数学：山东省潍坊市2024届高考三模试题（解析版）

这是一份数学：山东省潍坊市2024届高考三模试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，
A选项，当时，，不合题意，A错误；
B选项，当时，，不合要求，B错误；
C选项，当时，，故C正确；
D选项，当时，，D错误故选：C
2. 已知集合 ，则的子集个数是（ ）
A. 3 个B. 4 个C. 8 个D. 16 个
【答案】C
【解析】由题意得，，则的子集有个，故选：C．
3. 如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（ ）

A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】由圆与圆外切，得，
又圆，圆与轴分别相切于原点和点，则，
所以劣弧长等于，
所以劣弧对应的扇形面积为.
故选：B
4. 某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设上、下两圆锥的底面半径为，高分别为，体积分别为，
因为上圆锥的高与底面半径相等，所以，
则得，，
上圆锥的母线为，下圆锥的母线为，
所以上、下两圆锥的母线长之比为，
故选：A．
5. 牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为 的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，
则在处的切线方程为，
由题意得，切线过代入得，，解得，
故选：D．
6. 已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因椭圆：，所以，，所以，
所以，，
因为点 在上，所以，所以，，
又，，所以，
又，，
所以，
因为大于，所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：.
7. 已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不等式等价于，即，
构造函数，所以，
因为时，，所以对恒成立，
所以在单调递减，
又因，
所以不等式等价于，所以，
即的解集为.
故选：A.
8 已知 ，则 （ ）
A. 8B. 10C. D.
【答案】B
【解析】，
其中展开式的通项为，且，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得.
所以
故选：B
二、多项选择题
9. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 直线与所成的角是
C. 直线平面
D. 平面截正方体所得的截面面积为.
【答案】ABD
【解析】对于A，由于平面，平面，
故直线与是异面直线，故A正确；
对于B，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以，
所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为，
故直线与所成的角是，故B正确；
对于C，如图，假设直线平面，又因为平面，所以，而，这三边不能构成直角三角形，
所以与不垂直，故假设错误，故C错误；
对于D，如图，连接，因为，所以，
所以平面截正方体所得的截面为梯形，
且，所以梯形的高为，
所以截面面积为，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件
B. 掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件
C. 若的平均数是7，方差是6，则的方差是
D. 某人在10次射击中，设击中目标的次数为，且，则的概率最大
【答案】BCD
【解析】对于A，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A错误；
对于B，设“第一次向上的点数是1”，“两次向上的点数之和是7”，则，
，，因为，
所以事件A与B互相独立，故B正确；
对于C，由的平均数是7，得的平均数为8，
由方差是6，则，
所以，
所以的方差，故C正确；
对于D，由得，当时，，
当时，令，即，
令，解得，
即，所以当时，最大，故D正确，
故选：BCD．
11. 已知 双曲线的左、右焦点，点在上，设的内切圆 圆心为，半径为，直线交于，若， ，则（ ）
A. B. 圆心的横坐标为 1
C. D. 的离心率为2
【答案】ACD
【解析】对于A中，因为，且三点共线，
所以，可得，所以A正确；
对于B中，设切点分别为，则，
又因为，所以，
所以点为右顶点，圆心的横坐标为2，所以B错误；
对于C中，因为，所以，
由角平分线定理，得，
又因为，所以，
由可得，
所以，可得，
所以，则为等腰三角形，
所以，解得，所以C正确；
对于D中，由离心率，所以D正确.
三、填空题
12. 已知向量，若，则实数__________
【答案】
【解析】，
，
解得.故答案为：
13. 已知关于 的方程 的所有正实根从小到大排列构成等差数列， 请写出实数 的一个取值为______
【答案】（答案不唯一，填写其中一个即可）
【解析】
【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得的取值即可.
【详解】因为，
所以，即，
要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，
则需要或，
所以.
故答案为：（答案不唯一，填写其中一个即可）.
14. 已知均为正实数，函数．
（1）若的图象过点，则的最小值为______；
（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】（1）9 （2）
【解析】（1）由的图象过点得，，即，
所以，当且仅当，即时等号成立．由恒成立得，，
（2）因为的图象过点，则，即，当时，不合题意舍，
所以，即，则，则由得，
所以，
设，
所以
，
当且仅当，即，则时，等号成立，
故答案为：9；．
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
解：（1）取的中点，连接，
由直三棱柱得，，，
因为是棱的中点，点是的中点，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
同理可得四边形为平行四边形，所以
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面．
（2）设，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
由得，，取，的，
设平面的一个法向量为，
由得，，取，的，
设平面与平面的夹角为，则，
由图可知二面角为锐角，则二面角的大小为．
16. 已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
解：（1）因为，
所以，即，解得或，
又因为，所以，所以.
（2），所以，
所以为奇数时，
，
为偶数时，
，
所以前项和.
17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为直线上一点，动点满足 ，.
（1）求动点的轨迹的方程;
（2）若过点作直线与交于不同的两点，点，过点作轴的垂线分别与直线交于点.证明：为线段的中点.
（1）解：设点，则，
因为，所以，
所以，即，
所以动点的轨迹方程为：；
（2）证明：因为轴，
所以设，，，，
若要证为线段的中点，只需证即可，
当直线斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，
所以直线斜率存在且不为0，，
设直线：，，
由得，，
由题意可知，直线与抛物线有两个交点，
所以，即，所以，
由根与系数的关系得，，，
由题意得，直线方程，所以，
直线方程，所以，
所以
，
所以为线段的中点.

18. 某高校为了提升学校餐厅的服务水平， 组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分 调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100 分)作为样本，绘制如图所示的 频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:

（1）求图中 的值，并估计满意度评分的分位数;
（2）若样本中男性师生比为，且男教师评分为80分 以上的概率为0.8， 男学生评分为80分以上的概率0.55， 现 从男性师生中随机抽取一人， 其评分为80分以上的概率为多少?
（3）设在样本中，学生、教师的人数分别为，记所有学生的评 分为，其平均数为，方差为，所有教师的评分为，其平均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为 ，若，试求的最小值.
（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：
，解得，
设分位数为，由分布直方图得，
所以，解得.
（2）解：设“抽到男学生”为事件，“评分80分以上”为事件，
可得，
由全概率公式得.
（3）解：由，可得，
所以 ，所以，即，
令，则，
由于，当且仅当时，等号成立，
又因为，可得，即，
解得或，
因为且，所以，所以实数的最大值为.
19. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
（2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；
（3）若，证明：
（1）解：平方关系：；
倍角公式：；
导数：.
理由如下：平方关系，；
倍角公式：；
导数：，；
以上三个结论，证对一个即可.
（2）解：构造函数，，由（1）可知，
①当时，由，
又因为，故，等号不成立，
所以，故为严格增函数，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，
则，可知是严格增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在上为严格减函数，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为；
（3）证明：因为，
所以原式变为，
即证，
设函数，即证，，
设，，
时，在上单调递增，即在上单调递增，
设，则，
由于在上单调递增，，
所以，即，故在上单调递增，
又，所以时，，
所以，即，
因此恒成立，所以原不等式成立，得证.
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