[数学][期末]北京市东城区2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学][期末]北京市东城区2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据得
=3
故答案为A
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，是最简二次根式，符合题意；
C.，不是最简二次根式，不符合题意；
D.，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
3. 某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 众数
【答案】D
【解析】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：D．
4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】A.，不能组成直角三角形，故不符合题意；
B.，能组成直角三角形，故符合题意；
C.，不能组成直角三角形，故不符合题意；
D.，不能组成直角三角形，故不符合题意；
故选：B．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意；
故选：A
6. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】∵k＝3>0，
∴一次函数y＝3x+2的图象经过第一、三象限，
∵b＝2＞0，
∴一次函数y＝3x+2的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝3x+2的图象经过第一、二、三象限，
即一次函数y＝3x+2的图象不经过第四象限．
故选D．
7. 如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短，
此时，
故吸管露在杯子外面的长度的最短距离；
当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为，
即吸管在杯子外端的长度范围是，
选项D不符合题意，
故选：D
8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 8B. 16C. 32D.
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故选：B．
9. 如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵P是的中点，E是的中点，
∴是的中位线，
∴，,
∴
∴
同理，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10. 下面的四个问题中都有两个变量：
①正方形的面积与边长；
②等腰三角形周长为20，底边长与腰长；
③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】①正方形的面积与边长，则，故不符合题意；
②等腰三角形周长为20，底边长与腰长，则，即，故符合题意；
③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间，则，故符合题意；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，则，故不符合题意；
综上所述，符合题意的有②③，
故选：C．
二、填空题
11. 已知正比例函数的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式______．
【答案】y=-2x（答案不唯一）
【解析】∵正比例函数y=kx的图象经过第二，四象限，
∴k<0，
∴函数解析式为：y=-2x，
故答案为：y=-2x（答案不唯一）
12. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意知，，
解得，，
故答案为：．
13. 如图，点A在数轴上所对应的数为3，，且，以原点O为圆心，以为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数为______．
【答案】
【解析】由题意可得：
故弧与数轴的交点C表示的数为：．
故答案为：．
14. 一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：
那么关于x 的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】当时，，
根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
15. 某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按、面试成绩按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为___________分；
【答案】81
【解析】∵笔试成绩按、面试成绩按，
∴总成绩是（分），
故答案为：81．
16. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为________．

【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形的面积为5，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为________．
【答案】4
【解析】四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，，
的周长为12，的周长为24，
，，
，
，
，，
在中，，
，
解得：，
，
，
故答案为：4．
18. 碳是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳含量会按确定的比例衰减(如图所示)，机体内原有的碳含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳的衰变程度计算出样品的大概年代．
以下几种说法中，正确的有：________．
①碳半衰期为5730年；
②碳的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；
③经过六个“半衰期”后，碳的含量不足死亡前的百分之一；
④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳的剩余量所占百分比为，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期(公元前770年一公元前475年)．
【答案】①②
【解析】由图象可得：碳的半衰期为5730年，碳的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；故①②正确；
∵每经过一个半衰期，剩余量变为原来的，
∴经过六个半衰期后，碳的含量不足死亡前的，故③错误；
由图象可得：碳的剩余量所占百分比为所花时间为：，
∴，
∴若某遗址一生物标本2023年出土时，碳的剩余量所占百分比为，则可推断该生物标本大致属于我国的公元后年，故④错误，
综上所述，正确的有①②，
故答案为：①②．
三、解答题
19. 计算：．
解：
．
20. 已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵，
∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知，平分，
又∵，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴．
∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据)
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (三线合一定理)．
∴．
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：．

证明：连接，，如图所示：

∵四边形是平行四边形,
∴,
∵分别是的中点,
，
∴,
∴是平行四边形，∴.
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）一次函数的图象与x轴交于点B，求 的面积．
解：（1）∵一次函数的图象由直线平移得到，
∴，
∵一次函数的图象经过点，
∴
∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）如图，令，则，
∴，
∴，
∴的面积为2．
23. 数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示：
（1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；
（2）结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式；
（3）若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值．
（1）解：描点、连线如图所示：
（2）解：设弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为，
将，代入函数解析式得：，
解得：，
∴弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为；
（3）解：由题意得：当时，，
解得：，
∴若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为．
24. 某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：)，数据整理如下：
a．12名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中，的值；
（2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
（1）解：由题意得：中位数，
众数；
（2）解：甲组学生身高的平均值是，
甲组学生身高的方差是
，
乙组学生身高的平均值是，
乙组学生身高的方差是，
∵，∴舞台呈现效果更好的是甲组；
（3）解：∵，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则选择的乙组的学生的身高接近，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．
25. 如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作，与、分别相交于点M、N，连结、．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，当时，求的长．
（1）证明：矩形中，，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵于点F，，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴的长为5．
26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
根据题意得：当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为．
27. 如图，正方形中，点在延长线上，点是的中点，连接，在射线上方作，且．连接．
（1）补全图形；
（2）用等式表示与的数量关系并证明；
（3）连接，若正方形边长为5，直接写出线段的长．
（1）解：补全图形如图所示：
（2）解：，
证明如下：如图，作交的延长线于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，即，
作交的延长线于，连接，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
由（2）可得：四边形为正方形，，，
∵正方形边长为5，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点Q，给出如下定义：若在直线上存在点P，使得四边形为平行四边形，则称点Q为线段的“相随点”．
（1）已知，点，．
①在点，，，中，线段的“相随点”是 ；
②若点Q为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点Q的坐标；
（2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出 t 的取值范围．
解：（1）①∵点，．
∴
∵四边形为平行四边形
∴，
∵点P在直线上
∴设
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴
∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
∴若，且
∴，
∴
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且
∴，
∴，，矛盾，
不符合题意；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，
∴
∴
∴点Q在直线上运动
如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，
∴
∴
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度
∵点O和点关于直线对称，∴
∵，
∴
∴的最小值为；
（2）∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
∴正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为
∵点，点，设
若与等长，如图所示，当正方形左上角顶点为线段的“相随点”时，
∴，
∴，解得
若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴，解得
∴ t 的取值范围为．尺码
39
40
41
42
43
44
45
平均每天销售数量/件
10
23
30
35
28
21
8
x
…
0

y
…
9
7
5
3
1

弹簧受到的拉力(单位：)
0
5
10
15
20
25
弹簧的长度 (单位：)
6
8
10
12
14
16
平均数
中位数
众数
166.3
甲组学生的身高
165
167
167
168
168
171
乙组学生的身高
160
164
164
166
167
169