[数学][二模]山东省潍坊市2024届高考二模试题(解析版)

这是一份[数学][二模]山东省潍坊市2024届高考二模试题(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，故.
故选：C
2. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，
所以，
因此.
故选：C
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
得，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得.
故选：B.
4. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，，
所以，
故选：A.
5. 在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆，
根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应，
反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点，
因此四个选项仅逆时针旋转满足条件.
故选：C.
6. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，作出轴截面，
分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，
则为的中点，
，
因为，所以，
则
过点作，垂足为，
则，
在中，由勾股定理得，
即，解得或，
因为，所以，，故，
所以圆台的侧面积为.
故选：D.
7. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.
因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.

故选：C
8. 已知P为抛物线上一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，则求的最大值即求最大值，
由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知 ，
则最大时，最小，
设，，且，
则，
即时，，此时取得最大值，，
结合得此时，则.
故选：B.
二、多项选择题
9. 已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ）
A. 的焦距为B. 的离心率为
C. 的周长为D. 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，
所以焦距为，故A正确；
的离心率为，故B正确；
的周长为，故C错误；
对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大，
最大值为，故D正确.
故选：ABD.
10. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；
对B，由可得数列，，，…
则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；
对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；
对D，由可得数列…
因为，
存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；
故选：BD
11. 已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A.
B. 的最大值为
C.
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对A，设，根据有，
即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；
对B，
，则转化为求圆上的点到的距离最大值，
为，故B正确；
对C，，因为，故，故C正确；
对D，因为，故，
又因为，故，
，
故当时，取最小值取最小值，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
12. 已知命题：，，则为___________．
【答案】
【解析】由特称命题的否定为全称命题可得为.
故答案为：
13. 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________．
①；②至少有两个零点；③有最小值．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，其对称轴为，满足①，
令，解得或2，满足②至少有两个零点，
，当，，满足③有最小值.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________．
【答案】
【解析】由正弦定理得，则，
则.
，
，
则，
，，
则，
当且仅当时取等，
因为，则最小时，最大，
取等时，，即，即，
即，即，即.
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值；
（2）求的单调区间和极值．
解：（1）由题可得，
由题意，故，
又，故.
（2）由（1）可得，
令可得或，令可得，
故的单调递增区间是，，单调递减区间是.
则的极大值为，极小值为.
16. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．
（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；
（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据及公式：，，，．
解：（1）由题意得，，
，
，
，
故，
，
故回归方程为，
又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得，
预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元;
（2）由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年，
故的可能取值为0，1，2，3，则，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
故.
17. 如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．

（1）求证：图2中的平面平面；
（2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
（1）证明：连接，
由题意，
则等边三角形，
由余弦定理得，所以，
则，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
故，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设平面法向量为，
则有，可取，
所以点到平面的距离为．
18. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．
（1）求的方程；
（2）过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．
（3）过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为双曲线实轴长为，故，，的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
（2）由题意可知四边形为平行四边形，其面积，
由题意可得直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为直线与双曲线相切，故，
得，即，所以，直线方程为.
设直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则，
因为原点到直线的距离，
所以，所以.
（3）设，则，不妨设到直线的距离为：
，同理，
所以①
又因为②，
由①②解得或，
当时，
解得，
又，则，解得，
同理有或或，
所以存在点或或或满足.
19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．
（1）已知数列满足，．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
（2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．
（1）（ⅰ）解：由，易得，……
由一阶等差数列的定义得：
，，.
（ⅱ）证明：因为，所以当时有，
所以，即，
即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列，
即是一阶等比数列.
（2）解：由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，
则，，所以.
由题意，所以，
所以，
即.
所以为整数当且仅当为整数.
由已知时符合题意，时不合题意，
当时，，
所以原题等价于为整数，
因为①，
显然含质因子3，所以必为9的倍数，
设，则，将代入①式，
当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数；
当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数，
又因为2与9互质，所以①为整数.
综上，当时，为整数.年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均可支配收入
3.65
3.89
4.08
4.30
4.65
4.90
5.12
0
1
2
3