北师版九上数学专题1 矩形、正方形中的四个常考模型 课件

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第一章　特殊平行四边形专题1　矩形、正方形中的四个常考模型数学 九年级上册 BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1专题解读◎问题综述几何变换主要是平移、翻折、旋转三大变换，它们最大的特征都是只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小.四边形作为初中阶段最核心的内容之一，逐渐被用来作为呈现知识和能力的载体.常见模型如下：1. 折叠中的“十字架”模型.如图，在正方形 ABCD 中， EG ⊥ FH ，则有 EG ＝ FH . 2. 旋转中的“手拉手”模型.如图，将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转90°，可得到△ BP ' A ，则△ BPP '为等腰直角三角形.3. 旋转中的“K”模型.如图，在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，直角 EOF 绕点 O 旋转.若 OE ， OF 分别与射线 DA ， AB 交于点 G ， H ，则△ AGO ≌△ BHO ，△ OGH 是等腰直角三角形.4. 正方形中的半角模型.从正方形的一个顶点出发的两条线所夹的角等于正方形内角的一半，并且与正方形的边（或其延长线）相交.（1）如图1，在正方形 ABCD 中，若∠ EAF ＝45°，则：① EF ＝ BE ＋ DF ；②△ CEF 的周长为正方形 ABCD 边长的2倍；③ FA 平分∠ DFE ， EA 平分∠ BEF ；④ MN2＝ BM2＋ DN2.（2）如图2，在正方形 ABCD 中，若∠ EAF ＝45°， FA 平分∠ DFE ，则 EF ＝ DF － BE . 数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练类型一　折叠中的“十字架”模型 如图， ABCD 是一张矩形纸片， AB ＝3， BC ＝9.在边 AD 上取一点 E ，在 BC 上取一点 F ，将纸片沿 EF 折叠，点 C 恰好落在点 A 处，点 D 落在点 D '处，则线段 EF 的长度为 ⁠. 【思路导航】连接 AC ，交 EF 于点 O . 首先根据勾股定理求出 AF ， AC 的长，再根据勾股定理求出 OF 的长，即可解决问题.  【点拨】矩形的翻折变换其本质就是“十字架”模型，关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，灵活运用勾股定理来解决线段长度问题. 如图，在矩形 OABC 中， OA ＝4， AB ＝3，点 D 在边 BC 上，且 CD ＝3 DB ，点 E 是边 OA 上一点，连接 DE ，将四边形 ABDE 沿 DE 折叠.若点 A 的对应点 A '恰好落在边 OC 上，点 B 为点 B '的对应点，则 OE 的长为 ⁠. 【解析】如图，连接 A ' D ， AD .  类型二　旋转中的“手拉手”模型 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA＝1， PB ＝2， PC ＝3.你能求出∠ APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△ BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转90°，得到△ BP ' A ，连接 PP '，求出∠ APB 的度数；思路二：将△ APB 绕点 B 按顺时针方向旋转90°，得到△ CP ' B ，连接 PP '，求出∠ APB 的度数.（1）请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程； 【思路导航】（1）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形的判定，即可解决问题；（2）先利用旋转求出∠ PBP '， P ' B ， P ' A ，利用勾股定理求出 PP '，进而判断出△ APP '是直角三角形，得出∠ APP '＝90°，即可得出结果.解：（1）思路一：如图1，将△ BPC 绕点 B 按逆时方向针旋转90°，得到△ BP ' A ，连接 PP '，则△ ABP '≌△ CBP ，∠ PBP '＝90°， P ' B ＝ PB ＝2， P ' A ＝ PC ＝3.在Rt△ PBP '中， PB ＝ P ' B ＝2，∴∠ BPP '＝45°.图1 ∵PA＝1，∴PA2＋ PP '2＝1＋8＝9.又∵ P ' A2＝32＝9，∴PA2＋ PP '2＝ P ' A2.∴△ APP '是直角三角形，且∠ APP '＝90°.∴∠ APB ＝∠ APP '＋∠ BPP '＝90°＋45°＝135°.（两个思路任选其一进行证明，合理即可）图1 在Rt△ PBP '中， PB ＝ P ' B ＝1，∴∠ BPP '＝45°. ∵PA＝3，∴PA2＋ PP '2＝9＋2＝11. ∴PA2＋ PP '2＝ P ' A2.图2∴△ APP '是直角三角形，且∠ APP '＝90°.∴∠ APB ＝∠ APP '－∠ BPP '＝90°－45°＝45°.图2【点拨】正方形两邻边相等且垂直，联想到构造“手拉手”全等三角形解决问题.图2 如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 DB 的延长线上任意一点，以线段 BG 为边作一个正方形 BEFG ，线段 CE 和 AG 相交于点 H . （1）求证： CE ＝ AG ， CE ⊥ AG ；（1）证明：∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形，∴∠ ABC ＝∠ EBG ＝90°， AB ＝ BC ， BE ＝ BG . ∴∠ ABC ＋∠ ABE ＝∠ EBG ＋∠ ABE ，  （2）若 AB ＝2， BG ＝1，求 CE 的长.  类型三　旋转中的“K”模型 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ， O 又是正方形 A1 B1 C1 O 的一个顶点， OA1交 AB 于点 E ， OC1交 BC 于点 F . （1）求证：△ AOE ≌△ BOF . （2）若两个正方形的边长都为 a ，则正方形 A1 B1 C1 O 绕点 O 转动时，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出面积.【思路导航】（1）根据正方形中的特殊性，找相等的边与角，可由“ASA”证明两个三角形全等；（2）运用割补法，把求四边形 OEBF 的面积，转化成求△ AOB 的面积.  【点拨】计算正方形中不规则图形的面积时，可利用割补法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积. 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是直线 AD 上的一点，连接 CE ，以 CE 为一边作正方形 CEFG （点 C ， E ， F ， G 按逆时针方向排列），直线 BE 与直线 GD 交于点 H . 若 AE ＝2， AB ＝4，则点 F 到 GH 的距离为 ⁠.  答图 答图类型四　正方形中的半角模型 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 上一点，点 F 是 AD 延长线上一点，且 DF ＝ BE . （1）求证： CE ＝ CF . （2）若点 G 在线段 AD 上，且∠ GCE ＝45°，则 GE ＝ BE ＋ GD 成立吗？为什么？【思路导航】（1）证明△ CBE ≌△ CDF （SAS），即可求解；（2）证明△ ECG ≌△ FCG （SAS），根据三角形全等的性质即可求解.  【点拨】解决半角模型问题的方法有两种.方法一：把半角一侧的三角形通过旋转变换或轴对称变换构造新的全等三角形，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等来转化边和角，进而可以探究新的边边关系或角角关系；方法二：截长补短. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E ， F 分别为 BC ， CD 上一点，点 M 为 EF 上一点，点 D ， M 关于直线 AF 对称.（1）求证：点 B ， M 关于直线 AE 对称；证明：（1）如图，连接 DM ， BM . ∵点 D ， M 关于直线 AF 对称，∴ AF 垂直平分 DM . ∴ AD ＝ AM ， FD ＝ FM . 又∵ AF ＝ AF ，答图∴△ DAF ≌△ MAF （SSS）.∴∠ AMF ＝∠ ADF ＝90°.∴∠ AME ＝90°.又∵ AE ＝ AE ， AB ＝ AM ，∴Rt△ BAE ≌Rt△ MAE （HL）.∴ EB ＝ EM . ∴ AE 垂直平分 BM . ∴点 B ， M 关于直线 AE 对称.答图 答图演示完毕 谢谢观看