
(3)拓展升华：如图4，中，，，平分，的中垂线交延长线于点，当 时，求的长．
附加题
26．一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究：
课本再现：
（1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少?

类比探究
（2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值．
参考答案
一、选择题
1．A
【解答】解：∵，，
∴以，为根的一元二次方程是，
故选：A．
2．A
【解答】解：A. 化为，故本选项错误，符合题意；
B. 化为，故本选项正确，不符合题意；
C. 化为，故本选项正确，不符合题意；
D. 化为，故本选项正确，不符合题意；
故选择：A
3．C
【解答】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
4．D
【解答】解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当时，四边形ABCD是菱形，①错误；
②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当时，四边形ABCD是菱形，②正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③错误；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，平行四边形ABCD是矩形，不是正方形，④错误；
综上，正确的为②．
故选：D．
5．B
【解答】解：作PM⊥AB于P，交DC于Q．
则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，
∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，
∴2S△DEM=2S△MFB
∵DE=CF=2，EM=5，
∴S△DEM=S△MFB=×2×5=5，
∴S阴=5+5=10，
故选：B．
6．A
【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为，
在正方形中，
因为 ,
即 ，
∵，
∴，
故答案为：.
7．D
【解答】解：设，，，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【解答】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=，
∴OC=，
∴OD=，
…
∴OG=，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．C
【解答】连接AP，
∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形AEPF是矩形，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离中垂线段最短，即时，AP最短，此时PM也最短；
∴当时，，
∴；
故答案选C．
10．D
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，即，
∵，
∴垂直平分，故②正确；
设，则，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，故③错误；
∵，，
∴，故④正确；
综上所述，错误的为③，共个，
故选：D．
二、填空题
11．
【解答】解：设，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【解答】解： ，
，
，
．
故答案为：．
13．
【解答】解：当时，即时，原方程即为，解得，符合题意；
当，即时，
∵关于的方程有实数根，
∴，
解得且；
综上所述，，
故答案为：．
14．
【解答】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为a和b，
∴a+b＝，ab＝﹣3，
∴，
故答案为：．
15．
【解答】∵四边形是正方形，
∴，关于直线对称，
连接交于点，连接，，
∴，
当点，，三点共线时，的值最小；
∵，
∴点，，
∵点为的中点，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴；
由于点最小时，点P在直线上，
∴直线的表达式为：．
故答案为：．
16．（3，2）
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
17．
【解答】解：如图，令与交于点，
，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴
由折叠的性质可得：，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．
【解答】解：∵在中，，
∴，，
∵在内作第一个内接正方形，
∴，
∴，
∴，
∵取的中点P，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点Q，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
……，
同理可得第n个内接正方形的边长为：，
∴则第2024个内接正方形的边长为．
故答案为：．
三、解答题
19．
【解答】（1）解：由题意可得：且且，
解得：，
则，
，
∴的算术平方根为；
（2）解：，
，
，
当时，原式；
（3）解：，
，
即：或，
或．
20．
【解答】（1）解：如图所示，为所求三角形，；
（2）解：如图所示，为所求三角形，；
（3）解：∵在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的面积比为，
∴和的相似比为，
∵，
∴．
21．
【解答】解：如图，过点作于，
由题意得，，
∴，
∵，
∴市受沙尘暴影响；
以点为圆心，为半径作圆，交于点，，当沙尘暴在线段上移动，都对市有影响，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴受影响的时间为．
答：市会受到沙尘暴的影响，市受沙尘暴影响的时间为．
22．
【解答】解：由题意可知， ，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
答：树的高度为．
23．
【解答】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，
设其函数关系式为，
将，代入，得，解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为﹔
（2）根据题意得：，
整理得，，解得，，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
∴，即，
∴不合题意应舍去，∴．
∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元．
24．
【解答】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x）•2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝2t．
当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，
解得：t＝．
当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，
解得：t＝．
综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
25．
【解答】（1）证明：∵，
，，
，
，
，，
，
，
．
（2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由（1）可知，，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
．
（3）解：为的角平分线，
，，
，，，
，
，
的中垂线交延长线于，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
．
26．
【解答】解：（1）设正方形零件的边长为，则，
∵，
∴．
∴，
∴，
解得．
∴正方形零件的边长为．
（2）．理由如下：如图．
设每个正方形的边长为．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）①如图，
，
设每个正方形的边长为．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴；
②如图，设每个正方形的边长为．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
．